Trasformata di Laplace Ing Giuseppe Fedele Dip Elettronica

Trasformata di Laplace Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria Email: fedele@si. deis. unical. it

Numeri complessi Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come: y x

Numeri complessi Modulo Fase

Numeri complessi y x Ricordando le formule di Eulero: Forma trigonometrica

Numeri complessi y x Forma esponenziale

Numeri complessi

La trasformata di Laplace è un operatore che associa ad una funzione del temo f(t) definita per t≥ 0 una funzione F(s) a valori complessi definita per valori della variabile complessa s. L’utilizzo delle trasformate di Laplace consente di semplificare notevolmente i calcoli nella risoluzione di equazioni differenziali: operazioni di derivazione ed integrazione nel dominio del tempo corrispondono ad operazioni di tipo algebrico nel dominio delle trasformate.

Problema differenziabile Soluzione del problema differenziabile Problema algebrico Soluzione del problema algebrico

Qualsiasi funzione f(t), per cui esiste un valore della variabile s tale che l’integrale è finito, si dice trasformabile secondo Laplace. L’insieme di tutti i valori complessi s per cui esiste, finito, l’integrale e quindi la funzione F(s), viene detto dominio di convergenza, ed è rappresentato da un semipiano del piano s, posto a destra di una retta parallela all’asse immaginario, di equazione Re[s]=σ0. Tale retta viene denominata asse di convergenza ed il valore σ0 ascissa di convergenza.

Gradino Im[s] Re[s]

Proprietà di linearità

Rampa unitaria

Esponenziale

Cosinusoide

Sinusoide

Traslazione

Impulso L’area sottesa vale A

Funzione impulsiva

Impulso di Dirac

Impulso di Dirac Risposta all’impulso Ogni segnale x(t) può essere espresso come convoluzione con l’impulso di Dirac Dim: Per il teorema del valor medio:

Impulso di Dirac L’uscita del sistema all’ingresso x(t) sarà del tipo: Il segnale in uscita può essere calcolato attraverso la convoluzione del segnale di ingresso con la risposta impulsiva.

Impulso di Dirac Problemi La risposta impulsiva di un sistema può essere ricavata applicando in ingresso un segnale che approssimi l’impulso di Dirac e misurando l’uscita corrispondente. L’impulso di Dirac è un’astrazione matematica che può solo essere approssimata. In molti casi non è possibile né conveniente applicare al sistema una sollecitazione impulsiva per non danneggiare il sistema a causa dell’elevata ampiezza dell’impulso.

Esercizio Sapendo che calcolare

Esercizio Calcolare

Esercizio Calcolare

Esercizio Calcolare

Teorema della derivata Si è sfruttato il fatto che f(t) è di ordine esponenziale per t che tende all’infinito

Teorema della derivata

Teorema dell’integrale

Teorema del valore finale Nell’ipotesi che tale limite esista Dal teorema della derivata si ha: da cui Eseguendo il limite sotto il segno di integrale il che è lecito per l’analiticità della funzione: e quindi

Teorema del valore iniziale

Integrale di convoluzione

Utilità

Utilità

Problema differenziabile Soluzione del problema differenziabile Problema algebrico Soluzione del problema algebrico

Tecniche di antitrasformazione Frazione razionale propria Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte radici con molteplicità maggiore di 1 radici complesse coniugate

Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte POLI RESIDUI

Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte Calcoliamo R 1

Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte

Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte

Esercizio

Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1

Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rk 1

Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rk 2

Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rk 3

Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rkj Ricordando che

Esercizio

Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici complesse coniugate

Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici complesse coniugate

Esercizio

Funzione di trasferimento

Funzione di trasferimento

Funzione di trasferimento