Sistemi e Tecnologie della Comunicazione Complementi 2 serie

Sistemi e Tecnologie della Comunicazione Complementi 2: serie e trasformate di Fourier

Formule di prostaferesi n Le formule di prostaferesi esprimono il valore di seno e coseno di somme di angoli in prodotti di seni e coseni dei singoli angoli, e viceversa:

Funzione periodica di periodo T n Sia per tutto il seguito T=1/f Data la funzione: si dimostra che e’ periodica di periodo T: l’ultima uguaglianza in quanto, per ogni angolo θ si ha:

Integrali utili

Dimostrazioni Integrale (1): Integrale (2) per n = 0: per n ≠ 0:

Dimostrazioni (cont. ) Integrale (3): Applicando i risultati degli integrali (1) e (2) si ha la dimostrazione. L’integrale (4) si dimostra in modo analogo, applicando le formule di prostaferesi e poi i risultati degli integrali (1) e (2)

Altri integrali utili

Dimostrazioni Integrale (5): Poiche’ l’integrale (2) vale 0 per ogni n, l’integrale (5) vale 0. Gli integrali (6) e (7) si dimostrano in modo analogo, applicando le formule di prostaferesi ed i risultati degli intergali (1)-(4), ricordando che per (n-k)=0 l’integrale del coseno non e’ nullo!

Serie di Fourier n n Data una qualsiasi funzione periodica di periodo T continua con derivata continua a tratti e limitata, e’ possibile scriverla come somma di seni e coseni: dove f = 1/T e’ la frequenza della funzione I coefficienti dello sviluppo sono dati dalle relazioni:

Dimostrazione dei coefficienti di Fourier n Coefficiente a 0: per gli integrali (1) e (2) – in questo caso n≠ 0! - tutti i termini delle due sommatorie sono nulli, quindi:

Dimostrazione dei coefficienti di Fourier n Coefficiente ak (per i coefficienti bk la dimostrazione e’ analoga): il primo addendo vale zero (per l’integrale (1)), ed il terzo anche (per l’integrale (5), per tutti gli n), quindi per l’integrale (6) sono nulli i termini della somma con n ≠ k, quindi

Esempio n Vediamo lo sviluppo in serie di Fourier della funzione n Il calcolo dei coefficienti e’:

Esempio n Il secondo addendo e nullo (integrale (5)), mentre il terzo e’ nullo per n≠ 1, quindi Il primo addendo e’ sempre nullo, il secondo e’ nullo per n≠ 1, quindi

Esempio n Si ha quindi lo sviluppo: Si puo’ osservare che lo sviluppo in serie di Fourier della funzione di esempio coincida in questo caso con la formula di prostaferesi (non poteva essere altrimenti!)

Note sulla formula di Eulero n La formula di Eulero definisce la funzione esponenziale ad esponente immaginario: Da questa formula si deducono le relazioni:

Sviluppo di Fourier in forma complessa definiamo:

Sviluppo di Fourier in forma complessa possiamo quindi scrivere: poiche’ possiamo scrivere (sostituendo –n ad n nel terzo addendo): si ha:

Sviluppo di Fourier in forma complessa definendo infine: abbiamo l’espressione finale:

Relazione tra i coefficienti In base alle definizioni si ha: da cui le relazioni inverse: e’ semplice infine dimostrare che per ogni n:

Esempio: onda quadra n Eseguiamo lo sviluppo in forma complessa della funzione onda quadra periodica di periodo T: I coefficienti dello sviluppo sono dati da

Esempio: onda quadra per n=0 si ha: per n≠ 0 si ha:

Esempio: onda quadra essendo (ricordiamo che T=1/f): si ha: quindi:

Esempio: onda quadra esprimendo il risultato in termini di a e b: possiamo quindi scrivere lo sviluppo dell’onda quadra come: