Simetria de rotao Ox Ox Rotao de centro

Simetria de rotação Ox Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 900. Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 1800. Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 2700. Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 3600. A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de amplitude 900 , 1800 , 2700 e 3600.

Isometrias são aplicações que transformam uma figura geométrica numa outra figura congruente. É uma isometria. Não é uma isometria.

ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO REFLEXÃO r u ROTAÇÃO REFLEXÃO s DESLIZANTE u 90º x o

Translação P P’

Propriedades da translação P P’ • • • Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo e com o mesmo comprimento. Uma reta ou uma semirreta é transformada numa reta ou numa semirreta paralelas, respetivamente. Um ângulo é transformado num ângulo geometricamente igual e com o mesmo sentido.

Reflexão Dada uma reta r (eixo de reflexão), dá-se o nome de reflexão de eixo r à isometria que transforma os pontos de r em si próprios e que, a cada ponto P não pertencente a r , faz corresponder um ponto P’ tal que o eixo r é a mediatriz de [PP’]. S R r T O R’ Q’ Q P T’ P’ d d S’ O’

Propriedades das reflexões S R T O r Q’ Q P • • S’ T’ P’ d • • • R’ O’ d Um segmento de reta é transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento. Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa semirreta respetivamente. Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso. Qualquer ponto do eixo de reflexão transforma-se em si próprio. A distância de um ponto original ao eixo de reflexão é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo.

Rotação de centro O e ângulo α é a isometria do plano que transforma qualquer ponto P no ponto P’, tal que OP = OP’ e PÔP = α , sendo O o centro de rotação e α o ângulo de rotação. O ângulo de rotação é um ângulo orientado: Sentido positivo(sentido antihorário) ou sentido negativo(sentido horário). A rotação assim definida representa-se por RO , α. C A A’x C’x B P’ α O P Desenhar a figura transformada da figura dada por uma rotação de centro O e amplitude 900. 1. o Desenham-se [OA], [OB], e [OC]. B’x Ox 3. o Com a ajuda do transferidor medem-se os ângulos de modo que : A’ÔA=900 ; B’ÔB=900 ; C’ÔC=900. 4. o Desenhar o triângulo [A’B’C’].

Propriedades da rotação • Um segmento de reta é transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento. • Um ângulo é transformado num ângulo com a mesma amplitude e com o mesmo sentido. • Uma reta ou uma semirreta são transformadas numa recta ou numa semirreta respetivamente. • O centro de rotação é o único ponto que se mantém fixo se o ângulo da rotação não for um múltiplo de 360 o CX AX A’X x. C’ XB B’x Ox

Reflexão deslizante é uma isometria resultante da composição de uma reflexão de eixo e com uma translação cujo vetor (não nulo) é paralelo a e. S R R’’ S’’ r T O Q’’ Q T’’ P d d R’ Q’ O’’ S’ T’ P’ O’

Propriedades da reflexão deslizante • Não existem pontos invariantes, pois mesmo os pontos do que pertencem ao eixo de reflexão continuam a pertencer-lhe mas são deslocados pelo vetor. • Um segmento de reta é transformado noutro segmento de reta, reflectido pelo eixo e deslocado pelo vetor. • Um ângulos orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso. • Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa semirreta respetivamente. • A distância de um ponto ao eixo é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo.

Propriedades das isometrias Em qualquer isometria: • Uma isometria do plano é necessariamente uma translação, uma reflexão, uma rotação ou uma reflexão deslizante • Uma reta é transformada numa reta. • Uma semirreta é transformada numa semirreta. • Um segmento de reta é transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento. • Um ângulo é transformado num ângulo com a mesma amplitude.

Simetria Quando a imagem dessa figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. Desta forma uma figura pode ter: v. Simetria de reflexão v Simetria de rotação v. Simetria de translação v. Simetria de reflexão deslizante

Simetria de reflexão Uma figura tem simetria de reflexão se a sua transformada por uma reflexão é a própria figura. e 1 e 2 e 3 e 4 e 6 e 5 Esta figura tem seis simetrias de reflexão.

Simetria de rotação Ox Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 900. Uma figura tem uma simetria de rotação se a sua transformada por uma rotação, distinta da identidade, é a própria figura. Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 1800. Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 2700. Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 3600. A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de amplitude 900 , 1800 , 2700 e 3600.

Simetria de translação … …

Simetria de reflexão deslizante Uma figura tem uma simetria de reflexão deslizante se o transformado da figura por uma dada reflexão deslizante é a própria figura. … …

Rosáceas Uma rosácea é uma figura plana com as seguintes características: – Possui um número finito de simetrias de rotação ou de reflexão. – Todas as rotações que deixam a figura invariante estão centradas num mesmo ponto O. – Todas as simetrias de reflexão estão associadas a uma reta que contém o ponto O. Ox

Simetrias de rotação e simetrias de reflexão 4 simetrias de rotação 4 simetrias de reflexão 16 simetrias de rotação 0 simetrias de reflexão 5 simetrias de rotação 5 simetrias de reflexão 6 simetrias de rotação 6 simetrias de reflexão 8 simetrias de rotação 8 simetrias de reflexão 3 simetrias de rotação 0 simetrias de reflexão

Frisos … …

Os 7 tipos de Frisos

Padrão Um padrão e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translação em mais do que uma direção. Nota: Para além de translações, um padrão pode ser invariante por reflexões, rotações e reflexões deslizantes.

Uma reflexão sobre as provas nacionais Augusta Neves geral@augusta-neves. net