Strumentazione per bioimmagini Metodi di ricostruzione da proiezioni

Ricostruzione 3 D • Una funzione 3 D f(x, y, z) viene ricostruita a partire da un numero P di proiezioni 2 D p(x’, y’| , ) • Complessita’ teorica: ricostruire C=Mx. Nx. Z voxels occorrono P=C equazioni (es. risoluzione 200 x 200 voxel = 8 milioni di equazioni!!). Per ogni piano di scansione:

Coordinate cilindriche • fascio parallelo e assenza di riflessioni (X-ray) riduzione della complessità • stima di Z densita’ bidimensionali: riduzione a Z sistemi indipendenti di Mx. N equazioni piani paralleli non interferiscono p(x’, y’) e’ determinato solo dai voxel attraversati dal raggio incidente il sistema e’ separabile y’ coordinate cilindriche r, , z z piano di proiezione fascio parallelo di illuminazione y θ p(x’, y’) d(x, y, z) x’ x r

Tomografia assiale (TA) – TA realizza “in hardware” il sistema di coordinate cilindriche – proiezioni radiali bidimensionali: si puo’ usare la Radon Transform linea di proiezione f(x, y|z) p θ, z(x’) fascio piano parallelo di illuminazione

Risoluzione del problema inverso • Risolvere numericamente le equazioni algebriche direttamente: • Computazionalmente oneroso • Computazionalmente instabile al crescere delle equazioni • Metodi alternativi: – Ricostruzione iterativa – Trasformata di Fourier – Retroproiezione filtrata

Ricostruzione iterativa • • Data una stima f*(x, y) di f(x, y) Si calcolano le proiezioni p* (x’) Si calcola l’errore p (x’)-p* (x’) Si aggiorna f*(x, y) Stima della proiezione a q da f*(x, y) Aggiornamento della stima f*(x, y) Data: proiezione a

Ricostruzione iterativa: schema a blocchi inizializzazione: f *(x, y)=0 dati: p θ(x’) f*(x, y) xcos(q)+ysin(q)=x’ Calcola p*θ(x’) dalla stima f*(x, y) e(x’) nuova direzione di proiezione θ=θk sottrai l’errore a tutti i pixel sulla linea di scansione

Ricostruzione iterativa: esempio f(x, y) f 1=5 f 2=7 f 3=6 f 4=2

Retroproiezione x’ Da ogni proiezione sappiamo solo che dei punti che sommano alla misura della proiezione sono da qualche parte lungo la linea Le misure di ogni proiezione sono riproiettate indietro sulla linea da cui sono state ottenute, assegnando il valore misurato y’

Retroproiezione a q Ricostruzione a partire dalle retroproiezioni

Retroproiezione: risposta impulsiva Dato un impulso unitario nell’origine Risposta impulsiva

Retropriezione filtrata

Calcolo del filtro

Ricostruzione

Radon Transform: Retro-proiezione filtrata • Proiezione di densita’ bidimensionali trasformata di Radon • dalla trasformata Radon ricostruiamo la FFT polare della densita’ d(x, y) • il reticolo polare non e’ uniforme trasformiamo in reticolo ortogonale (Jacobiano |w|) retroproiezione filtrata x’ abs(P(w)|θ) p(x’)|θ FT(1 D) RT θ x’ FT-1 w |w| w

Ricostruzione da proiezioni in sintesi • Il problema generale della ricostruzione da proiezioni e’ il problema inverso della proiezione di una distribuzione 3 D su piani 2 D. In generale, il problema e’ molto oneroso dal punto di vista computazionale • Se il sistema di proiezione (problema diretto) segue una geometria cilindrica, il problema inverso 2 D->3 D diventa un piu’ semplice problema (1 D->2 D) x numero di piani sull’asse z. • Il problema 1 D->2 D puo’ essere risolto attraverso metodi diretti (es. ART). i metodi diretti hanno problemi di convergenza. • Il problema 1 D->2 D e’ piu’ agevolmente risolto utilizzando la trasformata inversa di Radon (non disponibile nel problema 2 D->3 D), risolvibile con una IFFT (teorema della sezione centrale). • Per ottenere un campionamento cartesiano uniforme dello spettro attraverso la RT occorre utilizzare un filtro di retro-proiezione. • La geometria a ventaglio permette un notevole risparmio nella costruzione della TAC in quanto puo’ essere usata una sorgente compatta di radiazione piuttosto che un array lineare. La geometria a ventaglio richiede un filtro di retro-proiezione piu’ complesso.