STATISTIKA 1 6 Teori Peluang I MATERI KULIAH

STATISTIKA 1 6. Teori Peluang I MATERI KULIAH STATISTIKA DESKRIPTIF ILMU EKONOMI UNIVERSITAS GUNADARMA 2017 1 OLEH: RISKAYANTO

TERMINOLOGI Probabilitas adalah kesempatan sebuah kejadian untuk terjadi. v. Probabilitas dinyatakan dalam fraksi (½, ¾, dstr) atau desimal (0, 5; 0, 37; dstr). v. Nilai probabilitas kejadian A, ditulis dengan P(A). v. Nilai P(A) = 0 → artinya kejadian A tidak pernah/mungkin terjadi (kemustahilan). v. Nilai P(A) = 1 → artinya kejadian A akan selalu/pasti terjadi (kepastian) Eksperimen adalah proses yang membangkitkan data atau kejadian. 2

TERMINOLOGI Ruang contoh (S) adalah himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil sebuah eksperimen (semesta). Contohnya: v. Apakah ruang contoh sisi yang akan muncul dari percobaan pelemparan sebuah mata uang? Jawab: S={head, tail} atau S={Gambar, Angka} v. Apakah ruang contoh sisi yang akan muncul dari pelemparan sebuah dadu? Jawab: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Anggota-anggota himpunan yang menyusun ruang contoh disebut titik contoh atau elemen. 3

TERMINOLOGI Peristiwa (kejadian) adalah satu atau lebih kemungkinan hasil karena melakukan percobaan (eksperimen). Contoh: v. Dari sekumpulan 52 kartu bridge, ruang contoh jenis kartunya adalah S={sekop, klaver, hati, wajik}. Jika kita hanya tertarik dengan kejadian A, yaitu munculnya kartu yang berwarna merah, maka A={hati, wajik}. Jika terdapat daftar seluruh kemungkinan peristiwa yang bisa terjadi dari sebuah percobaan, maka daftar kemungkinan hasil tersebut dapat dikatakan sebagai collectively exhaustive. 4

TERMINOLOGI Contoh daftar collectively exhaustive dari seluruh kemungkinan hasil percobaan “pelemparan dua buah dadu yang setimbang”: 5

PENCACAHAN TITIK CONTOH Perhitungan banyaknya elemen yang menyusun suatu ruang contoh dapat diperoleh dengan cara mencacah. Cara mencacah dilakukan, karena dalam banyak hal variabel yang dianalisis merupakan variabel diskrit. Variabel diskrit adalah variabel yang nilai-nilainya mengikuti sistem bilangan cacah (tidak mengenal bilang-an pecah). 6

PENCACAHAN TITIK CONTOH KAIDAH PENGGANDAAN Kaidah penggandaan (multiplicative rule) menjelaskan suatu titik contoh dalam ruang contoh sebagai salah satu hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Percobaan yang dimaksudkan merupakan sebuah atau rangkaian operasi/trial/ulangan. Setiap operasi/trial/ulangan memungkinkan untuk memberi 2 atau lebih hasil yang berbeda. Satu titik contoh merupakan satu hasil yang mungkin yang memiliki susunan hasil operasi/trial/ulangan yang berbeda dengan titik contoh lainnya. 7

PENCACAHAN TITIK CONTOH Kaidah Umum Penggandaan Adalah jumlah total susunan atau cara yang dapat dihasilkan dari percobaan dengan k buah trial, di mana trial ke-i akan memberikan ni cara atau hasil. di mana: 8 N = jumlah total susunan atau cara ni = jumlah cara atau hasil pada trial ke-i k = jumlah trial

PENCACAHAN TITIK CONTOH Contoh 1: Sebuah rumah makan membuat paket menu yang terdiri dari sup, salad, steak, dan es krim. Jika rumah makan terse-but memiliki 4 jenis sup, 2 jenis salad, 5 jenis steak, dan 3 jenis es krim, berapakah total paket menu yang dapat dibuat? Jawab: 9 Total paket menu yang dapat dibuat: N = n 1 × n 2 × n 3 × n 4 =4× 2× 5× 3 = 120 paket menu

PENCACAHAN TITIK CONTOH Contoh 2: Berapakah banyaknya bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 0, 2, 3, dan 5, jika: a. semua angka boleh berulang? b. angka tidak boleh berulang? c. angka tidak boleh berulang dan merupakan kelipatan 2? Jawab: 10 a. N = 4 × 4 × 4 = 256 angka b. N = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 angka c. N = 3 × 2 × 1 × 2 = 12 angka

PENCACAHAN TITIK CONTOH Untuk memperoleh hasil pencacahan titik contoh secara visual, penyelesaian permasalahan dapat dilakukan secara visual dengan membuat diagram pohon (tree diagram). Sebagai ilustrasi, misalkan dilakukan percobaan dengan melempar sebuah koin yang setimbang sebanyak 2 kali. Berapakah jumlah total kemungkinan hasil (titik contoh) yang bisa diperoleh? Ilustrasi di atas merupakan percobaan dengan 2 trial (jumlah lemparan koin), di mana kemungkinan hasil untuk tiap trial: 11 Ø Trial ke-1 ada 2 kemungkinan hasil: Angka (A) atau Gambar (G)

PENCACAHAN TITIK CONTOH Diagram pohon penyelesaian: MULAI TRIAL-I A TRIAL-II HASIL A AA G AG A GA G GG START G Daftar titik contoh S={AA, AG, GA, GG} → N(S) = 4 12

PENCACAHAN TITIK CONTOH Apabila koin dilempar 3 kali, maka diagram pohonnya: MULAI TRIAL-III HASIL A AAA G AAG A AGA G AGG A GAA G GAG A GGA G GGG A A G START A G G 13 S={AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA,

PENCACAHAN TITIK CONTOH 14 REVIEW: Diketahui sebuah percobaan dilakukan dengan melempar sebuah koin yang setimbang sebanyak 2 kali, diikuti dengan melempar sebuah dadu yang setimbang sebanyak 1 kali. Gunakan notasi A dan G untuk menyatakan sisi-sisi angka dan gambar dari koin, serta notasi 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 untuk menyatakan sisi-sisi pada dadu. a. Berapakah jumlah total titik contoh yang mungkin didapat? b. Daftarlah titik-titik contohnya dengan terlebih dulu membuat diagram pohonnya!

PERMUTASI Adalah penyusunan sejumlah obyek dalam suatu urutan tertentu. Dalam permutasi, urutan obyek diperhatikan! Jumlah objek dapat dipandang sebagai jumlah trial/ulangan dari suatu percobaan. Kemungkinan hasil untuk tiap trial adalah sejumlah objek yang disusun untuk trial ke-1, dan berkurang satu untuk tiap tambahan trial. 15

PERMUTASI Permutasi yang menyusun seluruh n objek yang terlibat: di mana: N = jumlah total susunan = Permutasi n trial dari n objek yg berbeda 16 n! = n-faktorial per definisi, 0! = 1 1! = 1 2! = 2 × 1 = 2 3! = 3 × 2 × 1 = 6 100! = 100 × 99! dan seterusnya…

PERMUTASI Contoh 3: Berapa cara bisa dilakukan untuk menyusun bola lampu merah, biru, kuning, dan hijau? Jawab: Terdapat 4 obyek yang berbeda dalam masalah ini, yaitu: bola lampu merah, biru, kuning, dan hijau. Jadi, Terdapat 24 cara untuk menyusun 4 bola lampu beda warna tersebut. 17

PERMUTASI Penyelesaian masalah permutasi tetap bisa dilakukan dengan menggambar diagram pohon seperti pada masalah kaidah penggandaan. Misalkan bola lampu yang akan disusun pada Contoh 3 hanya ada tiga dengan warna masing-masing adalah merah, biru, dan kuning. Jumlah total susunan yang mungkin diperoleh dengan demikian adalah: Terdapat 6 cara untuk menyusun ketiga bola lampu beda warna tersebut. 18

PERMUTASI Diagram pohon untuk penyusunan 3 bola lampu beda warna: MULAI START 19 TRIAL-III HASIL

PERMUTASI PARSIAL Adalah banyaknya permutasi r obyek dari total n obyek yang berbeda. r merupakan himpunan bagian (kejadian) dari n. di mana: N = jumlah total susunan = permutasi r trial dari n obyek yg berbeda n! = n-faktorial 20

PERMUTASI PARSIAL Contoh 4: Dari 40 nomor rekening pemegang polis asuransi, akan diundi 3 di antaranya untuk memenangkan hadiah. Undian urutan pertama akan memperoleh uang tunai senilai US$ 10. 000, -. Undian kedua akan memperoleh paket wisata ke Eropa selama 5 hari, sedangkan undian ketiga berhak atas sebuah sepeda motor OTR. Berapakah banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk, jika satu nomor rekening hanya berhak atas 1 hadiah? 21

PERMUTASI PARSIAL Jawab: Jumlah total kemungkinan susunan 3 pemenang undian di antara 40 rekening: = 59. 280 susunan 22

PERMUTASI MELINGKAR Adalah permutasi n obyek berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran. Obyek yang dipandang sebagai kepala diasumsikan juga sebagai ekor. di mana N = jumlah total susunan melingkar = permutasi melingkar n trial dari n obyek yang berbeda. 23

PERMUTASI MELINGKAR Contoh 5: Enam orang sedang bermain kartu dalam posisi duduk yang melingkar. Berapa banyaknya susunan berbeda dari pemain-pemain tersebut yang dapat dibentuk? Jawab: Jumlah total susunan berbeda dari para pemain yang dapat dibentuk: 24

PERMUTASI KELOMPOK Adalah banyaknya permutasi yang dapat dibentuk dari n buah obyek, di mana di antaranya: Ø Sejumlah n 1 dapat dikelompokkan dalam kelompok 1 Ø Sejumlah n 2 dapat dikelompokkan dalam kelompok 2 Ø Sejumlah n 3 dapat dikelompokkan dalam kelompok 3 : : Ø Sejumlah nk dapat dikelompokkan dalam kelompok k sehingga, n = n 1 + n 2 + n 3 + …. . + nk 25

PERMUTASI KELOMPOK Banyaknya susunan yang dapat dibentuk adalah: di mana, 26 N = jumlah total susunan kelompok ni = jumlah obyek pada kelompok ke-i k = jumlah kelompok

PERMUTASI KELOMPOK Contoh 6: Berapakah jumlah total permutasi yang dapat dibentuk dari kata “STATISTIKA”? Jawab: Dalam masalah ini, yang menjadi kelompok adalah jenis hurufnya, sehingga didapati 5 kelompok dengan masing-masing kelompok memiliki jumlah obyek S=2, T=3, A=2, I=2, dan K=1. Total jumlah obyek n = 10, sehingga: 27

KOMBINASI Adalah penyusunan sejumlah r obyek berbeda yang dipilih dari n obyek berbeda. Dalam kombinasi, urutan obyek yang dikombinasikan (disu-sun), tidak diperhatikan. Misalkan dibuat kombinasi 2 dari 3 obyek berbeda, yakni A, B, dan C. Hasil pengkombinasiannya akan memberikan hanya 3 susunan, yaitu: A dan B = B dan A A dan C = C dan A B dan C = C dan B 28

KOMBINASI Dalil kombinasi adalah sebagai berikut: di mana: 29 n = jumlah total obyek yang berbeda r = jumlah obyek = kombinasi r obyek dari total n obyek.

KOMBINASI Contoh 7: Berapakah kombinasi yang mungkin diperoleh dari hasil menyusun seluruh 4 angka kode kunci sebuah gembok: 5, 6, 7, 8? Jawab: Hanya ada 1 kombinasi, yaitu: 5678 30

PENGGANDAAN & KOMBINASI Dalam banyak kasus praktis, masalah penggandaan dan kombinasi sering kali digunakan secara bersama. 31 Contoh 8: Seorang Manajer SDM mengajukan 10 orang calon manajer yang berkualifikasi sama: 5 calon berasal dari kantor pusat, 3 calon dari kantor cabang, dan 2 calon dari program pelatihan manajer. Berapa cara manajer SDM dapat memilih 6 manajer baru dengan ketentuan 3 berasal dari kantor pusat, 2 dari kantor cabang, dan 1 dari program pelatihan manajer.

PENGGANDAAN & KOMBINASI Jawab: Pemilihan 3 dari 5 calon dari kantor pusat: Pemilihan 2 dari 3 calon dari kantor cabang: Pemilihan 1 dari 2 calon dari program pelatihan manajer: 32 Jadi, total cara yang dapat diperoleh untuk memilih manajer: N = N × N = 10 × 3 × 2 = 60

PENGGANDAAN & KOMBINASI REVIEW: 4 orang sedang bersiap untuk bermain kartu bridge. Jika dalam satu putaran permainan bridge seluruh kartu bridge (tanpa kartu joker) dibagi habis di antara keempat pemain, maka hitunglah berapa cara seorang pemain bisa berharap untuk memperoleh 5 kartu ♠, 4 kartu ♥, 3 kartu ♦, dan 1 kartu ♣. 33