2 12 2020 1 TREV KAVRAMI TANIM f

2. 12. 2020 1

TÜREV KAVRAMI TANIM: f : A olmak üzere R , y=f(x) fonksiyonu ve a A da sürekli limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya gösterilir. sembolleri ile h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır. = 2. 12. 2020 olur. 2

ÖRNEK: f: R → R , f(x)=x 2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım. ÇÖZÜM= f(x)=x 2 fonksiyonu x=2 de süreklidir 2. 12. 2020 3

SOLDAN SAĞDAN TÜREV TANIM: 1. varsa Limitinin bir reel sayıdeğeri bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f’(a-) şeklinde gösterilir. 2. Limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir ve f’(a+) şeklinde gösterilir. 4

TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ Teorem: olmak üzere; fonksiyonu a noktasında türevli ise bu noktada süreklidir. ÖNEMLİ UYARILAR 1. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir. 2. f '(a) =f(a) ve f(x) fonksiyonu x=a da sürekli olmalıdır ki f(x) x =a da türevli olsun 3. Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bu noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan türevlerini eşitliğine bakılır. 2. 12. 2020 5

Örnek: hangi noktalarda türevsizdir? Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla süreksizdir. x=-1 ve x=2 noktalarında süreksiz dolayısıyla türevsizdir. 2. 12. 2020 6

BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME TANIM: a, b olmak üzere fonksiyonunun (a, b) aralığının her noktasında türevi varsa f fonksiyonu (a, b) aralığında türevlidir. olmak üzere fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir. 2. 12. 2020 7

TÜREV ALMA KURALLARI 1) f(x)= c f’(x) = 0 2) f(x) = xn f’(x) = n. xn-1 3) (c. f (x) )’ = c. f’(x) 4) 5) 6) 7) ÖZEL DURUM: 2. 12. 2020 8

MUTLAK DEĞER FONKSİYONUN TÜREVİ NOT: Mutlak değer içini sıfır yapan tek katlı köklerde türev yoktur. Çift katlı köklerde ise türev vardır. ÖRNEK: 2. 12. 2020 f(x)= |x 2 -4| fonksiyonunun x= 2 deki türevi varsa bulunuz f(x)= |x 2| fonksiyonunun x= 0 deki türevini inceleyiniz 9

BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ (zincir kuralı) SONUÇ: 2. 12. 2020 10

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU y T F(a+h) A F(a) B C a kesen Y=f(x) a+h x teğet 2. 12. 2020 11

m. AB=tan = AB kirişinin eğimi h olacağından 0 için AT teğetinin eğimine eşit m. AT = O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. İşte türevin geometrik anlamı da budur. 2. 12. 2020 12

TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ y f(a) Teğet. Y=f(x) Normal a 2. 12. 2020 x 13

Anoktasındaki normal denklemi ise şöyle olur: 2. 12. 2020 . (x-a) 14

Örnek: y= f(x)= -x 2 +2 x – 3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini bulalım. Çözüm: x=3, y=-6 olur. f'(x)= -2 x +2 olduğundan teğetin eğimi: MT =f'(3)=(-2. 3)+2 =-4 normalin eğimi: MN =-1/m. T=-1/f'(3) =-1/-4 =1/4 Teğet denklemi: y-(-6)=-4(x-3) , y=-4 x +6 Normal denklemi : y-(-6)=1/4(x-3) , y=x/4 - 27/4 2. 12. 2020 15

ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR i) Her x 1, x 2 A için, x 1<x 2 iken, f(x 1)< f(x 2) ise, fonksiyonu, A kümesinde, artandır. 2. 12. 2020 16

m=tan = f ’(x 1)>0 ise, f fonksiyonu (a, b) aralığında artandır. 2. 12. 2020 17

ii) Her x 1, x 2 A için, x 1<x 2 iken, f(x 1)> f(x 2) ise, f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır. 2. 12. 2020 18

m=tan = f ’(x 1)<0 ise, f fonksiyonu (a, b) aralığında azalandır. 2. 12. 2020 19

f: [a, b] R fonksiyonu, (a, b) aralığında artan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir Yani; f fonksiyonu, (a, b) aralığında - artan bir fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır. b b a f’(x) +++++ f(x) artan

SONUÇ f: [a, b] R, fonksiyonu, (a, b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir. Yani; f fonksiyonu, (a, b) aralığında azalan fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır. aa b f’(x) ----- f(x) azalan

UYGULAMALAR 2. 12. 2020 22

Soru: f(x)=x 2 -2 x fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz? Çözüm: : Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları bulabilmek için, türevinin işaretini incelemeliyiz. - f’(x) f(x)=x 2 -2 x f’(x)= 2 x-2=0 x=1 olur. 2. 12. 2020 f(x) 1 - azalan + + artan 23

Soru: R-{-2} için, f(x)= fonksiyonu- nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır? Çözüm : Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, f’(x)>0 olmalıdır. f’(x)= Buradan 2. 12. 2020 = = bulunur. 24

y -3 -2 Y=f(x) 4 x Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3, 4] aralığındaki grafiğini görmektesiniz. Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz? 2. 12. 2020 25

Çözüm : a) [-3, -2) aralığında, Fonksiyon azalan olduğundan, f ’(x)< 0 ‘dır. b) (-2, 4) aralığında, Fonksiyon artan olduğundan, f ‘(x) > 0’dır. 2. 12. 2020 26

y Y=f’(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Şekilde, y=f’(x) fonksiyonunun, [-3, 4] aralığındaki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe bakarak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz? 2. 12. 2020 27

y Çözüm : a) [-3, -2) aralığında: Y=f’(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x f’(x) > 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta artan’dır. b) (-2, 0) aralığında: f’(x) < 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta azalan’dır. c) (0, 4] aralığında: x=3 noktası hariç, f’(x) > 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta artan’dır. 2. 12. 2020 28

MAKSİMUM ve MİNUMUM NOKTALARININ BULUNMASI 2. 12. 2020 29

1. YEREL MAKSİMUM NOKTASI: Tanım: f: [a, b] R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x 0 (a, b) ve > 0 olsun. f fonksiyonu, (x 0 - , xo+ ) aralığında en büyük değerini x 0 noktasında alıyorsa, (x 0, f(x 0)) noktasında bir yerel maksimumu vardır. f(x 0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir. a f(x 0) f ’(x) Y=f(x) a x 0 - x 0 xo+ f(x) b x 0 + b - f(x 0) Maksimum

2. YEREL MİNİMUM NOKTASI: Tanım: f: [a, b] R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x 0 (a, b) ve > 0 olsun. f fonksiyonu, (x 0 - , xo+ ) aralığında en küçük değerini x 0 noktasında alıyorsa, (x 0, f(x 0)) noktasında bir yerel minimumu vardır. f(x 0) değerine, fonksiyonun bir denir. yerel minimum degeri a Y=f(x) a f(x 0) x 0 - x 0 xo+ f ’(x) f(x) x 0 - b + f(x 0) b Minimum 31

Sonuç: Yerel f(b) maksimum a + +++ - + c 2. 12. 2020 d -- f(a) - - f(d) f ’(x)>0 f(c) - + + + + y=f(x) b Yerel minimum f ’(x)<0 f ’(x)>0 32

2. 12. 2020 33

Soru : f(x)= x 3 -3 x 2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz? Cözüm: Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz: f’(x)= 3 x 2 -6 x = 0 - x 1= 0 ve x 2= 2 f’(x) x 1= 0 f(0)= 1 x 2= 2 f(2)= -3 f(x) 2. 12. 2020 0 + 0 1 2 - - 0 + ++ -3 34

Soru : - + + + y +++ + y=f ’(x) + -4 -2 – 1 0 + + + 3 5 -- Cözüm : -4 f’(x) - - 0 x Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun türevinin grafiğini görüyorsunuz. Bu grafiğe bakarak, y=f(x) fonksiyonunun, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz? 5 ++ 0 - - f(x) 2. 12. 2020 35

. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI 2. 12. 2020 36

f: [a, b] R fonksiyonu, (a, b) aralığında ikinci mertebeden türevli olsun: y=f(x) y B A a x 1 x 2 b x Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır. a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat ediniz. ! 2. 12. 2020 37

y=f(x) y B A a x 1 x 2 b x Bu teğetlerin eğimleri; m 1= tan =f’(x 1) ve m 2=tan =f’(x 2) tan < tan f’(x 1) < f’(x 2) ‘dir. Yani; x 1< x 2 için, f’(x 1) < f’(x 2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır. f’ 2. 12. 2020 fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır. 38

Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim: B A a x 1 x 2 b a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat! Bu teğetlerin eğimleri; m 1= tan =f’(x 1) ve m 2= tan =f’(x 2) ‘dir. 2. 12. 2020 39

B A tan > tan a x 1 x 2 b f’(x 1) > f’(x 2) ‘dir. Yani; x 1< x 2 için, f’(x 1) > f’(x 2) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır. f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır. 40

SONUÇ: Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)< 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur. f’’(x)< 0 Konkav 2. 12. 2020 Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)> 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur. f’’(x)> 0 Konveks

Soru : f: R R, f(x)= x 3+x 2 -2 x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları araştırınız? Çözüm : Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz. f’(x)=3 x 2+2 x-2 f’’(x)=6 x+2 = 0 - f’’(x) -- - -1/3 + + + + f(x) x= -1/3 2. 12. 2020 42

Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, fonksiyon eğrisi, eğrilik yönünü bazı noktalarda değiştirmektedir: TANIM Bir f fonksiyonunun grafiğinin, çukurluğunun yön değiştirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu noktaya, 2. 12. 2020 Dönüm (büküm) noktası denir. 43

Şekilleri dikkatle inceleyiniz!!! f(x 0) a 0 f ’’(x)<0 f(x 0) x 0 b f ’’(x)>0 f ’’(x 0)=0 Dönüm noktası 0 a f ’’(x)>0 x 0 b f ’’(x)<0 f ’’(x 0)=yok Dönüm noktası DİKKAT: İkinci türevin işaret değiştirdiği nokta DÖNÜM 2. 12. 2020 noktasıdır. 44

Uygulamalar 2. 12. 2020 45

1. f: R R, f(x)= x 4+x 3 -2 x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını bulunuz? Çözüm : f’(x)= 4 x 3+3 x 2 -2 f’’(x)= 12 x 2+6 x İkinci türevin kökleri: 6 x=0 12 x 2+6 x=0 2. 12. 2020 6 x(2 x+1) = 0 x 1= 0 (2 x+1)= 0 x 2=-1/2 Tablosunu yaparsak 46

f’’(x)= 12 x 2+6 x x f’’(x) - + -1/2 0 + - + konkav konveks f(x) konveks Dönüm noktası 2. 12. 2020 Dönüm noktası 47

SORU 2. f: R R, f(x)=(x-3)4 fonksiyonunun, varsa, dönüm noktasını bulunuz? Çözüm : f’(x)=4(x-3)3 f’’(x)= 12(x-3)2 ve 12(x-3)2=0 x 1=x 2=3 x f’’(x) f(x) 2. 12. 2020 - + 3 + + konveks X= 3 de Dönüm noktası varmıdır? 48

x=3 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm noktası değildir Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir! Yani; f’’(x 0)=0 olması, x 0 noktasının DÖNÜM noktası olmasını gerektirmez!!!! 2. 12. 2020 49

2. 12. 2020 50

1. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = = 2. 12. 2020 belirsizliği var = = 51

3. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var - sinx cosx = = 2. 12. 2020 = 0 52

4. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var = 2. 12. 2020 0 0 ex - sinx 53

5. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : belirsizliği var = = cosx/sinx = 2 cos 2 x/sin 2 x 2. 12. 2020 cosx/sinx 2 cos 2 x/sin 2 x Cosx. sin 2 x 2 cos 2 x. sinx 54

6. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : =0 L’Hospital den = = = ex 1 = e 1 = = 1 55

Cosx. sin 2 x 2 cos 2 x. sinx 2. sinx. cos 2 x 2 cos 2 x. sinx 2. 12. 2020 = 2 sinx. cosx 2. 1 = =1 2. 1 56

7. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = = = 2. 12. 2020 = = 57 2

8. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = = 2. 12. 2020 - = 58

L hospital uygularsak = = 0 0 Bu aşamada, L’Hospital kuralı bir kere daha uygulanır: 2. 12. 2020 59

2. 12. 2020 60

SUNUMUZ BURADA SONA ERMİŞTİR. . . 2. 12. 2020 SEYFETTİN KESKİN Matematik Öğretmeni 61