INTRODUO PESQUISA OPERACIONAL Programao Linear Parte 2 b

INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL ** Programação Linear – Parte 2 b ** Profa. Vitória Pureza 2º Semestre

Última Aula • Construção de modelos de programação linear Hoje verificaremos a modelagem dos exercícios pendentes da lista e utilizaremos uma linguagem de programação matemática para resolvê-los. Nas aulas seguintes veremos a fundo o método de resolução que esta linguagem utiliza

Roteiro • Construção passo a passo de modelos de Programação Linear • Uso da linguagem de programação LINDO para resolução dos modelos

Passos para Modelagem de Programação Matemática Defina o objetivo do problema. Colete os dados associados Defina os fatores que afetam o alcance do objetivo do problema. Colete os dados associados Elabore uma representação informal do problema Elabore um modelo de programação matemática do problema

Um Problema de Transporte Powerco tem 3 usinas de energia elétrica que suprem a necessidade de 4 cidades. Cada usina pode suprir a seguinte quantidade de milhões de kilowatts-hora de eletricidade: U 1 = 35; U 2 = 50; U 3 = 40. As demandas de pico nas 4 cidades ocorrem na mesma hora e são (em milhões de KWh): C 1 = 45; C 2 = 20; C 3 = 30; C 4 = 30. Os custos de se enviar 1 milhão de kwh de eletricidade de uma usina para uma cidade depende da distância que a eletricidade deve percorrer (tabela a seguir). Formule um PL para minimizar o custo de atender pelo menos a demanda de pico das cidades. CUSTO (x 106 KWh) CIDADE USINA C 1 C 2 C 3 C 4 U 1 8 6 10 9 U 2 9 12 13 7 U 3 14 9 16 5

Objetivo do Problema Minimizar custo total de suprimento da demanda de pico das cidades CUSTO (x 106 KWh) CIDADE USINA C 1 C 2 C 3 C 4 U 1 8 6 10 9 U 2 9 12 13 7 U 3 14 9 16 5

Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo • Limitações de capacidade produtiva das usinas USINA PRODUÇÃO MÁXIMA (x 106 KWh ) U 1 35 U 2 50 U 3 40 • Demanda mínima das cidades CIDADE DEMANDA MÁXIMA MENSAL C 1 45 C 2 20 C 3 30 C 4 30

Representação Informal do Problema Deseja-se Minimizar custo total de suprimento da demanda de pico das cidades, sujeito às seguintes restrições: 1. 2. a quantidade de energia elétrica enviada pelas usinas não pode exceder a produção horária das usinas a quantidade de energia elétrica recebida pelas cidades não pode ser inferior às suas demandas de pico

Formulação do Modelo de Programação Matemática a) Variáveis de Decisão • O custo total de transporte é determinado pela quantidade de eletricidade enviada de cada usina p/ cada cidade xi j = 106 KWh produzidos na usina i e enviados à cidade j b) Função Objetivo (FO) Min 8 x 11 + 6 x 12 + 10 x 13 + 9 x 14 (custo de transporte da usina 1) + 9 x 21 + 12 x 22 + 13 x 23 + 7 x 24 (custo de transporte da usina 2) + 14 x 31 + 9 x 32 + 16 x 33 + 5 x 34 (custo de transporte da usina 3)

Formulação do Modelo de Programação Matemática c) Restrições 1. A quantidade de energia elétrica enviada das usinas não pode exceder suas produções horárias Restrições de suprimento x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ≤ 35 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 50 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 ≤ 40 (suprimento de U 1) (suprimento de U 2) (suprimento de U 3) 1. A quantidade de energia elétrica recebida pelas cidades não pode ser inferior a suas demandas de pico Restrições de demanda x 11 + x 21 + x 31 ≥ 45 x 12 + x 22 + x 32 ≥ 20 x 13 + x 23 + x 33 ≥ 30 x 14 + x 24 + x 34 ≥ 30 (demanda de C 1) (demanda de C 2) (demanda de C 3) (demanda de C 4)

Formulação do Modelo de Programação Matemática d) Restrições de sinal xij ≥ 0 (i=1. . 3, j=1. . 4) (106 KWh )

Modelo de Programação Linear Min 8 x 11+6 x 12+10 x 13+9 x 14+9 x 21+12 x 22+13 x 23+7 x 24+ 14 x 31 +9 x 32 +16 x 33 +5 x 34 sujeito a: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ≤ 35 (restrições de suprimento) x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 50 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 ≤ 40 x 11 + x 21 + x 31 ≥ 45 (restrições de demanda) x 12 + x 22 + x 32 ≥ 20 x 13 + x 23 + x 33 ≥ 30 x 14 + x 24 + x 34 ≥ 30 xij ≥ 0 (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3, 4) (restrições de sinal)

Representação Gráfica U 1 X 11 C 1 X 1 2 C 2 U 2 C 3 U 3 C 4

Um Problema de Planejamento da Produção Uma companhia possui 2 fábricas, A e B. Cada fábrica faz 2 produtos, padrão e deluxe. Uma unidade de padrão resulta em lucro de $10 e uma unidade de deluxe em um lucro de $15. Cada fábrica utiliza 2 processos (lixamento e polimento) para produzir esses produtos. A fábrica A tem uma capacidade semanal de lixamento de 80 horas e de polimento de 60 horas. Para a fábrica B, essas capacidades são 60 e 75 horas semanais. Os tempos de lixamento e polimento em horas para uma unidade de cada produto em cada fábrica são dados na Tabela 2. Cada unidade de produto usa 4 kgs de matéria-prima e dos 120 kgs disponíveis, 75 kgs foram alocados à fábrica A e 45 kgs à fábrica B. Formule um PL para cada fábrica que maximize o lucro.

Objetivo do Problema Maximizar o lucro com a venda dos produtos padrão e deluxe PRODUTO LUCRO ($) Padrão 15 Deluxe 20

Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo • Limitações de capacidade produtiva das fábricas PROCESSO FÁBRICA A FÁBRICA B Padrão Deluxe LIXAMENTO 4 2 5 3 POLIMENTO 2 5 5 6 MATÉRIA PRIMA 4 4 QUANTIDADE MÁXIMA DO RECURSO LIXAMENTO POLIMENTO MATÉRIA PRIMA FÁBRICA A 80 60 75 FÁBRICA B 60 75 45

Representação Informal do Problema Deseja-se (para cada uma das fábricas!) Maximizar o lucro com a venda dos produtos padrão e deluxe, sujeito às seguintes restrições: 1. 2. 3. as horas semanais de lixamento para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal as horas semanais de polimento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal a quantidade de matéria-prima para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal

Formulação do Modelo de Programação Matemática (para a Fábrica A) a) Variáveis de Decisão • O lucro é determinado pela quantidade de produto padrão e deluxe produzidos na fábrica x 1 = quantidade de produtos padrão produzidos na fábrica A /semana x 2 = quantidade de produtos deluxe produzidos na fábrica A /semana b) Função Objetivo (FO) Max { 10 x 1 + 15 x 2 } ($/semana) (para a fábrica A)

Formulação do Modelo de Programação Matemática c) Restrições 1. As horas semanais de lixamento para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 4 x 1 + 2 x 2 ≤ 80 (hrs/semana) 2. As horas semanais de polimento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 2 x 1 + 5 x 2 ≤ 60 (hrs/semana) 3. A quantidade de matéria-prima para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 4 x 1 + 4 x 2 d) Restrições de sinal ≤ 75 (kgs/semana) xi ≥ 0 (i=1. . 2) (unidades de produto/semana)

Modelo da Fábrica A Max 15 x 1 + 20 x 2 sujeito a: 4 x 1 2 x 1 4 x 1 x 2 (lucro da fábrica) + 2 x 2 + 5 x 2 + 4 x 2 ≥ 0 ≤ 80 ≤ 60 ≤ 75 ≥ 0 (lixamento) (polimento) (matéria-prima) (sinal) Modelo da Fábrica B Max 15 x 3 + 20 x 4 sujeito a: 5 x 3 4 x 3 x 4 (lucro da fábrica) + 3 x 4 + 6 x 4 + 4 x 4 ≥ 0 ≤ 60 ≤ 75 ≤ 45 ≥ 0 (lixamento) (polimento) (matéria-prima) (sinal)

Um Problema da Dieta Minha dieta requer que toda a comida que eu coma venha dos 4 grupos alimentares básicos (chocolate, sorvete, refrigerante e torta). No momento, os 4 alimentos seguintes estão disponíveis para consumo: brownies, sorvete de chocolate, coca-cola e torta de abacaxi. Cada brownie custa 0, 50, cada bola de sorvete de chocolate custa 0, 20, cada garrafa de coca-cola custa 0, 30 e cada pedaço de torta de abacaxi custa 0, 80. A cada dia, preciso ingerir pelo menos 500 calorias, 6 onças de chocolate, 10 onças de açúcar e 8 onças de gordura. O conteúdo nutricional por unidade de cada alimento é mostrado abaixo. Formule um PL que possa ser usado para satisfazer meus requerimentos nutricionais diários a um custo mínimo. ALIMENTO CALORIAS CHOCOLATE (on) AÇÚCAR (on) GORDURA (on) BROWNIE 400 3 2 2 BOLA DE SORVETE DE CHOCOLATE 200 2 2 4 GARRAFA DE COCA COLA 150 0 4 1 PEDAÇO DE TORTA DE ABACAXI 500 0 4 5

Objetivo do Problema Minimizar o custo com a compra dos alimentos BROWNIE CUSTO ($/UNIDADE) 0, 50 BOLA DE SORVETE DE CHOCOLATE 0, 20 GARRAFA DE COCA COLA 0, 30 PEDAÇO DE TORTA DE ABACAXI 0, 80 ALIMENTO

Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo • Requerimentos nutricionais diários NUTRIENTE REQUERIMENTO DIÁRIO CALORIAS 500 CHOCOLATE (on) 6 AÇÚCAR (on) 10 GORDURA (on) 8

Representação Informal do Problema Deseja-se Minimizar o custo com a compra dos alimentos de minha dieta, sujeito às seguintes restrições: 1. 2. 3. 4. a quantidade de calorias ingeridas diariamente não podem ser inferiores ao requerimento diário a quantidade de chocolate ingerido diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário a quantidade de açúcar ingerido diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário a quantidade de gordura ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário

Formulação do Modelo de Programação Matemática a) Variáveis de Decisão • O custo total de minha dieta é determinado pela quantidade de alimentos de cada tipo comprados. x 1 = quantidade de brownies comprados /dia x 2 = bolas de sorvete de chocolate compradas /dia x 3 = garrafas de coca-cola compradas /dia x 4 = pedaços de torta de abacaxi compradas /dia b) Função Objetivo (FO) Min 0, 50 x 1+ 0, 20 x 2+ 0, 30 x 3+ 0, 80 x 4 ($/dia)

Formulação do Modelo de Programação Matemática c) Restrições 1. A quantidade de calorias ingeridas diariamente não podem ser inferiores ao requerimento diário 400 x 1+200 x 2+150 x 3+500 x 4 ≥ 500 (cal/dia) 2. A quantidade de chocolate ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário 3 x 1 + 2 x 2 ≥ 6 (on/dia) 3. A quantidade de açúcar ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário 2 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 + 4 x 4 ≥ 10 (on/dia) 4. A quantidade de gordura ingerida diariamente não pode ser inferior ao seu requerimento diário 2 x 1 + 4 x 2 + x 3 + 5 x 4 ≥ 8 (on/dia)

Formulação do Modelo de Programação Matemática d) Restrições de sinal xi ≥ 0 (i=1. . 4) (unidades de alimento/dia)

Modelo de Programação Linear Min 0, 50 x 1+ 0, 20 x 2+ 0, 30 x 3+ 0, 80 x 4 sujeito a: 400 x 1+200 x 2+150 x 3+500 x 4 ≥ 500 calorias) 3 x 1 + 2 x 2 ≥ 6 (requerimento de chocolate) 2 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 + 4 x 4 ≥ 10 (requerimento de açúcar) 2 x 1 + 4 x 2 + x 3 + 5 x 4 ≥ 8 (requerimento de gordura) xi ≥ 0 (i=1. . 4) (restrições de sinal)