PEMROGRAMAN LINIER Indrawani SinoemTROSI07 Pengertian Umum Program Linier

PEMROGRAMAN LINIER Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Pengertian Umum • Program Linier yang diterjemahkan dari linier programming (LP) adalah – Model matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langkah untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimalkan keuntungan ataua meinimummkan biaya. – sebagai suatu model mtematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dan sistem kendala linier

• MODEL PROGRAM LINEAR Model Program Linear tersusun oleh 2 (dua) macam fungsi : 1. Fungsi Tujuan (Objective Function) Fungsi yg menggambarkan tujuan atau sasaran di dlm permasalahan program linear yg berkaitan dgn pengaturan secara optimum SD utk mencapai laba maks/biaya min. 3

2. Fungsi Kendala/Pembatas Btk penyajian secara matematika batasan-batasan atau kendala kapasitas yang tersedia, dialokasikan secara optimal keberbagai kegiata. 4

• Model Matematika 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan/Minimumkan Z = C 1 X 1+C 2 X 2+. . +Cn. Xn 2. Fungsi Pembatas : a 11 X 11 + a 12 X 12+. . . +a 1 n. Xn ≤ atau ≥ b 1 a 21 X 21 + a 22 X 22+. . . +a 2 n. Xn ≤ atau ≥ b 2. . am 1 X 21 + am 2 X 22+. . . +amn. Xn ≤ atau ≥ bm Syarat Non Negatif : X 1, X 2, . . . , Xn ≥ 0 5

Tabel Model Standar Program Linear. Sumberdaya Penggunaan Sumberdaya 1 2 3 . …… n Kapasitas Sumberdaya 1 a 12 a 13 …… a 1 n b 1 2 a 21 a 22 a 23 …… a 2 n b 2 . . . . …… . . m am 1 am 2 am 3 …… . . bm Penambahan Per unit C 1 C 2 C 3 …. . Cn Maksimumkan/ Var. Kegiatan X 1 X 2 X 3 …. . Xn Minimumkan 6

• Asumsi-asumsi Dasar 1. Linearitas Fungsi tujuan dan semua fungsi pembatas harus linear, artinya perbandingan antara input yang satu dgn input lainnya atau input dgn output besarnya tetap dan terlepas tidak tergantung pada tingkat produksi. 7

2. Proporsionalitas Jika peubah pengambil keputusan Xij berubah maka dampak perubahan akan menyebar dalam proporsi yg sama terhadap fungsi tujuan Cj. Xij dan juga pd fungsi pembatas aij. Xij. Misal : jika Xij naik 2 kali lipat maka secara proporsi aij. Xij nya juga akan naik dua kali lipat. 8

3. Aditivitas Nilai parameter (koefisien peubah pengambil keputusan dalam fungsi tujuan) merupakan jumlah nilai individu-individu Cj dlm model program linear. 4. Divisibilitas Peubah-peubah pengambil keputusan Xij jika diperlukan dapat berupa 9

bilangan pecahan (tidak perlu bil pecahan) 5. Deterministik Semua parameter yg terdapat dlm model program linear (Cj, aij, dan bj) tetap dan diketahui dgn pasti. 10

• Pemecahan Persoalan PL 1. Metode Aljabar : substitusi antar persamaan linear pada fungsi. 2. Metode Grafik : dengan menggambar garis masing-masing fungsi pembatas dan fungsi tujuan pada grafik dua dimensi. 11

3. Metode Simpleks : metode pemecahan (analisis) persoalan program linear dengan algoritma simpleks. Untuk persoalan program linear dengan variabel lebih dari 2 (dua) akan lebih baik dan tepat dengan menggunakan metode simpleks. 12

• Contoh Persoalan Program Linear. 1. Perusahan konveksi “Maju” membuat dua produk, yaitu celana dan baju. Produk tersebut harus diproses melalui dua unit pemrosesan, yaitu pemotongan bahan dan penjahitan bahan. Pemotongan bahan mempersyaratkan kapasitas waktu 60 jam kerja. 13

Sedangkan fungsi penjahitan hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan satu celana dibutuhkan 4 jam kerja pemotongan bahan dan 2 jam kerja penjahitan. Sementara utk menghasilkan satu baju dibutuhkan 2 jam kerja pemotongan bahan dan 4 jam kerja penjahitan. Laba tiap celana Rp 8. 000. - dan tiap baju Rp 6. 000. 14

Pertanyaan : Perusahaan yg bersangkutan ingin menentukan kombinasi terbaik dari celana dan baju yg hrs diproduksi dan dijual guna mencapai laba maksimum ! 15

• Merumuskan Model 1. Tabel Persoalan. Sumberdaya Celana (X 1) Baju (X 2) Kapasitas Sumberdaya 1. Pemotongan Bahan 4 2 60 2. Penjahitan 2 4 48 Laba/unit 8. 000 6. 000 Maksimumkan 16

• Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan Maksimumkan Z = 8 X 1 + 6 X 2 (Dlm Rp 1. 000) 2. Fungsi Pembatas 2. 1. P-Bahan : 4 X 1+2 X 2 ≤ 60 2. 2. Penjahitan : 2 X 1+4 X 2 ≤ 48 X 1, X 2 ≥ 0 17

2. Sebuah perusahaan “X” ingin menentukan berapa banyak masing dari 3 (tiga) produk yang berbeda yang akan dihasilkan dgn tersedianya sumberdaya yang terbatas agar diperoleh keuntungan maksimum. Kebutuhan buruh, bahan mentah, dan sumbangan keuntungan masing-masing produk 18

adalah sebagai berikut : Jenis Produk Kebutuhan Sumberdaya Buruh (Jam/unit) Bahan (kg/unit) Keuntungan (Rp/unit) 1 5 4 3. 000 2 2 6 5. 000 3 4 3 2. 000 Tersedia 240 jam kerja buruh dan bhn mentah sebanyak 400 kg. Berapa masing-masing produk harus dihasilkan agar perusahaan “X” memperoleh keuntungan maksimum ? 19

1. Tabel Persoalan Sumberdaya Kebutuhan Sumberdaya Produk-1 Produk-2 Produk-3 Kapasitas Sumberdaya Buruh (Jam/unit) 5 2 4 240 Bahan Mentah (kg/unit) 4 6 3 400 5. 000 2. 000 Maksimumkan Keuntungan/ unit 3. 000 20

2. Model Program Linear. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3000 X 1 + 5000 X 2 + 2000 X 3 Fungsi Pembatas : - Buruh : 5 X 1 + 2 X 2 + 4 X 3 ≤ 240 - Bahan : 4 X 1 + 6 X 2 + 3 X 3 ≤ 400 X 1, X 2, X 3 ≥ 0 21

Contoh-3 Untuk menjaga kesehatan, seseorang harus memenuhi kebutuhan minimum per hari akan beberapa zat makanan. Misalkan hanya 3 (tiga) zat makanan yang dibutuhkan, yaitu : kalsium, protein, vitamin A. Makanan seseorang hanya terdiri dari 3 (tiga) jenis, yaitu : I, III yang harga, zat yang terkandung, kebutuhan min per hari ditunjukkan pada Tabel berikut. 22

Tabel Kandungan zat pada jenis tiap makanan dan kebutuhan minimum. I Makanan II III Kebutuhan Minimum Kalsium 5 1 0 8 Protein 2 2 1 10 Vitamin A 1 5 4 22 Harga/unit 0, 5 0, 8 0, 6 Minimumkan Peubah Kegiatan X 1 X 2 X 3 Kandungan Zat Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 23

Pertanyaan : Berapakah jumlah makanan I, III yang harus dihasilkan dengan total biaya yang dikeluarkan minimum ? Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Minimumkan Z = 0, 5 X 1 + 0, 8 X 2 + 0, 6 X 3 24

2. Fungsi Pembatas 2. 1. Kalsium : 5 X 1 + X 2 ≥ 8 2. 2. Protein : 2 X 1 +2 X 2 + X 3 ≥ 10 2. 3. Vit. A : X 1 +5 X 2 +4 X 3 ≥ 22 X 1, X 2, X 3 ≥ 0 25