UNIDADE 8 Isometrias do plano 8 4 Rotao

UNIDADE 8 Isometrias do plano

8. 4 Rotação

Semiplano 1 Considera os pontos P O representados ao lado: Semiplano 2 A reta OP divide o plano em dois semiplanos.

Considera os pontos representados ao lado: P a a O Em cada um dos semiplanos, é possível construir um ângulo a, em que um dos lados é a semirreta OP.

Considera os pontos P a a P’ representados ao lado: O O ponto P’ diz-se imagem do ponto P pela rotação de centro O e ângulo a.

Considera os pontos P a a P’ representados ao lado: O Repara que os segmentos de reta [OP] e [OP’ ] têm o mesmo comprimento. OP = OP’

P’’ Considera os pontos P a a representados ao lado: O P’ O ponto P’’ diz-se imagem do ponto P pela rotação de centro O e ângulo a.

P’’ Considera os pontos P a a representados ao lado: O P’ Os segmentos de reta [OP] e [OP’’ ] têm o mesmo comprimento. OP = OP’’

P’’ Considera os pontos P a a representados ao lado: O P’ Por associação a um mesmo ângulo a e ao mesmo centro O, obtêm-se exatamente duas imagens do ponto P: os pontos P’ e P’’. Esta situação verifica-se apenas quando o ângulo a é na o nulo, na o giro e na o raso.

P’’ Considera os pontos P a a representados ao lado: O P’ Para os distinguir, consideram-se dois sentidos para os ângulos e, consequentemente, para as rotações.

P’’ Considera os pontos P a a representados ao lado: P’ O sentido de um ângulo esta associado ao sentido do movimento dos ponteiros do relógio. O

P’’ Considera os pontos – a a P representados ao lado: O P’ O sentido de um ângulo diz-se negativo quando coincide com o sentido de rotação dos ponteiros do relógio. –

P’’ Considera os pontos – a + a P representados ao lado: O P’ O sentido de um ângulo diz-se positivo quando é contrário ao sentido de rotação dos ponteiros do relógio. +

Considera agora que o ângulo a é um ângulo raso: –a P O P’ +a As imagens do ponto P pela rotação de centro O e ângulo a no sentido positivo e no sentido negativo coincidem.

Considera agora que o ângulo a é um ângulo raso: –a P O +a Neste caso, o ponto P’ é também conhecido como imagem de P por meia volta em torno de O. P’

Considera agora que o ângulo a é um ângulo raso: –a O P +a A imagem do ponto P pela rotação de centro em O e ângulo raso coincide com a imagem de P pela reflexão central de centro em O. P’

Caso o ângulo a seja um ângulo giro ou nulo: O P P’ +a A imagem do ponto P pela rotação de centro O e ângulo a, P’, coincide com P.

Na figura acima, estão representados o triângulo [ABC] e o ponto O.

Vamos construir o transformado do triângulo [ABC] através de uma rotação de centro O e amplitude 90º no sentido positivo.

Traça a semirreta OA.

Coloca o centro do transferidor no ponto O de modo a marcares um ângulo de amplitude igual a 90º no sentido positivo e cujo lado origem e a semirreta OA.

Abre o compasso com a medida do comprimento do segmento [OA].

Desenha um arco com essa abertura e que intersete o lado extremidade do ângulo assinalado anteriormente.

Chama A’ ao ponto de interseção.

Repete o procedimento para o ponto B. . .

Repete o procedimento para o ponto B. . .

Repete o procedimento para o ponto B. . .

Repete o procedimento para o ponto B. . .

. . . e para o ponto C.

. . . e para o ponto C.

. . . e para o ponto C.

. . . e para o ponto C.

Une os pontos A’, B’ e C’.

O triângulo [A’B’C’] resulta da rotação de centro em O e ângulo 90º no sentido positivo do triângulo [ABC].

Repara que: AB = A’B’ BC = B’C’ AC = A’C’

Uma rotação preserva distâncias entre os pontos, pelo que e uma isometria.

Repara que: Pelo critério LLL, os triângulos [ABC] e [A’B’C’] são iguais, logo, as amplitudes dos ângulos internos dos triângulos também são iguais.

Uma rotação preserva a amplitude de ângulos.