Notazione Complessa In molti campi della sismologia di

Notazione Complessa Ø In molti campi della sismologia è di notevole utilità l’utilizzo della notazione complessa. Un numero complesso è espresso come: z=a +ib dove i= -1 , a è la parte reale di z e b è la parte immaginaria di z. In alternativa si può scrivere a=Re(z) e b=Im(z). In numeri complessi si possono rappresentare nel piano complesso (Argand): la parte reale a è la proiezione di z sull’asse reale x 1 la parte immaginaria b è la proiezione sull’asse immaginario x 2. In forma alternativa i numeri immaginari si possono rappresentare in forma polare: Dove rappresenta il modulo di z e è la fase di z:

Alternativamente si ha: Due numeri immaginari sono uguali se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria. La somma di due numeri immaginari si ottiene sommando le parti immaginarie e le parti complesse: La moltiplicazione di due numeri immaginari si può effettuare utilizzando si la forma z=a+ib sia la forma polare di z: In forma polare quindi la moltiplicazione di due numeri complessi si realizza moltiplicando i moduli e sommando le fasi. Il complesso coniugato di z si indica z* ed ha la stessa parte reale di z ma parte immaginaria di segno opposto:

Il complesso coniugato di z ha lo stesso modulo ma fase opposta. Si ha anche: La formula di Eulero è data da: Utilizzando la formula di Eulero è possibile esprimere le funzioni trigonometriche utilizzando gli esponenziali complessi:

Sistemi a un grado di libertà Ø Nel caso più generale un sistema ad un grado di libertà (SDOF) può essere rappresentato da una massa m una molla di costate elastica k ed uno smorzatore c. Al sistema viene applicata una forza esterna funzione del tempo f(t) Ø L’equazione del moto può esser ottenuta imponendo l’equilibrio dinamico al sistema: fi sono le forze inerziali, fd le forze “viscose” e fs le forze elastiche.

Queste forze possono essere espresse in funzione del moto della massa. Nel caso delle forze di inerzia: Dove u rappresenta lo spostamento della massa m. Le forze viscose sono proporzionali alla velocità della massa: Le forze elastiche sono espresse da: I parametri m c e k sono costanti di proporzionalità.

Ø Sostituendo otteniamo l’equazione del moto: L’equazione D 2 è una equazione differenziale di secondo grado non omogenea coefficienti costanti E’ una equazione lineare ed è possibile ottenere la soluzione in “forma chiusa”. La non-linearità può derivare, ad esempio, dalla dipendenza della rigidezza k dalla forza applicata f(t). A) Vibrazioni libere non smorzate Ø In questo caso si ha c=0 e f(t)=0 Dividendo per m si ottiene: L’equazione D 4 è una equazione differenziale di secondo grado lineare omogenea. Le condizioni al contorno sono rappresentate dalle condizioni iniziali (velocità iniziale e spostamento iniziale):

La soluzione generale della equazione D 4 è data da: Le costanti A e B sono definite dalle condizioni iniziali: Da cui: Definendo: Da cui:

Ø La soluzione dell’equazione del moto indica che la risposta del sistema è funzione delle sole condizioni iniziali (spostamento e velocità). L’ampiezza delle oscillazioni rimane costante e non si ha dissipazione di energia. Si definiscono le seguenti costanti:

B) Vibrazioni libere smorzate Ø In questo caso si ha f(t)=0 Dividendo per m si ottiene: Definendo il coefficiente o fattore di smorzamento : Otteniamo: Anche l’equazione D 9 è una equazione differenziale di secondo grado lineare omogenea. Le condizioni al contorno sono rappresentate dalle condizioni iniziali (velocità iniziale e spostamento iniziale):

La soluzione generale della equazione D 9 è data dalla combinazione lineare di due qualsiasi integrali particolari linearmente indipendenti: u 1(t) e u 2(t) sono indipendenti se è diverso da zero il determinante di: L’equazione caratteristica associata alla D 9 è: Indicando con 1 e 2 le due radici dell’equazione di secondo grado, una coppia di soluzioni indipendenti è costituita da: L’esame del determinate della equazione D 10 mostra la possibilità che sussistano tre diverse alternative: < 1 ( < 0) SISTEMI DEBOLMENTE SMORZATI > 1 ( > 0) SISTEMI FORTEMENTE SMORZATI = 1 ( = 0) SISTEMI CRITICAMENTE SMORZATI

SISTEMI DEBOLMENTE SMORZATI < 1 La soluzione è data da: con 1 e 2 radici complesse coniugate dell’equazione caratteristica: Applicando la formula di Eulero: Otteniamo: Le u 1(t) e u 2(t) possono essere sostituite da una qualsivoglia altra coppia di integrali particolari purchè ancora linearmente indipendenti. Ad esempio:

Sostituendo u 3(t) e u 4(t) al posto di u 1(t) e u 2(t) otteniamo la soluzione generale della D 9: N. B Nel seguito implicitamente assumeremo la dipendenza temporale dello spostamento u Le costanti a 1 e a 2 sono definite dalle condizioni iniziali: Definendo inoltre le costanti U 0 e nel seguente modo: L’equazione D 11 può essere riscritta come:

OSSERVAZIONI: 1) u(t) denota un moto vibratorio smorzato per il quale i massimi (e i minimi) relativi si verificano ogni T=2 / 0 1 - 2 e sono situati sui rami delle due curve simmetriche 2) I valori assoluti dei massimi (e dei minimi) relativi decrescono secondo una progressione geometrica di rapidità: . Si definisce decremento logaritmico la quantità: 3) Il moto vibratorio tende ad estinguersi con il trascorrere del tempo. 4) Nel caso in cui << 1 si ha:

SISTEMI FORTEMENTI SMORZATI > 1 La soluzione è data da: con 1 e 2 radici reali dell’equazione caratteristica: Otteniamo: Ricordando che: Si ha che:

Sostituendo u 3(t) e u 4(t) al posto di u 1(t) e u 2(t) otteniamo la soluzione generale della D 9: Le costanti a 1 e a 2 sono definite dalle condizioni iniziali: u t OSSERVAZIONI: 1) u(t) perde le caratteristiche vibratorie e diventa aperiodico. 2) Il moto vibratorio tende ad estinguersi con il trascorrere del tempo.

SISTEMI CON SMORZAMENTO CRITICO = 1 La soluzione è data da: con 1 e 2 radici reali coincidenti: Otteniamo: Le costanti a 1 e a 2 sono definite dalle condizioni iniziali: OSSERVAZIONI: 1) La legge del moto è qualitativamente analoga a quella che compete al caso >1

C) Vibrazioni forzate smorzate Ø In questo caso si ha: Dividendo per m si ottiene: Ovvero: L’equazione D 15 è una equazione differenziale lineare di secondo grado non omogenea. Le condizioni al contorno sono rappresentate dalle condizioni iniziali (velocità iniziale e spostamento iniziale): Esprime il problema generale delle vibrazioni forzate in presenza di perturbazioni iniziali. In virtù della linearità del problema, la sua soluzione può essere espressa mediante il principio di sovrapposizione degli effetti nella forma:

u’(t) è soluzione del problema delle oscillazioni libere smorzate con perturbazione iniziale: u’’(t) è soluzione del problema delle oscillazioni forzate smorzate senza perturbazione iniziale:

D) Vibrazioni forzate smorzate senza perturbazione iniziale Il problema è rappresentato dalla seguente equazione differenziale: Metodi di risoluzione 1) Tecniche Dirette (integrano la D 16 direttamente nel dominio del tempo) a) Integrale di Duhamel • Metodo della forza impulsiva • Metodo della forza a gradino b) Integrazione numerica • ……………………. . 2) Tecniche Indirette (la D 16 viene trasformata in un dominio non temporale e ivi risolta. La soluzione cosi’ trovata viene anti-trasformata nel tempo. direttamente nel dominio del tempo) a) Trasformata di Laplace b) Trasformata di Fourier

METODO DELLA FORZA IMPULSIVA Si definisce forza impulsiva fh(t) una forza che possiede valore costante su un breve fh intervallo , essendo identicamente nulla su tutto il rimanente arco temporale: fh Si definisce impulso la grandezza: Si definisce forza impulsiva elementare una forza impulsiva caratterizzata da 0 e = 0, t fh I=1 t

Riscriviamo l’equazione del moto: N. B La legge del moto u(t) di un sistema dinamico sottoposto ad una forza impulsiva elementare (Dirac) è indicata con il simbolo h(t) e viene chiamata funzione di risposta all’impulso Ø Un’azione impulsiva elementare può essere assimilata all’effetto di una velocità iniziale il cui valore è fornito dall’uguaglianza fra l’impulso I e la quantità di moto: per cui si ha: impulsiva diventa: Ovvero: e l’equazione D 16 nel caso di forza

L’equazione D 18 rappresenta una vibrazione libera la cui soluzione è: OSSERVAZIONI: 1) L’equazione D 19 rappresenta la funzione di risposta a impulso per un SDOF smorzato 2) La funzione di risposta a impulso è funzione delle sole caratteristiche del SDOF (non contiene la forzante) 3) Il concetto di funzione di risposta a impulso si può estendere a tutti processi per i quali è possibile utilizzare modelli lineari. Ø Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti ed imponendo una traslazione dell’asse dei tempi, si può derivare la risposta u(t) ad una forza caratterizzata da un generico impulso I applicato al tempo :

Ø Siamo arrivati a risolvere il seguente problema: Ø Ricordiamo che il nostro problema originario era: Ø Nota la soluzione della D 17 si può ricavare la soluzione anche per una generica forzante f(t) (Equazione D 16). Infatti una generica forza eccitatrice f(t) può essere rappresentata, in modo approssimato, mediante la sovrapposizione di una successione di opportune forze impulsive.

Si ha che: Allora la risposta u(t) può essere espressa come la sovrapposizione delle risposte u i(t) alle singole forze impulsive fhi(t): Ma si ha che: Da cui: Se 0 si ha: L’integrale D 21 è una particolare “operazione” a cui si da il nome convezionale di convoluzione. Simbolicamente l’operazione di convoluzione tra due generiche funzioni viene indicata con il simbolo . Ovvero:

Proprietà della convoluzione -Commutativa: f(t) h(t)=h(t) f(t) -Distributiva: [f’(t) + f’’(t)] h(t)= f’(t) h(t)+ f’’(t) h(t) -Associativa: [f’(t) f’’(t)] h(t)= f’(t) [f’’(t) h(t)]

Abbiamo ricavato la formula che rappresenta l’integrale di convoluzione risolvendo il problema specifico dell’oscillatore armonico. In realtà la convoluzione è la rappresentazione matematica di un principio molto più generale noto come “principio di sovrapposizione degli effetti” che è valido per sistemi lineari. In altre parole, se un generico “sistema” obbedisce a relazioni lineari allora la conoscenza della risposta impulsiva del sistema, ovvero la risposta ad un “input” unitario, ci consente di conoscere la risposta o “output” ad un generico input. In altre parole la risposta impulsiva caratterizza in modo completo il sistema lineare. Ø Quali sono le proprietà di un “sistema” affinché esso possa definirsi lineare ? Dato un generico sistema S, un input i(t) al sistema ed un output “prodotto” dal sistema o(T) Input=i(t) SISTEMA Output=o(t) Il sistema S si dice lineare se valgono le seguenti proprietà: • se x(t) y(t) e x’(t) y’(t) allora: [x(t)+ x’(t)] [y(t)+ y’(t)] • se x(t) y(t) allora: cx(t) cy(t) Se S è lineare allora: Input=i(t) SISTEMA Output=o(t)=i(t) h(t) Dove h(t) rappresenta la risposta all’impulso per il sistema S e ne definisce completamente le caratteristiche.

In campo sismologico il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi il “modello convolutivo” viene di norma utilizzato per “modellare” in termini matematici la maggior parte dei fenomeni relativi alla generazione, propagazione e registrazione delle onde sismiche Ø Ad esempio, in primissima approssimazione, si può interpretare la registrazione sismica (sismogramma) come la realizzazione di una serie di processi lineari in “cascata”: Dove u(t) è il sismogramma osservato, x(t) la funzione “sorgente”, g(t) è la risposta ad impulso che tiene conto di tutti i fenomeni di propagazione (attenuazione, conversione di fase ecc) e i(t) è la risposta ad impulso che tiene conto dei fenomeni connessi con la registrazione del segnale sismico (risposta del sismometro).

Ø Lo studio del comportamento dell’oscillatore armonico nel “dominio del tempo” ci ha portato a definire le caratteristiche di un sistema lineare e l’operatore di convoluzione : nota la risposta all’impulso h(t) di un qualsiasi sistema lineare è possibile ottenere la risposta ad una qualsiasi sistema di forze esterne convolvendo la risposta all’impulso con la generica forza esterna: u(t) = f(t) h(t). Ø Nell’ambito delle oscillazioni forzate studiamo adesso una tipologia particolare di forza esterna: forza armonica. (N. B d’ora in poi ci occuperemo solo di sistemi fortemente smorzati < 1) E) Vibrazioni forzate (forza armonica) non smorzate Ø In questo caso si ha c=0 e f(t)=Q 0 sin ft Dove Q 0 è l’ampiezza della forza esterna armonica e f rappresenta la pulsazione della forza esterna. Il pedice “f” e’ stato introdotto per differenziare la pulsazione della forza esterna f dalla pulsazione 0 che è invece la pulsazione caratteristica del oscillatore armonico.

La soluzione generale della equazione (D 23) è data dalla somma della soluzione della equazione omogenea associata alla D 23 più una soluzione “particolare” della D 23. Ovvero: Dove uo(t) è la soluzione dell’equazione omogenea: Ovvero: La soluzione “particolare” rappresenta la risposta dovuta alla forza esterna. Ad esempio, si può ipotizzare una risposta “analoga” alla forza esterna cioè assumere una soluzione armonica. Ad esempio: Il valore della costante U 0 si può ottenere sostituendo la D 24 in D 23: Da cui:

Abbiamo definito il coefficiente come il rapporto tra la pulsazione (frequenza) della forza armonica esterna e la pulsazione (frequenza) caratteristica dell’oscillatore armonico: La soluzione generale si potrà scrivere come: Le costanti A e B sono definite dalle condizioni iniziali: Da cui: Analogamente si può ottenere:

La soluzione generale si potrà scrivere come: L’equazione D 26 e’ la soluzione nella forma più generale: studiamo adesso il caso particolare caratterizzato da condizioni iniziali nulle. Ovvero: In questo caso l’equazione D 26 diventa:

OSSERVAZIONI: Ø La soluzione è composta da due termini armonici: il primo con pulsazione uguale alla forza esterna il secondo con pulsazione pari alla pulsazione naturale dell’oscillatore Ø Il termine Q 0/k rappresenta la “risposta massa dovuto ad un carico pari a Q 0 Ø Il termine: statica” : ovvero lo spostamento della assume il significato di funzione di amplificazione dinamica (MF) o risposta in ampiezza e dipende esclusivamente dal rapporto . E’ possibile visualizzare il comportamento dinamico del sistema rappresentando MF in funzione di Per f << 0 (forzante “lenta”) si ha una risposta quasi statica (MF 1) Per f >> 0 (forzante “veloce”) si ha una deamplificazione (MF << 1) Per f << 0 si ha l’importate un notevole amplificazione (fenomeno della risonanza) e MF

E) Vibrazioni forzate (forza armonica) smorzate Ø In questo caso si ha f(t)=Q 0 sin ft Dividendo per m si ottiene: Ricordando che: Anche in questo caso la soluzione generale della equazione D 29 è data dalla somma della soluzione della equazione omogenea associata alla D 29 più una soluzione “particolare” della D 29. Ovvero: Dove uo(t) è la soluzione dell’equazione omogenea: Ovvero:

In questo caso una soluzione “particolare” può essere scritta come: Anche in questo caso i valori delle costanti U 1 e U 2 si possono ottenere sostituendo D 31 in D 29 ed utilizzando le proprietà delle funzioni sin e cos. Si ottiene: La soluzione generale si potrà scrivere come: Anche in questo caso le costanti C 1 e C 2 possono essere calcolate sulla base delle condizioni iniziali.

Ø La soluzione è composta da due termini armonici: il primo, indicato con u 0(t) rappresenta un “transiente” determinato dalle sole condizioni iniziali che tende ad estinguersi nel tempo (andamento esponenziale). Il secondo, indicato come u p(t) rappresenta invece una risposta armonica “stazionaria”. La risposta a regime stazionario si può scrivere come: Avendo definito:

Riassumendo: Ricordiamo che la nostra forzante esterna f(t) è: La risposta del nostro sistema dinamico smorzato è data da: i termini A e sono definiti da: La risposta dinamica del sistema è sempre armonica con pulsazione uguale alla forza esterna f(t). L’ampiezza della risposta dipende sia dall’ampiezza dell’ input Q 0 sia dal coefficiente di smorzamento . Lo sfasamento tra input ed output è invece determinato completamente dallo smorzamento Anche in questo caso il termine A è il prodotto tra la “risposta statica” (Q 0/k) ed una funzione di amplificazione dinamica (MF) definita in questo caso come:

I termini A e definiscono in maniera esaustiva il comportamento dell’oscillatore soggetto ad una forza armonica. A è ancora la funzione di amplificazione dinamica (MF) o risposta in ampiezza e è la risposta in fase. Anche in questo caso è possibile descrivere in modo esaustivo il comportamento dinamico del sistema rappresentando sia MF che in funzione di . In questo caso avremo però un fascio di curve rappresentativo dei possibili coefficienti di smorzamento . Dal punto di vista qualitativo l’MF ha comportamento del tutto analogo a quanto visto per all’oscillatore non smorzato: in questo caso però l’amplificazione dinamica, per pulsazioni prossime alla 0, è fortemente influenzata dal coefficiente di smorzamento . Si ha deamplificazione per valori superiori a 0. 7 e amplificazione (e risonanza) per valori inferiori a 0. 4. Si ha sempre uno sfasamento pari a /2 quando 0 = f. Per valori di pari a 0. 7 la funzione assume un andamento lineare.

Analisi di Fourier Ø In generale si possono suddividere le funzioni f(t) in due categorie: periodiche e aperiodiche. Le funzioni periodiche f(t) sono quelle per le quali è possibile definire un periodo Tf tale che: Utilizzando l’analisi di Fourier è possibile esprimere ogni funzioni periodica come un somma di funzioni armoniche semplici. Anche un funzione f(t) aperiodica (ad esempio un transiente) può “diventare” periodica se viene “ripetuta” dopo un certo periodo di “quiete”

Ø La somma di seno e coseno è ancora una funzione armonica ma l’ampiezza dell’oscillazione non e la semplice somma delle ampiezze dei termini sinusoidali e cosinusoidali: In termini trigonometrici si può osservare che il vettore a è sfasato di 90º rispetto a b (cos =sin( + 90º) ). Le componenti verticali sull’asse verticale sono: Componendo i due vettori a e b si ottiene un nuovo vettore di modulo pari a e sfasamento angolare pari a: Potremo scrivere:

Ø La più semplice espressione di una funzione periodica è la funzione seno: essa è caratterizzata da tre parametri: ampiezza, frequenza e fase. Dove A rappresenta l’ampiezza, la pulsazione o frequenza angolare e è la fase. Si avrà f(t)=0 quando t+ =0 o t- =0 Ø Se consideriamo il moto di un vettore di lunghezza A che ruota in senso antiorario con frequenza angolare pari a la proiezione dello spostamento sull’asse verticale sarà: Il periodo T è il tempo necessario per effettuare un ciclo: La frequenza esprime il numero di cicli nell’unità di tempo (secondo):

Ø In molti casi è conveniente esprimere le funzioni armoniche utilizzando la notazione complessa. La notazione complessa può essere derivata direttamente dalla formula di Eulero: i rappresenta il numero immaginario i= -1. La quantità e+i è un numero immaginario è ha una parte reale ed una complessa: Utilizzando la formula di Eulero si dimostra che: Da cui: Il termine e+i nel piano di Argand rappresenta un vettore unitario che ruota in senso orario con velocità angolare . I due termini nella F 1 rappresentano sue vettori con stessa parte reale (a/2) e parte immaginaria (b/2) di segno opposto.

Ogni termine a modulo pari a: parti immaginarie si elidono) e la somma ad ogni istante t è reale (le Serie di Fourier Sotto condizioni estremamente generali una funzione periodica f(t) di periodo T può essere sviluppata nella seguente serie di Fourier: Avendo definito:

Riscriviamo la serie di Fourier: Ogni termine della serie F 2 è periodico con periodo T/n (frequenza n/T). Alti valori di n corrispondono quindi ad alte frequenze. I coefficienti della serie sono: a 0 rappresenta la media della funzione sul periodo T. N. B Avendo definito: frequenze angolari pari a: , nella F 2 si ha una discretizzazione delle

Lo sviluppo in serie di Fourier è possibile in quanto le funzioni seno e coseno rappresentano un insieme di funzioni ortogonali (sono una “base”) ovvero: Dove il delta di Kronecker è 1 per m=n e zero se m n.

Esempio di serie di Fourier:

La serie di Fourier può essere riscritta come: Con: La rappresentazione grafica di cn in funzione di n è lo spettro di Fourier di ampiezza La rappresentazione grafica di n in funzione di n è lo spettro di Fourier di fase N. B Nel caso di serie di Fourier la variabile è discreta: per tale motivo gli spettri vengono rappresentati con diagrammi a “bastoni”

La serie di Fourier può essere riscritta anche utilizzando la notazione complessa: definendo: avremo: Dove l’asterisco indica che i coefficienti sono quantità complesse. Dal momento che funzione di ottenendo: n = -n possiamo cambiare i limiti della sommatoria In questo caso i coefficienti della serie sono:

Trasformata di Fourier Ø Una qualsiasi funzione aperiodica f(t) può essere trattata come una funzione periodica con periodo T . Consideriamo nuovamente la serie esponenziale di Fourier: Posto = n+1 - n=2 /T cioè 1/T= /2 si ha: Al limite per T , 0 si ha che tende a diventare una variabile continua:

Proprietà della Trasformata di Fourier -Linearità della trasformazione: -Trasformazione della derivata: -Proprietà della traslazione: -Proprietà di convoluzione: N. B L’ultima proprietà ci indica che l’operazione di convoluzione (dominio del tempo) è equivalente al prodotto delle trasformate di Fourier (dominio delle frequenze)

Se indichiamo con F( ) la quantità: si ha: Riassumendo: f(t) periodica (T) f(t) generica T

La funzione F( ) è denominata trasformata di Fourier della funzione f(t) e viene indicata anche come f(t). E’ una funzione complessa della variabile reale (pulsazione) . Analogamente f(t) rappresenta l’anti-trasformat a di Fourier della funzione F( ) e viene indicata anche come -1 f( ). Trasformate “notevoli” f(t)= -1 f( ). F( )= f(t). 1 1

Ø La trasformata di Fourier si può esprimere in forma polare: Dove la funzione |F( )| è lo spettro di ampiezza e ( ) è lo spettro di fase: N. B Sia F( ) che ( ) sono funzioni reali della variabile . Tra la funzione f(t) e la su trasformata di Fourier esiste una corrispondenza biunivoca che si può indicare come: Ø Nel dominio del tempo la funzione f è completamente definita dalla funzione reale f(t). Nel dominio delle frequenze si hanno due funzioni reali (ampiezza e fase) necessarie entrambe alla definizione univoca della funzione f.

N. B f(t) e la sua trasformata di Fourier F( ) hanno dimensioni diverse: se ad esempio f(t) è il sismogramma che ha le dimensioni dello spostamento, la sua trasformata di Fourier ha le dimensioni di un spostamento moltiplicato per un tempo Ø In campo sismologico, l’osservazione degli spettri di ampiezza delle registrazioni sismiche, ha evidenziato che le onde di volume sono caratterizzate da alte frequenze mentre le onde di superficie hanno frequenze minori (periodi 14 -20 s)

F) Vibrazioni forzate smorzate (analisi nel dominio delle frequenze) Ø Ricordiamo che il problema è rappresentato dalla seguente equazione Con le condizioni aggiuntive: In precedenza avevamo risolto “nel dominio del tempo” il problema definito dalla equazione 14 utilizzando il metodo della forza impulsiva. Attraverso la definizione della funzione di risposta ad impulso h(t), la soluzione dell’equazione 14 è rappresentata dalla convoluzione di f(t) con h(t) ovvero: Ø Risolveremo adesso il problema rappresentato dalla equazione D 14 utilizzando le proprietà della trasformata di Fourier (tecnica indiretta)

Ø Riscriviamo l’equazione 14: Applichiamo adesso la trasformata di Fourier: Ovvero: Da cui: Dove U( ) rappresenta la trasformata di Fourier di u(t) e F( ) la trasformata di Fourier di f(t) Raccogliendo U( ) si ha:

Definiamo adesso la funzione di risposta complessa in frequenza H( ) come: L’equazione D 34 può essere riscritta come: OSSERVAZIONI: Ø L’equazione D 35 può essere riscritta come: H( )= U( )/F( ). La funzione di risposta complessa in frequenza è il rapporto tra la risposta dell’oscillatore e la forzante esterna (rapporto delle trasformate di Fourier !) Ø La funzione H( ) dipende solo dalla caratteristiche dinamiche del sistema: in maniera del tutto analoga alla funzione di risposta ad impulso h(t) caratterizza in modo completo l’oscillatore armonico. Ø Nel dominio del tempo si era ottenuto: u(t)=h(t) f(t). Considerando la proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier si ha:

Ø La la funzione di risposta complessa in frequenza H( ) si può esprimere in forma polare: Ø Le funzione |H( )| è una funzione reale (è rappresenta il modulo di H( )) che viene denominata risposta in ampiezza Anche la funzione ( ) è reale: essa viene denominata risposta in fase. Ø Nel caso dell’oscillatore armonico, nota la funzione di risposta complessa in frequenza H( ) è possibile calcolare |H( )| e ( ). Introducendo nuovamente nella seguente forma: La funzione di risposta complessa in frequenza si può scrivere come:

Avremo che: OSSERVAZIONI: - Abbiamo ottenuto un risultato del tutto analogo a quanto ottenuto, nel dominio del tempo, per una f(t) armonica di ampiezza Q 0. La risposta in ampiezza del sistema non è altro che il prodotto della risposta statica unitaria (1/k) moltiplicata per la funzione di amplificazione già ottenuta. -La risposta in fase è quella già ottenuta in precedenza -In precedenza avevamo risolto il problema utilizzando una f(t) armonica. L’analisi di Fourier ha dimostrato che ogni f(t) può essere espressa come una combinazione lineare di armoniche semplici : per questo motivo lo studio del comportamento dell’oscillatore armonico utilizzando la trasformata di Fourier ci ha condotti ad un risultato analogo alla forzante armonica.

Riassumendo: I risultati ottenuti per un sistema lineare particolare quale l’oscillatore armonico smorzato si possono estendere a qualsiasi sistema lineare. -Ogni sistema lineare è caratterizzato in modo completo dalla sua risposta complessa in frequenza H( ) Noi abbiamo derivato l’equazione di H( ) per l’oscillatore armonico: in generale, dato un sistema lineare, non è possibile “calcolare” in forma esatta H( ). - H( ) è la trasformata Fourier della risposta ad impulso h(t), ma a differenza di quest’ultima assume un significato fisico particolare: H( ) è il rapporto tra l’output e l’input (nel dominio delle frequenze). - Dalla risposta complessa in frequenza H( ) si possono ottenere lo spettro di ampiezza della risposta (|H( )|) e lo spettro di fase ( ( )) della risposta. - Un sistema lineare agisce come un “filtro” selettivo amplificando (deamplificando) e sfasando le componenti armoniche del segnale in input: lo spettro di ampiezza e lo spettro di fase (denominati anche “risposta in ampiezza” “risposta in fase”) rappresentano in modo quantitativo ed esaustivo l’azione “filtrante” del sistema lineare. Impulso = (t) Arbitraria =f(t) SISTEMA Lineare h(t) H( ) u(t) =h(t) f(t). U( )= H( )F( )

Ø Una delle principali applicazioni in campo sismologico della teoria sviluppata per l’oscillatore armonico è la sismometria. In linea di principio il sismometro meccanico più semplice è proprio costituito da pendolo semplice caratterizzato da un periodo o frequenza fondamentale e da uno smorzamento. Ø In altre parole è possibile affermare che il sismometro agisce (purtroppo) da filtro. Le caratteristiche di questo filtro dipendono fondamentalmente dalle caratteristiche costruttive proprie dello strumento. La principale conseguenza di questo comportamento è che lo stesso evento sismico sarà “registrato” in maniera differente a seconda dello strumento utilizzato. Ø Al giorno d’oggi (già dai primi del ‘ 900) i sismometri non possono più essere rappresentati come degli oscillatori meccanici semplici: tuttavia, essendo sistemi lineari possono essere sempre caratterizzati utilizzando una funzione di risposta in ampiezza ed una funzione di risposta in fase.

Ø In linea di principio il sismometro “migliore” è quindi il sismometro che consente una riproduzione fedele del movimento del terreno. Ciò equivale ad avere una risposta frequenza costante (pari all’amplificazione) per un “range” di frequenze il più ampio possibile. (Le frequenze di interesse sismologico sono 0. 01 Hz - 30 Hz) Ø Abbiamo dimostrato che la risposta in ampiezza dell’oscillatore armonico è ben lungi dall’essere costante: a seconda del coefficiente di smorzamento si ha un comportamento diverso ma comunque non si ottiene mai una andamento “piatto” Ø Tutti i sismometri sia meccanici che elettromagnetici (di costruzione antecedente al 1970 circa) in effetti mostrano una risposta in frequenza che si può ritenere costante solo in un ristretto range di frequenze. A seconda degli scopi di utilizzo quindi si possono distinguere strumenti a corto periodo e strumenti a lungo periodo.

Ø Al giorno d’oggi, grazie all’avvento dell’elettronica digitale, sono disponibili sismometri denominati Broad. Band o Very-Broadband che sono caratterizzati da una risposta in frequenza “piatta” per frequenze comprese tra i 0. 01 Hz e i 50 Hz

Un problema dinamico lineare può essere risolto utilizzando due approcci diversi (che conducono alla medesima soluzione) • Dominio del tempo • Dominio della frequenza Questo secondo approccio può essere schematizzato nella seguente successione di operazioni: 1) Nota la forza esterna f(t) ne calcolo la trasformata di Fourier F( ) 2) Caratterizzo il sistema mediante la funzione di risposta complessa in frequenza H( ) 3) Determino la trasformata di Fourier della soluzione del problema: U( )= H( )F( ) 4) Eseguo l’anti-trasformta di U( ) ed ottengo u(t).