Strumentazione per bioimmagini Operazioni elementari Trasformata di Fourier

Strumentazione per bioimmagini Operazioni elementari, Trasformata di Fourier e Trasformata Radon

Proiezioni pθ(x’) x’ y y’ θ f(x, y) x pro fasc iet io tan te Ogni linea ortogonale a q e distante tk dall’origine ha espressione parametrica:

Trasformata di Radon pθ(x’) x’ y y’ θ f(x, y) x pro fasc iet io tan te La notazione evidenzia che l’angolo e’ un parametro, piu’ che una variabile indipendente

Trasformata Radon: esempio f(x, y)

Trasformata di Radon: sinogramma

Trasformata Radon • Esempi: RT “sinogramma” x’ θ

Teorema della sezione centrale “La trasformata di Fourier della proiezione pq (trasformata di Radon) di f(x, y) dato θ, è pari alla trasformata di Fourier 2 D di f(x, y) valutata su una retta passante per l’origine delle frequenze con angolo θ. ” v y pθ(x’) F(u, v) y’ Pθ(w) θ θ f(x, y) u FT 1 D x

Teorema della sezione centrale • Si dimostra a partire dalla F(u, v) valutata lungo la retta w di direzione θ nel piano delle frequenze: • cambio di variabili: x, y x’, y’ (matrice di rotazione)

Teorema della sezione centrale • Attraverso la RT e’ possibile stimare la F(u, v). • La FT della trasformata Radon campiona lo spazio delle frequenze con un reticolo polare. • L’inversione della RT attraverso l’inversione della FT richiede la ricostruzione del reticolo ortogonale le alte frequenze vengono interpolate male conseguente bassa resa dei dettagli u v u interpolazione v

L’idea della ricostruzione filtrata • L’idea più semplice è che data una frequenza w, ad essa venga associato un peso proporzionale alla distanza dai campioni più vicini con lo stesso modulo |w|. v u • Date K proiezioni, il peso per un campione w è 2 p|w|/K