Isometrias Isometrias Isometria uma palavra de origem grega

Isometrias.

Isometrias Isometria é uma palavra de origem grega Isos = igual metria = medida

Exemplos de isometrias As isometrias são utilizadas, pela beleza que as repetições ordenadas proporcionam. . . na decoração de azulejos, mosaicos, frisos, papéis para decoração.

Isometrias Mas afinal, como podemos nós obter isometrias?

Translações Consideremos duas bandeiras sobrepostas.

Translações Consideremos duas bandeiras sobrepostas. A F 1 B D C

Translações Suponhamos que pretendemos deslocar a bandeira da esquerda para a direita na horizontal. A F 1 B D C

Translações Vamos deslocar cada vértice da bandeira tendo em conta a «seta» indicada. A F 1 B D C

Translações Assim, cada vértice desloca-se segundo um movimento paralelo à seta e com o mesmo sentido e comprimento desta. A A’ F 1 B D C B’ D’ C’

Translações Obtemos então os pontos A’, B’, C’ e D’, que são imagens dos pontos A, B, C e D, respectivamente. A A’ F 1 B D C B’ D’ C’

Translações Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F 2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F 1. A A’ F 1 B D C B’ D’ C’

Translações Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F 2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F 1. A A’ F 1 B D C B’ D’ F 2 C’

Translações Dizemos que a bandeira F 2 é a imagem ou o transformado da bandeira F 1. A A’ F 1 B D C B’ F 2 C’ D’ À transformação ocorrida dá-se o nome de translação.

Vectores Numa seta podemos considerar três características: a direcção, o sentido e o comprimento. Desta forma, dizemos que temos definido um vector.

Vectores À translação anterior temos assim associado o vector que nos permite passar da figura inicial, a bandeira F 1 para a nova bandeira F 2. C C’

Vectores Observemos que: A A’ C B D B’ C’ D’ Os vectores são todos iguais porque têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Vectores Muitas vezes, também representamos um vector por uma letra minúscula, por exemplo. Assim, fazendo temos A A’ C B D B’ D’ C’

Vectores Muitas vezes, também representamos um vector por uma letra minúscula, por exemplo. Assim, fazendo temos A A’ F 1 B D C B’ D’ F 2 C’

Translações Assim, dizemos que: A A’ F 1 B D C B’ D’ F 2 C’

Translações Assim, dizemos que: A bandeira F 1 é imagem da bandeira F 2 numa translação associada ao vector. A A’ F 1 B D C B’ D’ F 2 C’

Propriedades das translações Tal como nas rotações A imagem de um segmento de recta é um segmento de recta geometricamente igual Exemplo: [AD] [A’D’] A imagem de um ângulo é um ângulo geometricamente igual. Exemplo: CAB C’A’B’ Estas propriedades são comuns a todas as translações.

Simetrias axiais Consideremos uma bandeira F 1.

Simetrias axiais Consideremos uma bandeira F 1. A F 1 B D C

Simetrias axiais Suponhamos queremos construir uma bandeira F 2 pela simetria de uma recta r. A F 1 B D r C

Simetrias axiais Duas situações podem ocorrer: se um ponto M está na recta, então o seu transformado é o próprio M. A M’ M F 1 B D r C

Simetrias axiais Duas situações podem ocorrer: se um ponto M está na recta, então o seu transformado é o próprio M. se um ponto M não está sobre a recta, M’ então o seu transformado é tal que a recta r seja a mediatriz do segmento [MM’]. A F 1 B M D r C

Simetrias axiais Duas situações podem ocorrer: se um ponto M está na recta, então o seu transformado é o próprio M. se um ponto M não está sobre a recta, M’ então o seu transformado é tal que a recta r seja a mediatriz do segmento [MM’]. A F 1 B M D r C

Simetrias axiais Os pontos M e M’ dizem-se simétricos relativamente à recta r. A F 1 B M’ M D r C

Simetrias axiais Vamos passar à determinação das imagens dos pontos A, B, C e D. A’ C’ A B’ F 1 B D’ D r C

Simetrias axiais Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F 2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F 1, só que invertida. A’ A C’ B’ F 1 B D’ D r C

Simetrias axiais Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F 2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F 1, só que invertida. A’ A C’ F 2 B’ F 1 B D’ D r C

Simetrias axiais Dizemos que a bandeira F 2 é a imagem ou o transformado da bandeira F 1. A’ C’ F 2 A B’ F 1 B D’ D r C

Simetrias axiais À transformação ocorrida dá-se o nome de simetria axial. A’ C’ F 2 A B’ F 1 B D’ D r C

Simetrias axiais Assim, dizemos que a imagem de uma figura por uma simetria é uma figura que se diz simétrica em relação à recta r. A’ C’ F 2 A B’ F 1 B D’ D r C A recta r diz-se eixo de simetria.

Propriedades das simetrias axiais Então, A imagem de um segmento de recta é um segmento de recta geometricamente igual Exemplo: [AD] [A’D’] A imagem de um ângulo é um ângulo geometricamente igual, mas orientado em sentido contrário. Exemplo: CAB C’A’B’ Estas propriedades são comuns a todas as simetrias axiais.

Comparação das propriedades das isometrias Nas rotações e nas translações a figura resultante tem o mesmo sentido. Nas simetrias axiais a figura aparece invertida. As rotações e as translações mantém o sentido dos ângulos. As simetrias axiais invertem o sentido dos ângulos. As rotações, translações e simetrias axiais mantém a medida de comprimento dos segmentos As rotações, translações e simetrias axiais mantém a medida de amplitude dos ângulos.

Classificação das isometrias Estas características levam-nos a classificar as isometrias em dois tipos: Isometrias positivas mantém o sentido dos ângulos orientados Exemplo: Rotações, translações. Isometrias negativas invertem o sentido dos ângulos orientados Exemplo: Simetrias axiais.

Isometrias Mas afinal o que são isometrias? Uma Isometria é uma transformação geométrica em que são conservados as medidas de comprimento dos segmentos de recta e as medidas de amplitude dos ângulos.