PROGRAM LINIER ANALISIS POST OPTIMAL M FIKRY IZZA

PROGRAM LINIER : ANALISIS POST- OPTIMAL

M. FIKRY IZZA ALMIRAZAQY DHIMAS WIDAGDO ANZELINA NENTIA PANDIANGAN DIANISA HADIANTI MUHAMMAD ZAMY

Pengantar Biasanya, setelah solusi optimal dari masalah program linier ditemukan maka peneliti cenderung untuk berhenti menganalisis model yang telah dibuat. Padahal sesungguhnya dengan menganalisis lebih jauh atas solusi optimal akan dapat menghasilkan informasi lain yang berguna

Analisis yang dilakukan terhadap solusi optimal untuk mendapatkan informasi tambahan yang berguna tersebut dikenal dengan analisis post-optimal Analisis ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu: ◦ Analisis Dualitas ◦ Analisis Sensitivitas

Analisis Dualitas Dilakukan dengan merumuskan dan menginterpretasikan bentuk dual dari model. Bentuk dual adalah suatu bentuk alternatif dari model program linier yang telah dibuat dan berisi informasi mengenai nilai-nilai sumber yang biasanya membentuk sebagai batasan model

Analisis Sensitivitas Dilakukan untuk menganalisis dampak yang terjadi pada solusi optimal terhadap perubahan-perubahan yang terjadi pada koefisien-koefisien batasan model maupun koefisien pada fungsi tujuan

Analisis Dualitas

Model program linier memiliki 2 bentuk, yaitu: Model primal adalah bentuk asli dari suatu model program linier Model dual adalah bentuk alternatif yang dikembangkan dari model primal

Kegunaan bagi pengambil keputusan adalah: Model Primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba yang diperoleh dari memproduksi barang ataupun biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi barang. Model Dual akan menghasilkan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.

Solusi pada model dual memberikan informasi tentang sumber-sumber yang digunakan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber-sumber daya, serta berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan tersebut.

Hubungan khusus antara primal dan dual adalah : Variabel dual Y 1 , Y 2 , Y 3 berhubungan dengan batasan model primal. Dimana untuk setiap batasan dalam primal terdapat satu variabel dual. Misal, dalam kasus di atas model primal mempunyai 3 batasan, maka dualnya akan mempunyai 3 variabel keputusan. Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual. Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variabel keputusan dual. Koefisien fungsi tujuan primal, merupakan nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model dual. Pada bentuk standar, model maksimisasi primal memiliki batasan <, sedangkan model minimisasi dual memiliki batasan >.

Contoh 1 : Model Primal Fungsi tujuan : Maks Z = 160 X 1 + 200 X 2 Fungsi batasan : 2 X 1 + 4 X 2 < 40 18 X 1 + 18 X 2 < 216 24 X 1 + 12 X 2 < 240 X 1 , X 2 > 0

Model Dualnya adalah: Fungsi tujuan : Min Z = 40 Y 1 + 216 Y 2 + 240 Y 3 Fungsi batasan : 2 Y 1 + 18 Y 2 + 24 Y 3 > 160 4 Y 1 + 18 Y 2 + 12 Y 3 > 200 Y 1 , Y 2 , Y 3 > 0

Contoh 2 : Model Primal Fungsi tujuan : Min Z = 6 X 1 + 3 X 2 Fungsi batasan : 2 X 1 + 4 X 2 > 16 4 X 1 + 3 X 2 > 24 X 1 , X 2 > 0

Model Dualnya adalah: Fungsi tujuan : Maks Z = 16 Y 1 + 24 Y 2 Fungsi batasan : 2 Y 1 + 4 Y 2 < 6 4 Y 1 + 3 Y 2 < 3 Y 1 , Y 2 > 0

Perhatian: Untuk mentransformasikan model primal kedalam bentuk dual adalah bahwa model primal harus dalam bentuk standar. Sehingga, bila model primal belum dalam bentuk standar harus dirubah dulu menjadi bentuk standar. Untuk masalah maksimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi batasan mempunyai tanda <. Untuk masalah minimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi batasan mempunyai tanda >.

Menginterpretasi Model Primal : Misal dipunyai solusi optimal dari model primal sbb. : cj Variabel 160 200 0 Basis Kuantitas X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 200 X 2 8 0 1 1/2 -1/18 0 160 X 1 4 1 0 -1/2 1/9 0 0 S 3 48 0 0 6 -2 1 zj 2240 160 20 20/3 0 cj - zj 0 0 -20/3 0

Diperoleh: Jumlah produk 1 yaitu X 1 = 4 Jumlah produk 2 yaitu X 2 = 8 Sisa sumber daya 3 adalah S 3 = 48 m 2 Baris cj’ dibawah kolom S 1 adalah -20, artinya bahwa nilai dari satu unit sumber daya 1 adalah sebesar 20. Nilai baris cj’ dibawah kolom S 2 adalah -20/3, bahwa nilai dari satu unit sumber daya 2 adalah sebesar 20/3. Laba yang diperoleh sebesar 2240. Untuk sumber daya 3 (S 3) pada baris cj’ bernilai nol, artinya bahwa sumber daya 3 memiliki nilai marjinal nol, yaitu kita tidak akan bersedia membayar apapun penambahan 1 unit sumber daya 3.

Solusi optimal Model Dual cj Variabel Basis Kuantitas 216 y 1 20/3 40 y 2 160 200 0 y 2 y 3 S 1 S 2 0 1 2 -1/9 1/18 20 1 0 -6 1/2 -1/2 zj 2240 40 216 192 -4 -8 cj - zj 0 0 -48 -4 -8 y 1

Dari batasan dual yang pertama, yaitu 2 y 1+18 y 2+24 y 3 160 laba per produk A. Artinya nilai dari ketiga sumber yang digunakan untuk memproduksi produk A, paling sedikit harus sebesar laba yang diperoleh dari produk A. Dari batasan dual yang kedua, yaitu 4 y 1+18 y 2+12 y 3 200 laba per produk B. Artinya nilai dari ketiga sumber yang digunakan untuk memproduksi produk B, paling sedikit harus sebesar laba yang diperoleh dari produk B. Fungsi tujuan untuk model dual adalah meminimalkan Z = 40 y 1+216 y 2+240 y 3, ini berarti nilai total sumber-sumber daya (jam tenaga kerja, bahan baku, gudang) adalah sebesar : 40. 20 + 216. 20/3 + 240. 0 = 2240. Artinya, nilai total minimal untuk kebutuhan sumber adalah 2240.

Analisis Sensitivitas

Pada masalah program linier, diasumsikan bahwa parameter-parameter dari model diketahui dengan tepat dan pasti. Dalam kenyataannya hal ini jarang sekali terjadi, sehingga para manajer perlu untuk mengetahui dampak yang terjadi pada solusi model apabila parameter model berubah. Analisis terhadap perubahan parameter dan dampaknya terhadap solusi optimal model disebut Analisis Sensitivitas

Analisis Dari Dampak Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Dipunyai formulasi model program linier : Fungsi tujuan : Maks Z = 160 X 1 + 200 X 2 Fungsi batasan : ◦ 2 X 1 + 4 X 2 < 40 jam tenaga kerja ◦ 18 X 1 + 18 X 2 < 216 pon kayu ◦ 24 X 1 + 12 X 2 < 240 m 2 tempat penyimpanan ◦ X 1 , X 2 > 0 Dimana X 1 = jumlah meja yang diproduksi, X 2 = jumlah kursi yang diproduksi

Tabel simpleks optimalnya adalah : cj Var. 160 200 0 Basis Kuant. X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 200 X 2 8 0 1 ½ -1/18 0 160 X 1 4 1 0 -1/2 1/9 0 0 S 3 48 0 0 6 -2 1 zj 2240 160 20 20/3 0 cj - zj 0 0 -20/3 0

Bila koefisien fungsi tujuan diberi notasi cj, maka untuk masalah ini diketahui bahwa ◦ c 1 = laba yang diperoleh dari meja = $160 ◦ c 2 = laba yang diperoleh dari kursi = $ 200 Seandainya, nilai c 1 dari 160 dirubah, maka dapat dituliskan bahwa c 1 = 160 + ∆. Analisis sensitivitas berusaha menentukan seberapa jauh (range) perubahan pada cj dapat dilakukan tanpa harus mengubah solusi optimal

Dampak perubahan ini pada solusi model dapat diperlihatkan pada tabel simpleks optimal dengan c 1 = 160 + ∆ , sbb. : cj 160 + ∆ 200 0 Variabe l Basis Kuantitas X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 200 X 2 8 0 1 ½ -1/18 0 160 + ∆ X 1 4 1 0 -1/2 1/9 0 0 S 3 48 0 0 6 -2 1 zj 160 + ∆ 200 20 - ∆/2 20/3 + ∆/9 0 cj - zj 2240 + 4∆ 0 0 -20 + ∆/2 -20/3 - ∆/9 0

Solusi pada tabel diatas akan tetap optimal bila nilai cj – zj tetap negatif, sehingga supaya solusi tetap optimal berlaku : -20 + ∆/2 < 0 -20/3 - ∆/9 < 0 ∆/2 < 20 - ∆/9 < 20/3 ∆ < 40 -∆ < 60 ∆ > -60

Diketahui bahwa c 1 = 160 + ∆, sehingga ∆ = c 1 – 160. Dengan mensubstitusikan nilai c 1 – 160 pada ∆, diperoleh : ∆ < 40 ∆ > -60 c 1 – 160 < 40 c 1 – 160 > -60 c 1 < 200 c 1 > 100 Kesimpulan yang dapat diambil untuk nilai range c 1 agar solusi optimal tetap dapat dipertahankan (meskipun nilai fungsi tujuan berubah) adalah : 100 < c 1 < 200

Dengan cara yang sama, maka diperoleh nilai range untuk c 2 agar solusi optimal tetap dapat dipertahankan adalah : 160 < c 2 < 320 Jadi, range untuk fungsi tujuan untuk masalah ini adalah : 100 < c 1 < 200 160 < c 2 < 320 Catatan : Range ini hanya menunjukkan perubahan yang memungkinkan pada nilai c 1 saja, atau c 2 saja, dan bukan perubahan pada keduanya secara bersama-sama (sifat Additivity)

Analisis Dari Dampak Perubahan Pada Nilai Kuantitas Batasan : Dari contoh yang sama, diperoleh: nilai kuantitas batasan pada masalah tersebut, dituliskan dengan notasi q 1 = 40, q 2 = 216, dan q 3 = 240. Misal kita ingin menentukan perubahan seberapa jauh range qi agar solusi tetap dalam daerah yang feasible

Misal akan ditentukan range untuk q 1 agar solusi tetap dalam daerah yang feasible, maka batasan model untuk masalah diatas menjadi : 2 X 1 + 4 X 2 < 40 + ∆ jam tenaga kerja 18 X 1 + 18 X 2 < 216 pon kayu 24 X 1 + 12 X 2 < 240 m 2 tempat penyimpanan

Tabel simpleks optimalnya adalah sbb. : cj Variabel 160 200 0 Basis Kuantitas X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 200 X 2 8 + ∆/2 0 1 ½ -1/18 0 160 X 1 4 - ∆/2 1 0 -1/2 1/9 0 0 S 3 48 + 6∆ 0 0 6 -2 1 zj 2240 +20∆ 160 20 20/3 0 cj - zj 0 0 -20/3 0

Perlu diingat bahwa salah satu persyaratan metode simpleks adalah nilai kuantitas tidak boleh negatif. Jika salah satu nilai qi menjadi negatif, maka solusi menjadi tidak feasible lagi. Sehingga pertidaksamaan-pertidaksamaan diatas berlaku: 8 + ∆/2 > 0 4 - ∆/2 > 0 48 + 6∆ > 0 ∆/2 > -8 - ∆/2 > -4 6∆ > -48 ∆ > -16 - ∆ > -8 ∆ < 8 ∆ > -8

Karena q 1 = 40 + ∆ , maka ∆ = q 1 – 40. Nilai ini disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas menjadi : ∆ > -16 ∆ < 8 ∆ > -8 q 1 – 40 > -16 q 1 – 40 < 8 q 1 – 40 > -8 q 1 > 24 q 1 < 48 q 1 > 32 Kesimpulan dari pertidaksamaan-pertidaksamaan ini adalah : 24 < 32 < q 1 < 48

Nilai 24 dapat dihilangkan karena q 1 harus lebih besar dari 32, jadi diperoleh hasil range q 1 adalah: 32 < q 1 < 48 Selama q 1 berada pada range ini, maka solusi tetap dalam daerah yang feasible (meskipun nilai kuantitas dari variabel tersebut mungkin saja berubah).

Dengan cara yang sama, diperoleh hasil range q 2 adalah : 180 < q 2 < 240 Sedangkan untuk q 3, tidak perlu dihitung seperti diatas karena dari tabel simpleks optimal terlihat bahwa sumber daya ke-3 Cj’ nya 0.