Pesquisa Operacional na Tomada de Decises Programao No

Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões Programação Não Linear 2ª Edição Capítulo 7 © Gerson Lachtermacher, 2005

Conteúdos do Capítulo w Programação Não Linear n n n Aplicações Solução Gráfica Resolução no Excel w Controle de Estoque n Modelo do Lote Econômico w Problemas de Localização n Caso LCL Telecom S. A. Capítulo 7

Programação Não Linear w De forma geral um problema de programação não linear tem a seguinte forma: w Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem ser incluídos neste formato. Capítulo 7

Programação Não Linear Aplicações w Problemas de Mix de Produtos em que o “lucro” obtido por produto varia com a quantidade vendida. w Problemas de Transporte com custos variáveis de transporte em relação à quantidade enviada. w Seleção de Portfolio com Risco Capítulo 7

Programação Não Linear Solução Gráfica w Considere o Problema de Programação Linear e sua solução gráfica Max Z = 3 x 1 + 5 x 2 s. r. x 1 £ 4 2 x 2 £ 12 3 x 1+ 2 x 2 £ 18 x 1 ³ 0, x 2 ³ 0 x 2 (0; 6) Solução Viável (0; 0) Capítulo 7 (2; 6) 1 (4; 3) (4; 0) x 1

Programação Não Linear Solução Gráfica w Considere o Problema e sua solução gráfica. x 2 Max Z = 3 x 1 + 5 x 2 s. t. x 1 £ 4 9 x + 5 x £ 216 2 1 2 2 x 1 ³ 0, x 2 ³ 0 Capítulo 7 (2; 6) 6 4 Solução Viável 2 0 0 1 2 3 4 x 1

Programação Não Linear Solução Gráfica w A solução ótima: n n é a mesma do problema linear. continua na fronteira do conjunto de soluções viáveis. não é mais um extremo do conjunto de soluções viáveis, mas poderia ainda ocorrer em um ponto extremo. Não existe a simplificação (enumeração) existente em Programação Linear Capítulo 7 x 2 (2; 6) 6 4 Solução Viável 2 0 0 1 2 3 4 x 1

Programação Não Linear Solução Gráfica 2 2 + Max. Z=126 x 1 9 x 1 182 x 2 13 x 2 s. r. x 1 £ 4 2 x 2 £ 12 3 x 1+ 2 x 2 £ 18 x 2 (0; 6) x 1 ³ 0, x 2 ³ 0 Solução Viável (0; 0) Capítulo 7 (2; 6) (4; 3) (4; 0) x 1

Programação Não Linear Solução Gráfica w A função objetivo é uma equação quadrática. Capítulo 7

Programação Não Linear Solução Gráfica x 2 Max Z = 857=126 x 1 - 9 x 12 + 182 x 2 - 13 x 22 6 4 2 Z = 907 Solução Viável 2 Capítulo 7 Z = 807 4 x 1

Programação Não Linear Solução Gráfica 2 2 + Max Z=54 x 1 9 x 1 78 x 2 13 x 2 s. r. x 1 £ 4 2 x 2 £ 12 3 x 1+ 2 x 2 £ 18 x 1 ³ 0, x 2 ³ 0 x 2 (0; 6) Solução Viável (0; 0) Capítulo 7 (2; 6) (4; 3) (4; 0) x 1

Programação Não Linear Solução Gráfica w A função objetivo é uma equação quadrática Z=54 x 1 - 9 x 12 + 78 x 2 - 13 x 22 2 2 é 2 æ 54 ö é 2 æ 78ö æ 54 ö æ 78 ö æ 54 ö ù æ 78 ö ù Z - 9çè ÷ø - 13çè ÷ø = -9 ê x 1 - çè ÷ø x 1 + çè ÷ø ú - 13ê x 2 - çè ÷ø x 2 + çè ÷ø ú 18 26 9 18 û 13 26 û ë ë [ ] Para Z = 198 Þ 0 = 9[(x - 3) ]+ 13[(x - 3) ] Para Z = 189 Þ 9 = 9[(x - 3) ]+ 13[(x - 3) ] Para Z = 162 Þ 36 = 9[(x - 3) ]+ 13[(x - 3) ] Z - 81 - 117 = -9 (x 1 - 3) - 13 (x 2 - 3) 2 2 1 2 2 2 1 Capítulo 7 2 2

Programação Não Linear Solução Gráfica Max Z = 198=54 x 1 - 9 x 12 + 78 x 2 - 13 x 22 x 2 6 4 Solução no interior do conjunto de soluções viáveis e não mais na fronteira do conjunto 3 2 Solução Viável 2 Capítulo 7 3 4 x 1

Programação Não Linear w A solução ótima de um problema de programação não linear(NLP), diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer ponto do conjunto de soluções viáveis. w Isso torna os problemas de NLP muito mais complexos, obrigando os algoritmos de solução a pesquisar todas as soluções viáveis. Capítulo 7

Programação Não Linear Excel w O Excel utiliza o algoritmo GRG (generalized reduced gradient) para chegar à solução para um dado problema. w O algoritmo não garante que a solução encontrada é uma solução global. w O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero. Uma boa medida é começar a otimização com valores diferentes de zero para as variáveis de decisão. Capítulo 7

Programação Não Linear Excel w Uma maneira prática para tentar minorar o problema de máximos e mínimos locais é começar a otimização de diversos pontos iniciais, gerados aleatoriamente. w Se todas as otimizações gerarem o mesmo resultado, você pode ter maior confiança, não a certeza, de ter atingido um ponto global. Capítulo 7

Programação Não Linear Controle de Estoque w Um dos modelos mais simples de controle de estoque é conhecido como Modelo do Lote Econômico. w Esse tipo de modelo assume as seguintes hipóteses n n A demanda (ou uso) do produto a ser pedido é praticamente constante durante o ano. Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez no exato instante em que este chegar a zero. Capítulo 7

Programação Não Linear Controle de Estoque w Determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado os seguintes custos: n n n Manutenção de Estoque – Custo por se manter o capital no estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios financeiros para a empresa. Custo do Pedido – Associado a trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto. Custo de Falta – Associado a perdas que venham a decorrer da interrupção da produção por falta do produto. Capítulo 7

Programação Não Linear Controle de Estoque 50 Demanda Anual =100 Lote=50, Pedidos = 2 Estoque Médio = 25 Demanda Anual =100 Lote=25, Pedido= 4 Estoque Médio = 12, 5 25 25 12, 5 6 Capítulo 7 12 meses 3 6 9 12 meses

Programação Não Linear Controle de Estoque w Variável de Decisão Q – Quantidade por Pedido Constante w Função Objetivo = Onde: D = Demanda Anual do Produto C = Custo Unitário do Produto S= Custo Unitário de Fazer o Pedido Cm= Custo unitário de manutenção em estoque por ano Capítulo 7

Caso LCL Computadores w A LCL Computadores deseja diminuir o seu estoque de mainboards. Sabendo-se que o custo unitário da mainboard é de R$50, 00, o custo anual unitário de manutenção de estoque é de R$20, 00 e o custo unitário do pedido é de R$10, 00, encontre o lote econômico para atender a uma demanda anual de 1000 mainboards. Capítulo 7

Caso LCL Computadores Capítulo 7

Caso LCL Computadores Capítulo 7

Caso LCL Computadores Capítulo 7

Caso LCL Computadores w Na solução apresentada do lote econômico, a quantidade de pedidos por ano é fracionário, já que w Isso não representa um problema Capítulo 7

Programação Não Linear Problemas de Localização w Um problema muito usual na área de negócios é o de localização de Fábricas, Armazéns, Centros de distribuição e torres de transmissão telefônica. w Nesses problemas devemos Minimizar a distância total entre os centros consumidores e o centro de distribuição, reduzindo assim teoricamente o custo de transporte ou perdas de transmissão. w O usual é se colocar um eixo cartesiano sobre um mapa e determinar a posição dos centro consumidores em relação a uma origem aleatória. Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S. A. w O Gerente de Projetos da LCL Telefonia Celular S. A. , tem que localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baixada Fluminense. Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localizações relativas abaixo, determine o melhor posicionamento para a torre. Localidade X Y Nova Iguaçu -5 10 Queimados 2 1 Duque de Caxias 10 5 Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S. A. Y Nova Iguaçu (-5, 10) Queimados (2, 1) Capítulo 7 Duque de Caxias (10, 5) X

Caso LCL Telefonia Celular S. A. w Variáveis de Decisão n n X – Coordenada no eixo X da torre de transmissão Y – Coordenada no eixo Y da torre de transmissão w Função-objetivo Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S. A. w Restrições de Distância ( x 1 - X ) + ( y 1 - Y ) £ 10 2 2 ( x 2 - X ) + ( y 2 - Y ) £ 10 2 2 ( x 3 - X ) + ( y 3 - Y ) £ 10 2 Capítulo 7 2

Caso LCL Telefonia Celular S. A. Modelo no Excel =SOMA(D 2: D 4) Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S. A. Parametrização Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S. A. Solução Capítulo 7

Problemas a serem resolvidos – Lieberman w Página 586 n n n 12. 1. 1 a 12. 1. 3 Ler o capítulo 12 Montar as planilhas da seção 12. 4 Capítulo 7

Problema 12. 1. 1 w Fabricar 3 produtos. Custo de produção $25, $10 e $15 respectivamente. w Preços para vender x 1, x 2 e x 3 unidades são (35+100 x 1^(1/3)), (15+40 x 2^(-1/4)) e (20+50 x 3^(-1/2)) respectivamente. w Se x 3 <=20 w Se 9 x 1+3 x 2+5 x 3<=500; 5 x 1+4 x 2 <=350 e 3 x 1+2 x 3<=150? w Qual a produção para lucro máximo? Capítulo 7