Sistemi e Tecnologie della Comunicazione Complementi 1 numeri

Sistemi e Tecnologie della Comunicazione Complementi 1: numeri complessi

I numeri complessi n n n La definizione dei numeri complessi nasce dalla esigenza di trovare una soluzione alla equazione: che non ha soluzione nel campo dei numeri reali L’utilizzo dei numeri complessi si rivela efficace nella trattazione matematica di svariati problemi fisici, tra i quali i fenomeni oscillatori (vibrazioni, correnti alternate, fluidodinamica, …) Vedremo una trattazione non rigorosa, ma sufficiente ad apprenderne l’utilizzo in pratica

Definizione n Un numero complesso puo’ essere definito come un oggetto della forma dove a e b sono numeri reali, ed i e’ una quantita’ immaginaria tale che

Somma di numeri complessi n La somma di due numeri complessi si definisce come la normale somma algebrica di binomi: n La somma e’ dotata di elemento neutro: il numero complesso con a=b=0 : n Per ogni numero complesso esiste il suo opposto:

Prodotto di numeri complessi n Analogamente il prodotto di numeri complessi sara’: n Il prodotto e’ dotato di elemento neutro: il numero complesso con a=1 e b=0 n Per ogni numero complesso non nullo esiste l’inverso:

Parte reale e parte immaginaria n Dato il numero complesso si definisce parte reale il numero reale: e parte immaginaria il numero reale:

Coniugato di un numero complesso n n Dato un numero complesso a+ib, si definisce coniugato quel numero complesso che ha la stessa parte reale e parte immaginaria opposta: La somma ed il prodotto di un numero complesso con il suo coniugato hanno sempre come risultato un numero reale:

Rappresentazione geometrica n Cosi’ come i numeri reali possono essere rappresentati come i punti di una retta, i numeri complessi (coppie di numeri reali) possono essere rappresentati come punti del piano, dove l’ascissa corrisponde alla parte reale, l’ordinata alla parte immaginaria del numero complesso

Rappresentazione trigonometrica n I punti del piano (quindi i numeri complessi) sono identificabili, oltre che dalle coordinate, dai due numeri: n n la lunghezza ρ: la distanza tra il punto e l’origine la rotazione θ: l’angolo che la congiungente con l’origine forma con l’asse delle ascisse (calcolato in senso antiorario)

Modulo e fase di un numero complesso n n Si definisce modulo di un numero complesso la quantita’: che coincide con la distanza del punto rappresentativo del numero complesso nel piano dall’origine degli assi L’angolo θ si chiama argomento (o fase) del numero complesso:

Relazioni tra rappresentazioni n n Da quanto visto valgono le seguenti relazioni: Si puo’ quindi scrivere:

Moltiplicazione in rappresentazione trigonometrica n La rappresentazione trigonometrica e’ comoda per il calcolo della moltiplicazione e della potenza:

Formula di Eulero n n Consideriamo la funzione di variabile reale: Si puo’ dimostrare che si comporta come una funzione esponenziale con esponente immaginario, quindi possiamo scrivere:

Formula di Eulero (2) n n Possiamo quindi scrivere un numero complesso nella forma: le formule per la moltiplicazione e la potenza possono essere scritte come: