PROGRAM LINIER ANALISIS DUALITAS SENSITIVITAS DAN POST OPTIMAL
- Slides: 26
PROGRAM LINIER : ANALISIS DUALITAS, SENSITIVITAS DAN POST- OPTIMAL Staff gunadarma Universitas Gunadarma
Pengantar – Biasanya, setelah solusi optimal dari masalah program linier ditemukan maka peneliti cenderung untuk berhenti menganalisis model yang telah dibuat. – Padahal sesungguhnya dengan menganalisis lebih jauh atas solusi optimal akan dapat menghasilkan informasi lain yang berguna – Analisis yang dilakukan terhadap solusi optimal untuk mendapatkan informasi tambahan yang berguna tersebut dikenal dengan analisis post-optimal – Analisis ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu: – Analisis Dualitas – Analisis Sensitivitas
Analisis Dualitas – Dilakukan dengan merumuskan dan menginterpretasikan bentuk dual dari model. – Bentuk dual adalah suatu bentuk alternatif dari model program linier yang telah dibuat dan berisi informasi mengenai nilai-nilai sumber yang biasanya membentuk sebagai batasan model Analisis Sensitivitas – Dilakukan untuk menganalisis dampak yang terjadi pada solusi optimal terhadap perubahan-perubahan yang terjadi pada koefisien-koefisien batasan model maupun koefisien pada fungsi tujuan
Analisis Dualitas Model program linier memiliki 2 bentuk, yaitu: – Model primal adalah bentuk asli dari suatu model program linier – Model dual adalah bentuk alternatif yang dikembangkan dari model primal Kegunaan bagi pengambil keputusan : – Model Primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba yang diperoleh dari memproduksi barang ataupun biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi barang. – Model Dual akan menghasilkan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut. Solusi pada model dual memberikan informasi tentang sumber-sumber yang digunakan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber-sumber daya, serta berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan tersebut.
Hubungan khusus antara primal dan dual adalah : – Variabel dual Y 1 , Y 2 , Y 3 berhubungan dengan batasan model primal. Dimana untuk setia batasan dalam primal terdapat satu variabel dual. Misal, dalam kasus di atas model primal mempunyai 3 batasan, maka dualnya akan mempunyai 3 variabel keputusan. – Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual. – Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variabel keputusan dual. – Koefisien fungsi tujuan primal, merupakan nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model dual. – Pada bentuk standar, model maksimisasi primal memiliki batasan <, sedangkan model minimisasi dual memiliki batasan >.
Contoh 1 : – Model Primal Fungsi tujuan : Maks Z = 160 X 1 + 200 X 2 Fungsi batasan : 2 X 1 + 4 X 2 < 40 18 X 1 + 18 X 2 < 216 24 X 1 + 12 X 2 < 240 X 1 , X 2 > 0 – Model Dualnya adalah: Fungsi tujuan : Min Z = 40 Y 1 + 216 Y 2 + 240 Y 3 Fungsi batasan : 2 Y 1 + 18 Y 2 + 24 Y 3 > 160 4 Y 1 + 18 Y 2 + 12 Y 3 > 200 Y 1 , Y 2 , Y 3 > 0
Contoh 2 : – Model Primal Fungsi tujuan : Min Z = 6 X 1 + 3 X 2 Fungsi batasan : 2 X 1 + 4 X 2 > 16 4 X 1 + 3 X 2 > 24 X 1 , X 2 > 0 – Model Dualnya adalah: Fungsi tujuan : Maks Z = 16 Y 1 + 24 Y 2 Fungsi batasan : 2 Y 1 + 4 Y 2 < 6 4 Y 1 + 3 Y 2 < 3 Y 1 , Y 2 > 0
Contoh 3 : – Model Primal Fungsi tujuan : Maks Z = 10 X 1 + 6 X 2 Fungsi batasan : X 1 + 4 X 2 < 40 3 X 1 + 2 X 2 = 60 2 X 1 + X 2 > 25 X 1 , X 2 > 0 Model dualnya ? ?
Catatan: – Untuk mentransformasikan model primal kedalam bentuk dual adalah bahwa model primal harus dalam bentuk standar. Sehingga, bila model primal belum dalam bentuk standar harus dirubah dulu menjadi bentuk standar. – Untuk masalah maksimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi batasan mempunyai tanda <. – Untuk masalah minimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi batasan mempunyai tanda >.
Jadi untuk contoh 3, diperoleh fungsi batasan sbb. : X 1 + 4 X 2 < 40 3 X 1 + 2 X 2 = 60 3 X 1 + 2 X 2 < 60 3 X 1 + 2 X 2 > 60 (-1) (3 X 1 + 2 X 2 > 60) - 3 X 1 - 2 X 2 < - 60 2 X 1 + X 2 > 25 (-1) (2 X 1 + X 2 > 25) - 2 X 1 - X 2 < - 25
Sehingga model primal menjadi : Fungsi tujuan : Maks Z = 10 X 1 + 6 X 2 Fungsi batasan : X 1 + 4 X 2 < 40 3 X 1 + 2 X 2 < 60 - 3 X 1 - 2 X 2 < - 60 - 2 X 1 - X 2 < - 25 X 1 , X 2 > 0 Dari model primal yang sudah dalam bentuk standar, maka model dual dapat diformulasikan sebagai berikut : Fungsi tujuan : Min Z = 40 Y 1 + 60 Y 2 - 60 Y 3 - 25 Y 4 Fungsi batasan : Y 1 + 3 Y 2 - 3 Y 3 - 2 Y 4 > 10 4 Y 1 + 2 Y 2 - 2 Y 3 - Y 4 > 6 Y 1 , Y 2 , Y 3 , Y 4 > 0
Menginterpretasi Model Primal : Misal dipunyai solusi optimal dari model primal sbb. : cj Variabel 160 200 0 Basis Kuantitas X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 200 X 2 8 0 1 1/2 -1/18 0 160 X 1 4 1 0 -1/2 1/9 0 0 S 3 48 0 0 6 -2 1 zj 2240 160 20 20/3 0 cj - zj 0 0 -20/3 0
Diperoleh: – Jumlah produk 1 yaitu X 1 = 4 – Jumlah produk 2 yaitu X 2 = 8 – Sisa sumber daya 3 adalah S 3 = 48 m 2 – Baris cj – zj dibawah kolom S 1 adalah -20, artinya bahwa nilai dari satu unit sumber daya 1 adalah sebesar 20. – Nilai baris cj – zj dibawah kolom S 2 adalah -20/3, bahwa nilai dari satu unit sumber daya 2 adalah sebesar 20/3. – Laba yang diperoleh sebesar 2240. – Untuk sumber daya 3 (S 3) pada baris cj – zj bernilai nol, artinya bahwa sumber daya 3 memiliki nilai marjinal nol, yaitu kita tidak akan bersedia membayar apapun penambahan 1 unit sumber daya 3.
Analisis Sensitivitas – Pada masalah program linier, diasumsikan bahwa parameter dari model diketahui dengan tepat dan pasti. – Dalam kenyataannya hal ini jarang sekali terjadi, sehingga para manajer perlu untuk mengetahui dampak yang terjadi pada solusi model apabila parameter-parameter model berubah. – Analisis terhadap perubahan parameter dan dampaknya terhadap solusi optimal model disebut Analisis Sensitivitas
Analisis Dari Dampak Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Dipunyai formulasi model program linier : – Fungsi tujuan : Maks Z = 160 X 1 + 200 X 2 – Fungsi batasan : – 2 X 1 + 4 X 2 < 40 jam tenaga kerja – 18 X 1 + 18 X 2 < 216 pon kayu – 24 X 1 + 12 X 2 < 240 m 2 tempat penyimpanan – X 1 , X 2 > 0 Dimana X 1 = jumlah meja yang diproduksi, X 2 = jumlah kursi yang diproduksi
Tabel simpleks optimal : cj Var. 160 200 0 Basis Kuant. X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 200 X 2 8 0 1 ½ -1/18 0 160 X 1 4 1 0 -1/2 1/9 0 0 S 3 48 0 0 6 -2 1 zj 2240 160 20 20/3 0 cj - zj 0 0 -20/3 0
– Bila koefisien fungsi tujuan diberi notasi cj, maka untuk masalah ini diketahui bahwa – c 1 = laba yang diperoleh dari meja = $160 – c 2 = laba yang diperoleh dari kursi = $ 200 – Seandainya, nilai c 1 dari 160 dirubah, maka dapat dituliskan bahwa c 1 = 160 + ∆. – Analisis sensitivitas berusaha menentukan seberapa jauh (range) perubahan pada cj dapat dilakukan tanpa harus mengubah solusi optimal
Dampak perubahan ini pada solusi model dapat diperlihatkan pada tabel simpleks optimal dengan c 1 = 160 + ∆ , sbb. : cj 160 + ∆ 200 0 Variabe l Basis Kuantitas X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 200 X 2 8 0 1 ½ -1/18 0 160 + ∆ X 1 4 1 0 -1/2 1/9 0 0 S 3 48 0 0 6 -2 1 zj 160 + ∆ 200 20 - ∆/2 20/3 + ∆/9 0 cj - zj 2240 + 4∆ 0 0 -20 + ∆/2 -20/3 - ∆/9 0
Solusi pada tabel diatas akan tetap optimal bila nilai cj – zj tetap negatif, sehingga supaya solusi tetap optimal berlaku : -20 + ∆/2 < 0 -20/3 - ∆/9 < 0 ∆/2 < 20 - ∆/9 < 20/3 ∆ < 40 -∆ < 60 ∆ > -60
Diketahui bahwa c 1 = 160 + ∆, sehingga ∆ = c 1 – 160. Dengan mensubstitusikan nilai c 1 – 160 pada ∆, diperoleh : ∆ < 40 ∆ > -60 c 1 – 160 < 40 c 1 – 160 > -60 c 1 < 200 c 1 > 100 Kesimpulan yang dapat diambil untuk nilai range c 1 agar solusi optimal tetap dapat dipertahankan (meskipun nilai fungsi tujuan berubah) adalah : 100 < c 1 < 200
Dengan cara yang sama, maka diperoleh nilai range untuk c 2 agar solusi optimal tetap dapat dipertahankan adalah : 160 < c 2 < 320 Jadi, range untuk fungsi tujuan untuk masalah ini adalah : 100 < c 1 < 200 160 < c 2 < 320 Catatan : Range ini hanya menunjukkan perubahan yang memungkinkan pada nilai c 1 saja, atau c 2 saja, dan bukan perubahan pada keduanya secara bersama-sama (sifat Additivity)
Analisis Dari Dampak Perubahan Pada Nilai Kuantitas Batasan : – Dari contoh yang sama, diperoleh: nilai kuantitas batasan pada masalah tersebut, dituliskan dengan notasi q 1 = 40, q 2 = 216, dan q 3 = 240. – Misal kita ingin menentukan perubahan seberapa jauh range qi agar solusi tetap dalam daerah yang feasible Misal akan ditentukan range untuk q 1 agar solusi tetap dalam daerah yang feasible, maka batasan model untuk masalah diatas menjadi : 2 X 1 + 4 X 2 < 40 + ∆ jam tenaga kerja 18 X 1 + 18 X 2 < 216 pon kayu 24 X 1 + 12 X 2 < 240 m 2 tempat penyimpanan
Tabel simpleks optimalnya adalah sbb. : cj Variabel 160 200 0 Basis Kuantitas X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 200 X 2 8 + ∆/2 0 1 ½ -1/18 0 160 X 1 4 - ∆/2 1 0 -1/2 1/9 0 0 S 3 48 + 6∆ 0 0 6 -2 1 zj 2240 +20∆ 160 20 20/3 0 cj - zj 0 0 -20/3 0
Perlu diingat bahwa salah satu persyaratan metode simpleks adalah nilai kuantitas tidak boleh negatif. Jika salah satu nilai qi menjadi negatif, maka solusi menjadi tidak feasible lagi. Sehingga pertidaksamaan-pertidaksamaan diatas berlaku: 8 + ∆/2 > 0 ∆/2 > -8 > -16 ∆ > -8∆ - > -8 ∆ ∆ < 8 4 - ∆/2 > 0 48 + 6∆ > 0 - ∆/2 > -4 6∆ > -48
– Karena q 1 = 40 + ∆ , maka ∆ = q 1 – 40. Nilai ini disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas menjadi : ∆ > -16 ∆ < 8 ∆ > -8 q 1 – 40 > -16 q 1 – 40 < 8 q 1 – 40 > -8 q 1 > 24 q 1 > 32 q 1 < 48 Kesimpulan dari pertidaksamaan-pertidaksamaan ini adalah : 24 < 32 < q 1 < 48
– Nilai 24 dapat dihilangkan karena q 1 harus lebih besar dari 32, jadi diperoleh hasil range q 1 adalah: 32 < q 1 < 48 – Selama q 1 berada pada range ini, maka solusi tetap dalam daerah yang feasible (meskipun nilai kuantitas dari variabel tersebut mungkin saja berubah). – Dengan cara yang sama, diperoleh hasil range q 2 adalah : 180 < q 2 < 240 – Sedangkan untuk q 3, tidak perlu dihitung seperti diatas karena dari tabel simpleks optimal terlihat bahwa sumber daya ke-3 masih tersisa 48 m 2 tempat penyimpanan.
- Analisa sensitivitas riset operasi
- Contoh soal dan jawaban analisis sensitivitas
- Post optimal
- Jelaskan sensitivitas pada model pemograman linear !
- Analisis post optimal
- Analisis regresi non linear
- Contoh soal trend linier
- Contoh soal metode kuadratis
- Fungsi linear dan non linear matematika ekonomi
- Pengertian fungsi linear dan non linear
- Fungsi non linier matematika ekonomi
- Pengertian analisis sensitivitas
- Konsep dualitas
- Pengertian analisis regresi linier sederhana
- Makalah analisis regresi linear sederhana
- Contoh soal analisis regresi dan korelasi berganda
- Analisis jabatan dan analisis beban kerja guru
- Pengiraan kadar pusing ganti inventori
- Contoh soal sensitivitas voltmeter
- Sensitivitas pada model pemrograman linear
- Rumus sensitivitas voltmeter
- Contoh soal sensitivitas voltmeter
- Sensitivitas budaya
- Sensitivitas galvanometer
- Tabel keanggotaan himpunan
- Tabel kebenaran aljabar boolean
- Gambarkan tabel hubungan besaran gerak linier dan rotasi