3 1 IL MOTO RETTILINEO A cura di

3. 1 – IL MOTO RETTILINEO A cura di Mimmo CORRADO

Il moto rettilineo I moti fondamentali La parte della fisica che studia i moti è la meccanica La meccanica si suddivide in: ü cinematica (descrive come avviene il moto) ü dinamica (indaga sulle cause del moto) ü statica (analizza le condizioni di equilibrio dei corpi) Lo studio del moto di un corpo si basa sui concetti di: punto materiale traiettoria sistema di riferimento 2

Il moto rettilineo Il punto materiale ü è un punto dotato di massa ma senza dimensioni ü è un modello semplificato che ci consente di analizzare il corpo nel suo insieme. Il modello del punto materiale è utilizzato quando il corpo ha dimensioni notevolmente inferiori a quelle dell’ambiente circostante, oppure quando occorre studiare il movimento del corpo nel suo insieme e non il moto delle sue singole parti. 3

Il moto rettilineo La traiettoria è costituita dall’insieme dei punti dello spazio occupati da un corpo in movimento. 4

Il moto rettilineo Il sistema di riferimento è un sistema rispetto al quale si misura lo spostamento di un corpo e la sua velocità. Movimento e quiete non sono assoluti ma relativi a un particolare sistema di riferimento. Una persona su un treno in moto è: ü in quiete rispetto al sistema di riferimento treno ü in movimento rispetto al sistema di riferimento stazione ferroviaria. 5

6 Il moto rettilineo Descrizione del moto Il moto di un corpo è definito: ü quando si conoscono le posizioni occupate dal corpo rispetto ad un sistema di riferimento in diversi istanti. Per descrivere un moto è conveniente utilizzare una tabella spazio/tempo Tempo (s) 0 5, 2 10, 8 17, 1 22, 4 Spazio (m) 0 50 100 150 200 Le posizioni e gli istanti indicati nella tabella sono solo alcune delle infinite coppie di valori (istante ; posizione) che registrano il moto. La posizione varia in funzione dell’istante di tempo. La posizione è quindi una funzione del tempo.

Il moto rettilineo 7 Descrizione del moto Si indica con: s = s 2 - s 1 la distanza percorsa in un intervallo di tempo t t = t 2 - t 1 l’intervallo di tempo trascorso tra gli istanti t 1 e t 2 corrispondenti alle posizioni s 2 ed s 1. Considerando la tabella precedente si ha che: I primi 50 metri sono stati percorsi in 5, 2 secondi. t = t 2 – t 1 = 5, 2 s – 0 s = 5, 2 s. I successivi 50 metri sono stati percorsi in 5, 6 secondi. t = t 2 – t 1 = 10, 8 s – 5, 2 s = 5, 6 s. Mentre l’intervallo di tempo è sempre positivo, lo spazio percorso può essere anche negativo (ciò si ha quando il punto materiale si avvicina al punto materiale rispetto al quale si misura la posizione).

8 Il moto rettilineo Descrizione del moto Mentre l’intervallo di tempo è sempre positivo, lo spazio percorso può essere anche negativo. ü Lo spazio percorso è positivo quando il punto materiale si allontana dal punto rispetto al quale si misura la sua posizione. ü Lo spazio percorso è negativo quando il punto materiale si avvicina al punto rispetto al quale si misura la sua posizione. s = s 2 - s 1 <0

9 Il moto rettilineo Esperimento Facciamo il seguente esperimento: Su una rotaia poniamo un carrellino. Diamo una leggera spinta al carrellino e misuriamo il tempo che impiega a percorrere tutta la rotaia. Registriamo i dati misurati sulla tabella spazio/tempo. Tempo (s) Spazio (m) 0 0 2 0, 25 3, 5 0, 50 4, 5 0, 75 5 1 Dai dati ricaviamo che il carrellino percorre lo spazio di 1 m in 5 secondi. Il rapporto tra lo spazio percorso dal carrellino e il tempo impiegato a percorrerlo è detto velocità media In questo esperimento la velocità media è: v=1 m/5 s cioè v=0, 20 m/s.

Il moto rettilineo 10 Unità di misura L’unità di misura della velocità nel Sistema Internazionale è il metro al secondo (m/s). Un’altra unità di misura spesso utilizzata è data dai kilometri all’ora (km/h).

11 Il moto rettilineo Trasformazione da unità di misura all’altra Per trasformare una velocità da km/h a m/s occorre dividere per 3, 6. Per trasformare una velocità da m/s moltiplicare per 3, 6. Esempi a km/h occorre

12 Il moto rettilineo uniforme Un moto si dice rettilineo uniforme se: ü la traiettoria è rettilinea (il moto si svolge lungo una linea retta) ü la velocità è costante in qualunque intervallo del percorso (percorre spazi uguali in tempi uguali). Ciò vuol dire che: Raddoppiando il tempo raddoppia lo spazio percorso, triplicando il tempo triplica lo spazio percorso… La tabella spazio/tempo seguente si riferisce ad un moto uniforme. Tempo (s) Spazio (m) 0 0 2 0, 25 4 0, 50 6 0, 75 8 1

Il moto rettilineo Formule inverse Lo spazio percorso è uguale a: Il tempo impiegato è uguale a: 13

14

Il moto rettilineo Legge oraria del moto uniforme La relazione tra tempo impiegato e spazio percorso è: Se poniamo: l’istante iniziale t 1=0 la posizione iniziale s 1=s 0 la generica posizione s 2=s l’istante generico t 2=t si ottiene: Cioè: Questa formula rappresenta l’equazione generale del moto rettilineo uniforme o legge oraria del moto Se all’istante t=0 il corpo si trova nell’origine del sistema di riferimento (s 0=0) la legge oraria diventa: 15

16 Il moto rettilineo Diagramma spazio - tempo Il moto rettilineo uniforme si può rappresentare graficamente attraverso il diagramma spazio-tempo o diagramma orario del moto. Tempo (s) 0 Spazio (m) 0 Il diagramma orario del moto rettilineo uniforme è una semiretta. 2 1 4 2 6 3 8 4 10 5

Il moto rettilineo 17 Diagramma spazio - tempo Leggi orarie S=2 t S=4 t S=6 t Maggiore è la velocità, maggiore è la pendenza della semiretta.

Il moto rettilineo Diagramma spazio - tempo Il coefficiente angolare (o la pendenza) della semiretta rappresenta la velocità. Nel piano cartesiano il coefficiente angolare è dato dal rapporto y/ x. 18

Il moto rettilineo Diagramma spazio - tempo Il coefficiente angolare (o la pendenza) della semiretta rappresenta la velocità. Nel piano cartesiano la velocità è data dal rapporto s/ t. 19

Il moto rettilineo 20 Diagramma spazio - tempo Il grafico sotto rappresentato si riferisce al moto di tre auto che si muovono tutte alla stessa velocità costante v=40 km/h (rette parallele) ma che non sono partite dallo stesso punto. L’auto nera è partita all’stante t=0 dal punto s 0=0 L’auto rossa è partita all’stante t=0 dal punto s 0=30 km. L’auto azzurra è partita all’stante t=0 dal punto s 0=60 km.

Il moto rettilineo Diagramma spazio - tempo o. Il corpo n parte dal punto s 0 = 0 n si muove con velocità costante v fino all’istante t 1 n sta fermo fino all’istante t 2 n infine, sempre con velocità costante, torna al punto di partenza o. Il corpo A n è fermo nella posizione s. A o. Il corpo B n parte dal punto s 0 = 0 n si muove con velocità costante n incontra il corpo A nell’istante t 1 21

Il moto rettilineo Diagramma spazio - tempo o. Il corpo A n parte dal punto s 0 = 0 n raggiunge la posizione s. A con velocità costante v all’istante t 2 o. Il corpo B n parte dalla posizione s. B e raggiunge il punto s 0 = 0 con velocità costante all’istante t 2 n i due corpi si incontrano all’istante t 1 o. Il corpo A n si trova inizialmente in una posizione più arretrata rispetto al corpo B n tuttavia, ha una velocità maggiore n Lo raggiunge all’istante t 1 e lo supera. 22

Il moto rettilineo uniformemente accelerato 23 Velocità media Nel mondo reale raramente un corpo si muove di moto uniforme (cioè con velocità costante). Quando ci moviamo per la casa o quando giochiamo a calcio, la velocità con cui ci spostiamo cambia in continuazione. In casi come questi non ha senso parlare di un'unica velocità per descrivere il moto. Si considera invece la velocità media. La velocità media è il rapporto tra lo spazio percorso da un corpo in un certo intervallo di tempo e il tempo impiegato a percorrerlo.

24 Il moto rettilineo Esempio Se calcoliamo la velocità media di un atleta che percorre i 100 m otteniamo risultati diversi a seconda dell'intervallo che consideriamo. Spazio (m) 0 Tempo (s) 0 20 3 40 5 60 6, 7 Se consideriamo lo spazio (0 -100)m: Se consideriamo lo spazio (0 -40)m: Se consideriamo lo spazio (60 -80)m: 80 100 8, 3 10

Il moto rettilineo 25 Esempio A seconda dell’intervallo considerato si ha una diversa velocità. Oltre alla velocità media calcolata in un dato intervallo esiste anche la velocità istantanea calcolata in un dato istante. La velocità istantanea è la velocità che il corpo possiede in un determinato istante. La velocità istantanea è la velocità media calcolata in un intervallo di tempo molto piccolo (infinitesimale) contenente l'istante considerato.

Il moto rettilineo 26 Velocità istantanea Consideriamo il moto di un corpo con il diagramma orario sotto riportato.

Il moto rettilineo 27 Velocità istantanea Supponiamo di voler calcolare la velocità istantanea del corpo nel punto A

Il moto rettilineo 28 Velocità istantanea Calcoliamo la velocità media in tre intervalli sempre più piccoli che contengono il punto A; per esempio nell'intervallo P 1 Q 1, poi nell'intervallo P 2 Q 2, infine nell'intervallo P 3 Q 3.

Il moto rettilineo Velocità istantanea Nell’intervallo P 1 Q 1 : 29

Il moto rettilineo Velocità istantanea Nell’intervallo P 2 Q 2 : 30

Il moto rettilineo Velocità istantanea Nell’intervallo P 3 Q 3 : 31

Il moto rettilineo 32 Velocità istantanea La velocità istantanea nel punto P è la velocità media calcolata in un intervallo piccolissimo, contenente il punto P. Quanto più piccolo è l'intervallo di tempo considerato, tanto più la velocità media di questo intervallo si approssima alla velocità istantanea. La definizione rigorosa della velocità istantanea in un dato istante t è la seguente: La velocità istantanea è il limite cui tende la velocità media in un certo intervallo di tempo, contenente l'istante considerato, quando l'intervallo stesso tende a zero.

Il moto rettilineo 33 Velocità istantanea La velocità media rappresenta nel diagramma spazio-tempo, la pendenza della retta secante P 1 Q 1. La velocità istantanea rappresenta nel diagramma spaziotempo la pendenza (cioè il coefficiente angolare) della retta tangente alla curva nel punto A, rappresenta cioè la posizione "limite" delle rette secanti quando i due punti P e Q, estremi dell'intervallo, tendono verso il punto di tangenza A. La velocità media (relativamente a un certo intervallo di tempo) è una costante, mentre la velocità istantanea è una funzione del tempo, nel senso che cambia al passare del tempo. La velocità istantanea, come la velocità media, può essere positiva, negativa o nulla, a seconda che il corpo si allontani, si avvicini o mantenga una distanza costante dall'osservatore.

Il moto rettilineo 34 Velocità istantanea La velocità istantanea rappresenta la pendenza (coefficiente angolare) della retta tangente alla curva in un dato punto P. La velocità istantanea è positiva nel punto A, nulla nel punto B e negativa nel punto C.

35 Il moto rettilineo Accelerazione media Consideriamo le velocità istantanee raggiunte in determinati istanti da un corpo in movimento. Riportiamo i tempi e le relative velocità in una tabella: Velocità (m) Tempo (s) 0 0 20 2 35 4 50 6 60 8 40 10 Notiamo che la velocità non è rimasta mai costante: è aumentata nei primi 8 secondi ed è diminuita nei successivi 2 secondi. Come possiamo misurare tali variazioni?

Il moto rettilineo 36 Accelerazione media Si introduce a questo scopo una nuova grandezza, detta accelerazione media: L'accelerazione media è il rapporto tra la variazione di velocità e l'intervallo di tempo in cui è avvenuta la variazione. L'unità di misura dell'accelerazione nel Sistema Internazionale è il metro al secondo quadrato (m/s 2).

Il moto rettilineo 37 Accelerazione istantanea Analogamente a quanto detto per la velocità, si può definire l‘accelerazione istantanea come l'accelerazione posseduta dal corpo in un certo istante. Essa non è latro che l’accelerazione media calcolata in un intervallo di tempo piccolissimo (infinitesimale).

Il moto rettilineo Accelerazione istantanea Un moto è detto: üaccelerato se l’accelerazione è positiva üdecelerato se l’accelerazione è negativa 38

39 Il moto rettilineo La relazione velocità-tempo nel moto rettilineo uniformemente accelerato Il moto rettilineo uniformemente accelerato è il moto di un corpo che avviene su una traiettoria rettilinea con una accelerazione costante. Se la velocità iniziale è 0, le grandezze velocità e tempo sono legate dalla relazione: Se la velocità iniziale è diversa da 0: dalla relazione: si ha: Indicando con v 0 la velocità iniziale al tempo t 0 si ottiene: Ponendo t 0=0 si ottiene:

Il moto rettilineo 40 Diagramma velocità-tempo Il diagramma velocità/tempo di un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale uguale a zero è una semiretta passante per l’origine.

Il moto rettilineo 41 Diagramma velocità-tempo Due corpi che si muovono di moto uniformemente accelerato con identica accelerazione ma diversa velocità iniziale sono rappresentati con due semirette parallele.

Il moto rettilineo Diagramma velocità-tempo Nel caso di moto decelerato la velocità diminuisce proporzionalmente al tempo. 42

Il moto rettilineo 43 La relazione tra il tempo e lo spazio nel moto rettilineo uniformemente accelerato Nel moto rettilineo uniforme lo spazio percorso corrisponde all’area del rettangolo che ha per base il tempo impiegato e per altezza la velocità (costante nel tempo).

Il moto rettilineo 44 La relazione tra il tempo e lo spazio nel moto rettilineo uniformemente accelerato Questo risultato vale qualunque sia il moto del corpo: Lo spazio percorso è dato dall’area del corrispondente grafico velocità-tempo

Il moto rettilineo 45 La relazione tra il tempo e lo spazio nel moto rettilineo uniformemente accelerato Nel moto rettilineo uniformemente accelerato lo spazio percorso è uguale all’area del relativo grafico velocità-tempo. Spazio = area trapezio Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato

Il moto rettilineo 46 La relazione tra il tempo e lo spazio nel moto rettilineo uniformemente accelerato Se all’istante t=0 il corpo non si trova nella posizione s=0 si ha la seguente Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato:

Il moto rettilineo 47 La relazione tra il tempo e lo spazio nel moto rettilineo uniformemente accelerato Le equazioni generali del moto rettilineo uniformemente accelerato sono quindi:

Il moto rettilineo Diagramma spazio-tempo del moto rettilineo uniformemente accelerato Sul piano cartesiano i punti si dispongono lungo una parabola. 48