TREV KAVRAMI TREV ALMA KURALLARI TREVN GEOMETRK YORUMU

TÜREV KAVRAMI TÜREV ALMA KURALLARI TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ LOGARİTMA FONKSİYONLARIN TÜREVİ ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVİ YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER DİFERANSİYEL KAVRAMI ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER İKİNCİ TÜREVİN YEREL EXTREMUM NOKTALARIYLA İLŞKİSİ İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI ROLLE VE ORTALAMA DEĞER TEOREMLERİ L’’HOSPİTAL KURALI FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

TÜREV KAVRAMI TANIM: f : A olmak üzere R , y=f(x) fonksiyonu ve a A da sürekli limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya gösterilir. sembolleri ile h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır. = olur.

ÖRNEK: f: R türevini bulalım. R , f(x)=x 2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki ÇÖZÜM= f(x)=x 2 fonksiyonu x=2 de süreklidir

SOLDAN SAĞDAN TÜREV TANIM: 1. Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f’(a-) şeklinde gösterilir. 2. Limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir ve f’(a+) şeklinde gösterilir.

f’(a-)= f’(a+) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a -) = f’(a+) = f’(a) dır. f’(a-) f’(a+) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur. ÖRNEK: f: R R , f(x)= a)f’(2 -)=? b)f’(2 +)=? ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=2 de süreklidir. a) = b) = =4

TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ Teorem: olmak üzere; fonksiyonu a noktasında türevli ise bu noktada süreklidir. 1. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir. 2. f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki olsun f(x) , x =a da türevli 3. Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bu noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan türevlerini eşitliğine bakılır.

Örnek: hangi noktalarda türevsizdir? Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla süreksizdir. x=-1 ve x=2 noktalarında süreksiz dolayısıyla türevsizdir.

BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME TANIM: a, b olmak üzere fonksiyonunun (a, b) aralığının her noktasında türev varsa f fonksiyonu (a, b) aralığında türevlidir. olmak üzere fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.

TÜREV ALMA KURALLARI 1) f(x)= c 2) f(x) = xn 3) (c. f (x) )’ = c. f’(x) 4) 5) 6) f’(x) = 0 f’(x) = n. xn-1

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Y=f(x) F(a+h) F(a) a kesen teğet a+h

m. AB=tan = AB kirişinin eğimi h 0 için AT teğetinin eğimine eşit olacağından m. AT = O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. B noktası, B(a-h , f(a-h)) şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.

TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ y f(a) t Y=f(x) . n a x

Anoktasındaki normal denklemi ise şöyle olur: . (x-a)

Örnek: f(x) -x 2 +2 x -3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini bulalım. Çözüm: x=3, y=-6 olur. f '(x)= -2 x +2 olduğundan teğetin eğimi: mı =f'(3)=-2. 3+2 =-4 normalin eğimi : mn = teğet denklemi: y-(6)=-4(x-3) y=-4 x +6 normal denklemi : y-(6)=1/4(x-3) y=x/4 - 27/4

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ f(x) =sinx , f'(u)=cosu. (u') f(x) =cosx , f'(u) = -sinu. (u') f(x) =tan u , f'(u)=u’ / cos 2 u = u'. Sec 2 u =u '. (tan 2 u +1) f(x) =cot u , f'(u)= -u’ / sin 2 u = -u'. Cosec 2 u = -u '. (cot 2 u +1)

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ g(x), g(x)>0 y=|g(x)|= 0 , g(x)=0 -g(x) , g(x)<0 { y'= { g'(x) araştırılır -g'(x) , g(x)>0 , g(x)=0 , g(x)<0

ÖRNEK: |x 2 -9| x=3 deki türevi nedir? ÇÖZÜM: türevi -3 + | x 2 -9 | 2 x | 9 -x 2 -2 x +3 | + | x 2 -9 | 2 x x= 3 de sürekli f'(3) =6 f'(3)=-6 türevsiz. Kritik noktayı araştıdık ve sağdan türevinin soldan türevine eşit olmadığını dolayısıyla x=3 de tüğrevsiz olduğunu gördük.

TAM KISIM FONKSİYONUN TÜREVİ f: A R y=||f(x)|| fonksiyonu için ; sürekli olduğu noktalarda sonucu sayı çıktığından türevi 0 dır. Süreksiz olduğu noktalarda ise türevsizdir. ÖRNEK: f(x)=||x/ 2 -3|| fonksiyonunda f '(1) değerini bulalım. ÇÖZÜM: x=1 için tamdeğerin içi -5/2 çıkar. Bu da dışarı -3 olarak çıkar. Bu da bir tamsayı olduğu için türevi 0 dır. Yani f '(1)=0 olur. Eğer sonuç tamsayı çıksaydı. Türevsiz olurdu, çünkü sağdan ve soldan türevleri birbirine eşit olmazdı.

İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ f: A R , y=sgn (f(x) )fonksiyonunda içini 0 yapan değerler türevsizdir. (soldan (+) sağdan (-) çıkar. ) diğer durumlarda tamsayı çıkacağından türevin sonucu 0 olur. ÖRNEK: f(x)=sgn ( x 2 -x-6) fonksiyonunun türevsiz olduğu değerleri bulun. ÇÖZÜM: Türevsiz olduğu noktalar içini 0 yapan değerler olduğu için, içinin kökleri bulunur. (x 2 -x-6)=(x-3)(x+2) , olduğundan cevap : x 1=3 , x 2=-2 dir.

KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ TANIM: x ve y değişken olmak üzere F(x, y)=0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir. 1. YÖNTEM: örnek olarak F(x, y)=x 2+y 2 -2 x-24=0 ise dy/dx=? 2 x+2 y(dy / dx)-2 -0=0 Buradan y'= II. YÖNTEM: y'= ÖRNEK: 3 xy-x+y-5=0 ise dy/dx=? ÇÖZÜM: bulunur. förmülü ile soınuca gidilir.

RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ TEOREM: x R ve n N+ olmak üzere y= fonksiyonunun türevi PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ y=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri t R olmak üzere t parametresine bağlı olarak x=h(t) biçiminde tanımlanırsa y=g(t) bu fonksiyona parametrik fonksiyon denir.

ÖRNEK: x=t-2 y=t 2 -t +3 } parametrik fonlksiyonu veriliyor. y'=? ÇÖZÜM x=t-2 ise t=x+2 olur ve y'=2(x+2) -1 =2 x+3 olur.

TERS FONKSİYONUN TÜREVİ KURAL: f’(x) 0 ise ÖRNEK: f(x)=x 3 -1 ÇÖZÜM: y=-9 , x=-2 , (f-1)’(-9)=?

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ 1. (arcsinu)'= 2. (arccosu)'= 3. (arctanu)'= 4. (arccotu)'=

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ 1. f(u)=logau 2. f(u)=ınu , f’(u) logae

ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ 1. f(x)=au , f’(x)=au. u’. lna 2. f(x)=eu , f’(x)=eu. u’

LOGARİTMİK TÜREV ALMA y=xx ıny=ınxx ıny= x. Inx y’= (lnx+1). y y’= (lnx+1). xx

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER Fonksiyonunun n. Mertebeden türevi y=x -x+4 y'=2 x-1 y''=2 y'''=0 (1. Mertebeden türev) (2. Mertebeden türev) (3. Mertebeden türev)

DİFERANSİYEL KAVRAMI TEOREM: A R , f: A R , y=f(x) fonksiyonu A da türevlenebilen bir fonksiyon olsun. X deki değişimi x buna karşılık gelen y deki değişimi y ile gösterelim. X in diferansiyeli dx= x olmak üzere y nin diferansiyeli dy= f’(x). dx

ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR a azalan f(a, b) b b a artan b a sabit fonksiyonu sürekli ve türevli ise f’(x)>0 f(x) , (a, b) aralığında artandır. f’(x)<0 f(x) , (a, b) aralığında azalandır. f’(x)=0 f(x) , (a, b) aralığında sabit fonksiyondur.

EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER Mutlak Extremum Noktası ve Değeri TANIM(a, b) aralığında f(b) büyük değerdir. (a, b) aralığında f(b) değerdir. f(x) ise f(b) mutlak maximum veya en f(x) ise f(b) mutlak minumum veya en küçük a, c mutlak min b, mutlak max a c b

ÖRNEK f(x)=x 3 -9 x 2+24 x-7 fonksiyonunun artan veya azalan olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM: f’(x)=3 x 2 -18 x+24 f’(x)=0 , x 1=2 x 2=4 x f’(x) - 2 + f(x) f(2) artan 4 + f(4) azalan artan

EXT NOKTASI İLE TÜREVİN İLİŞKİSİ TANIM: Yerel ext noktalarında f’(x)=0 dır. fakat türevi 0 olan her nokta ext noktası değildir; olması için f’(x) in işaret değiştirmesi(artandan azalana geçmesi) gerekir. Fonksiyonun türevinin 0 olduğu veya türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar denir. Yerel ext değerleri k. n. ların içindedir. X f’(x) 0 - 1 - + f(x) Yerel min

TÜREVİN EXT İLE İLİŞKİSİ İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTASI KONVEKS KONKAV (DIŞBÜKEY) (İÇBÜKEY) f’’(x)=0 ın dönüm noktası olması için Konveks Geçiş konkav

ÖRNEK: f(x)=3 x 4 -4 x 3 -1 fonksiyonunun Max (f’) DN larını inceleyelim. d. n ÇÖZÜM: f’(x)=12 x 3 -12 x 2 f’(x)=0 için x 1=0 , x 2=1 ext adayları f’’(x)=36 x 2 -24 x min (f’) f’’(x)=0 için x 1= 0 x 2=2/3 NOT: 0 DN larından biri olduğu için ext noktası olamaz. Ext noktası olarak sadece 1 vardır. f’’(1) > 0 olduğu için 1 apsisli nokta min ext noktasıdır. x 0 f’’(x) + f(x) 1 - dn dn +

MAX MİN PROBLEMLERİ Problemin denklemi kurulur. türevi 0 a eşitlenir. Çıkan kök f(x) de yerine konulur. İstenilen değer bulunur. Örnek: 3 X +6 MAX ALAN? 6 -X ÇÖZÜM: A(x)=(3 x +6 ) (6 -x) A(x)=18 x+36 -3 x 2 -6 x A(2)=48 A’(x)=12 -6 x x=2

ROLLE TEOREMİ TANIM: f: [a, b] R fonksiyonu [a, b aralığında sürekli ve (a, b) aralığında türevlenebilir olsun. Eğer f(a)=f(b) ise X 0 (a, b) için f ‘(X 0)=0 dır. ORTALAMA DEĞER TEOREMİ f: [a, b] R fonk [a, b] aralığında sürekli, (a, b) aralığında türevli olsun. Bu durumda en az bir X 0 (a, b) için f ‘ (X 0)= dır.

L’ HOSPİTAL KURALI 0. Veya Örnek : - belirsizlikleri veya a çevrilir.

0. BELİRSİZLİĞİ veya Örnek : a çevrilir. BELİRSİZLİĞİ a çevrilir.

0 , 1 , BELİRSİZLİKLERİ Her iki tarafin e tabanlı logaritması alınır. 0. belirsizliğine dönüşmüş olur. sonra her iki tarafın limiti alınır. Örnek: limx (x )= 0 x 0 y = xx 0 ln y = x. ln x æ ö ç ln x ÷ ÷= limx 0 (ln y ) = 0. Þ limx 0 (ln y ) = limx 0 ç çç 1 ÷÷ è x ø æ 1/ x ö ÷ = limx 0 (ln y ) = limx 0 ç 2 è -1 / x ø lim x 0 ( ) = = ln y lim y e 0 x 0 ( -x)=0 0 Þ lim x 0 (x )=1 x

FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ Bir fonksiyonunun grafiği, bir doğru veya eğridir. Bir fonksiyonun grafiği, fonksiyonun kuralını sağlayan bütün noktaların koordinat düzlemine işaretlenmesiyle elde edilir. Fakat bir fonksiyon sonsuz çoklukta noktadan oluşabilir. Bu sonsuz boşluktaki noktanın koordinat düzleminde işaretlenmesi mümkün değildir. Bu nedenle eğrinin karakterini belirten bazı özel noktalarını ve bazı özelliklerini bulursak, bunlardan faydalanarak eğriyi aslına uygun bir biçimde çizebiliriz. . Grafiğe ait özel noktalar; grafiğin eksenleri kestiği noktalar, ekstremum noktaları ve dönüm noktalarıdır. Grafiiğn karakterini belirleyen özellikler ise; artan ya da azalan olması, çukurluğun yönü, sonsuza uzanabilen kolunun bir doğru ya da eğriye asimptot olmasıdır.

Düşey Asimptot Tanım: y=f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan ya da sağdan limitlerinde en az biri + ya da ise , x=a doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun bir düşey asimptotudur. y P H y=f(x) Örnek: olduğunu gösterelim. Çözüm: a x fonksiyonunun düşey asimptotunun x=2 doğrusu

Yatay Asimptot Tanım: y=f(x) fonksiyonu için veya y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu denir. y b H P x y=f(x) ise

Örnek: fonksiyonunun yatay asimptotunun y=3 doğrusu olduğunu gösterelim. Çözüm: veya y=3 doğrusu yatay asimptottur. olduğundan,

Eğik ve Eğri Asimptot Tanım: y=f(x) eğrisi ve y=g(x) doğrusu verilsin. Veya ise, y=g(x) doğrusuna, eğrinin eğik asimptotu denir. Eğer, y=g(x) in grafiği bir eğri ise; buna, eğrinin eğri asimptotu denir.

biçiminde rasyonel fonksiyon verilsin. (P(x) ve Q(x) polinom fonksiyonudur. ) 1. Payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla ise; y=f(x)=mx+n+ biçiminde yazılabilir. Bu durumda, olacağından, y=mx+n doğrusu fonksiyonun eğik asimptotu olur. 2. Payın derecesi paydanın derecesinden 2 fazla ise; der[K(x)]<der[Q(x)] şeklinde yazılabilir. Olacağından, y=a + bx+c fonksiyonunun grafiği eğri asimptotu olur. O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm asimptot denklemi olarak alınır.

Örnek: 2 - 2 x +1 fonksiyonun eğik asimptotunu bulalım. 3 x f (x ) = x +1 Çözüm: f (x ) = 3 x - 5 + 6 olarak yazılır. x +1 O halde; eğik asimptot, y= 3 x-5 doğrusudur.

POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ 1. f(x)=x 3 -12 x ‘i inceleyelim. Pol. Fonk. Larda asimptot yoktur. per iyodik değildir. 2. Tanm kümesi: R 3. 4. x=0, y=0, x 1= x 2= - 5. f’’(x)=6 x, (0, 0) d. n x - - -2 0 2 f’(x) + + - - + + + f’’(x) - - - + + f(x)

2 -1 1 0 -2

RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ DÜŞEY ASİMTOTLARI VARDIR, YATAY ASİMPTOT OLMAYABİLİR. PERİYODİK DEĞİLDİR. 1. f(x)= 2. T. K. =R- (-2) 3. pay için. (D. A. ) , x-2=0 x=2 4. payda için (Y. A. ) , paydanın derecesi payın derecesinden büyük eşit olduğu için Y. A. vardır. Dereceler eşit olduğu için YA=katsayılar oranı=1 der(payda) > der(pay) olduğu durumlarda ise YA=0 olur. 5. (0, -1/2) , (-1, 0)

x -1 f’(x) f(x) 1 0 - 0 2 - - -1/2 1 -1 -1/2 2

X Y’ Y 1 - 2 + 0 3 - + 0 1 2 3

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ 1. y=sinx+3 2. T. R. = R 3. periyodu(T)=2 olduğu için fonksiyonu (0, )aralığıda inceleyelim. 4. Asimptot yok. 5. f’(x)=cosx =0 için (x 1= 6. f(0)=3 , f( 2 , y 1=4 ) (x 2= , y 2=2) )=3 7. F’’(x)=-sinx=0 için DN ları (0, 3) , ( , 3)

X f’(x) 0 + 3 /2 2 /2 + - - + + f’’(x) f(x) 3 4 3 2 DN yerel max min 3 DN

4 3 2 1 /2 3 /2 2

İRRASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ f(x)= a<0, asimptot yok a>0 , asimptot var ve eğik 1. y= 2. y 1=x-2(EA) y 2=2 -x(EA) 3 x 2 -4 x +3 1 0 + 3. (0, ) , (1, 0). 4, 3 - T=R-(1, 3) + (3, 0) x=2 tanım kümesinin elemanı olmadığı için bu noktada ext yoktur.