Pesquisa Operacional na Tomada de Decises Problemas de

Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões Problemas de Rede 2ª Edição Capítulo 5 © Gerson Lachtermacher, 2005

Conteúdos do Capítulo w Problema de Transporte n n n Caso LCL Bicicletas l Sem/Com Dummy l Como Modelos de Rede Caso LCL Fórmula 1 Ltda. Caso LCL Construções S. A. w Problemas de Rede de Distribuição; n n Caso Frod Brasil Caso LCL Eletrodomésticos w Problemas do Menor Caminho; w Problemas de Fluxo Máximo; Capítulo 5

Problema de Transporte Caso LCL Bicicletas w A LCL Bicicletas possui 3 fábricas localizadas no Rio, São Paulo e Belo Horizonte. A produção deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus. Considerando os custos de transporte unitários, as capacidades de produção das fábricas e as demandas dos centros consumidores que estão especificados na tabela a seguir, determine quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro consumidor de forma a minimizar os custos de transporte. Centro Consumidor Fábrica Rio São Paulo B. Horizonte Demanda Capítulo 5 Recife 25 30 20 2000 Salvador 20 25 15 2000 Manaus 30 25 23 1000 Capacidade 2000 1500

Problema de Transporte: Modelo Tradicional w Existem 9 variáveis para expressar a quantidade transportada em cada uma das possíveis vias. n xij = Quantidade transportada da fábrica i para o centro consumidor j. ì 1 - Rio ï i = í 2 - São Paulo ï 3 - Belo Horizonte î Capítulo 5 ì 1 - Recife ï j = í 2 - Salvador ï 3 - Manaus î

Problema de Transporte: Variáveis de Decisão x 11 RIO x 21 SP x 12 x 13 Fábrica REC x 22 x 23 SSA x 31 x 32 BHZ Centro Consumidor REC x 33 Capítulo 5 MAN SSA MAN Rio x 11 x 12 x 13 SP x 21 x 22 x 23 BH x 31 x 32 x 33

Problema de Transporte: Modelo Tradicional Capítulo 5

Problemas de Transporte: Propriedades w Soluções Inteiras: n Para problemas de transporte onde os valores das ofertas, oi e demandas dj , sejam números inteiros, todos os valores das variáveis das soluções básicas viáveis, incluindo a solução ótima, também serão inteiros. Capítulo 5

Problemas de Transporte: Propriedades w A condição necessária e suficiente para um problema de transporte com n fábricas e m centros consumidores tenha solução é dada por: Total da Capacidade = Total da demanda n å i =1 Capítulo 5 m fi = å d j =1 j

Problema de Transporte Oferta Diferente da Demanda w A regra das variáveis fantasma (Dummy): n No caso de Oferta ³Demanda devemos introduzir um destino fantasma; n No caso de Demanda ³ Oferta devemos introduzir uma oferta fantasma; w Todos os custos relacionados às variáveis fantasma serão nulos; w A oferta ou a demanda fantasma será dada pela diferença entre o total ofertado e total demandado. Capítulo 5

Problema de Transporte Caso LCL Bicicletas w Modificando a oferta de São Paulo de 1500 para 3000 Centro Consumidor Fábrica Capacidade Recife Salvador Manaus (oferta) Rio 25 20 30 2000 São Paulo 30 25 25 3000 B. Horizonte 20 15 23 1500 2000 1000 Demanda w Demanda total menor que a Oferta total! Capítulo 5

Problema de Transporte Caso LCL Bicicletas w Cria-se um consumidor Dummy: Centro Consumidor Fábrica Recife Salvador Manaus Dummy Capacidade Rio 25 20 30 0 2000 São Paulo 30 25 25 0 3000 B. Horizonte 20 15 23 0 1500 2000 1000 1500 Demanda Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Resolvendo no Excel Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Parâmetros e Opções do Solver Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Resolvendo no Excel Capítulo 5

Problemas de Transporte Solução Alternativa w As Variáveis Dummy não são obrigatórias, apenas facilitam a interpretação do resultado da otimização. w Capacidade > Demanda: n Criação de consumidor dummy n Interpretação: capacidade ociosa n Alternativa: restrições de oferta com sinal Capítulo 5 w Demanda > Capacidade: n Criação de fábrica dummy n Interpretação: demanda não atendida; n Alternativa: restrições de demanda com sinal

Caso LCL Bicicletas Modelo sem Fantasma no Excel w Todas as fórmulas são idênticas. . . Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Modelo sem Fantasma no Excel As restrições de oferta estão com sinal Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Modelo sem Fantasma no Excel Capítulo 5

Modelos em Rede w Modelos de rede podem ser utilizados em diversas áreas tais como transportes, energia e comunicações para modelagem de diversos tipos de problemas. w Uma rede é um conjunto de vértices ou nós ligados entre si por um conjunto de arcos Nós Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Representação Como Problema de Rede w Sem Utilização de Variáveis Dummy Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Representação Como Problema de Rede w Com Utilização de Variáveis Dummy Capítulo 5

Regra de Fluxo Balanceado w Uma maneira de modelar um problema de rede é seguir a Regra Fluxo Balanceado para cada nó. w No Caso de Oferta Total = Demanda Total Capítulo 5

Regra de Fluxo Balanceado w Caso a Oferta Total > Demanda Total w Caso a Oferta Total < Demanda Total Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Representação Como Problema de Rede =SOMASE($C$4: $C$15; H 4; $F$4: $F$15) -SOMASE($A$4: $A$15; H 4; $F$4: $F$15) Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Representação Como Problema de Rede Capítulo 5

Problema de Transporte Aplicações w O problema de transporte não é aplicado apenas a problemas de distribuição de mercadorias das fábricas para centros distribuidores; w O mesmo tipo de formulação pode ser aplicado a outros tipos de problema, tais como: n Problemas de Escalas de Produção; n Problemas de Lay-out de fábricas; Capítulo 5

Caso LCL Fórmula 1 Ltda. A LCL Fórmula 1 Ltda. fornece motores para um grande nº de equipes de fórmula 1. A companhia detém uma série de contratos de entregas futuras programadas para o próximo ano. As entregas deverão ocorrer trimestralmente de acordo com as necessidades das equipes. A tabela resume as entregas programadas, a capacidade máxima de produção, o custo de produção por trimestre e o custo de armazenamento. Formule o problema para achar o número de motores que devem ser fabricados em cada trimestre de maneira a atender os pedidos contratados. * em milhões de reais Capítulo 5

Caso LCL Fórmula 1 Ltda. w Fonte i = Produção de motores no trimestre i (i=1, . . , 4) w Destino j= entrega dos motores às equipes no trimestre j (j=1, . . , 4) w xij = nº de motores produzidos no trimestre i para entrega no trimestre j w cij = custo associado ao motor xi w Dj = nº de pedidos contratados w Fi = capacidade de produção no mês i Entrega dos Motores (trimestre) Produção no Trimestre Demanda Capítulo 5 1 2 3 4 1, 080 1, 095 1, 110 1, 125 1, 140 1, 115 1, 130 10 15 25 20 5(D) 0 0 30 Oferta 25 35 30 10

Caso LCL Fórmula 1 Ltda. Capítulo 5

Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil w A Frod Brasil terá duas fábricas no Brasil, uma na Bahia e outra em São Paulo, e está estudando a forma de distribuição de seus carros para as diversas revendas de Minas Gerais. A seguir é apresentada a possível rede de distribuição dos veículos, seus custos de transporte unitários, demandas por revenda e as capacidades das fábricas. Formule o Problema de LP que resolva as rotas que devem ser seguidas a partir das fábricas para atender as diversas revendas. Capítulo 5

Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil 5 40 -500 SP 1 20 3 +200 BA 2 4 20 Capítulo 5 +300 25 40 10 6 35 10 -600 15 25 10 oferta +250 10 +350 10 7 +350 demanda

Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil w Variáveis de Decisão n n xij – Nº de Carro remetidos de i para j Exemplo: x 14 – Nº de Carro remetidos de 1 para 4 w Função-Objetivo = Minimizar o Custo de Distribuição Capítulo 5

Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil w Como a oferta total é menor que a demanda total devemos utilizar a seguinte restrição em todos os nós: Entradas – Saídas < Oferta / Demanda no nó Capítulo 5

Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil Capítulo 5

Caso LCL Eletrodomésticos Ltda. w A LCL Eletrodomésticos Ltda. deseja realizar o escalonamento de sua produção para os próximos 4 meses. Sua fábrica pode produzir mensalmente em horário normal 150 ferros de passar a um custo de R$5, e em horário extra, 50 unidades a um custo de R$ 7. Considere que é possível armazenar durante um mês a um custo unitário de R$1. Suponha que as demandas para os próximos quatro meses são de 120, 200, 120 e 180. Capítulo 5

Caso LCL Eletrodomésticos Ltda. w Para resolver este problema, criaremos uma rede onde: n n Cada nó representará uma unidade produtora ou unidade receptora. São 8 unidades produtoras (2 por mês), e 5 unidades receptoras (4 meses mais o Dummy – visto que a capacidade produtiva é maior que a demanda); Cada arco está relacionado ao custo de produção ou armazenagem. Capítulo 5

Caso LCL Eletrodomésticos Ltda. -150 1 0 +800 -620= +180 E 0 0 3 0 4 0 0 Dummy 2 0 0 5 6 7 8 Capítulo 5 -50 -150 -50 5 7 A +120 1 5 7 +200 B 1 -150 -50 5 7 +120 C 1 -150 -50 5 7 D +180

Caso LCL Eletrodomésticos Ltda. =somarproduto(D 3: D 21; E 3: E 21) =SOMASE($C$3: $C$21; F 15; $E$3: $E$21) -SOMASE($B$3: $B$21; F 15; $E$3: $E$21) Capítulo 5

Caso LCL Eletrodomésticos Ltda. Capítulo 5

Problemas de Menor Caminho w Se considerarmos uma rede na qual o arco signifique a distância entre dois pontos (nós) e desejarmos achar a rota que une estes pontos com distância mínima, teremos um problema do tipo do Menor caminho. w Este tipo de problema pode ser generalizado e aplicado a distribuição de produtos, entre outros. Capítulo 5

Problemas de Menor Caminho Exemplo w Considere a rede abaixo que representa a ligação rodoviária entre duas cidades (A e B). O tamanho dos arcos representa a distância entre pontos da malha rodoviária entre as cidades. 1 30 40 Capítulo 5 20 20 A 30 3 2 30 B 4 20

Problemas de Menor Caminho Exemplo w Este problema pode ser visto como um problema de rede de distribuição com um ponto de oferta de um caminhão (A=-1) e ponto de demanda de um caminhão (B=+1) e os demais pontos da malha sem demanda ou 30 oferta (=0) 3 1 20 40 [-1] A 30 Capítulo 5 20 2 30 B 4 20 [+1]

Problemas de Menor Caminho Exemplo Capítulo 5

Problemas de Menor Caminho Solução Capítulo 5

Problema do Fluxo Máximo w Nesse tipo de problema temos uma rede de nós e arcos, e desejamos que o maior fluxo de uma grandeza possa fluir de um determinado nó para outro. w Nesse tipo de problema mais de um caminho pode ser utilizado simultaneamente. w Aplicações n Rede de distribuição de água, luz, gás e tráfego na internet. Capítulo 5

Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo w Como resolver o problema? n Adicionar um arco artificial ligando o ponto de saída (A) ao ponto de chegada (B). n Maximizar o fluxo no arco artificial criado (fluxo grande). n Utilizar a regra de balanceamento de redes. n n As grandezas associadas aos arcos são o fluxo máximo em cada trecho da rede, portanto restrições no modelo. O Valor de Oferta/Demanda em cada nó é igual a zero. Capítulo 5

Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo 30 40 3 1 20 20 A 30 40 2 Capítulo 5 30 4 B

Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo Capítulo 5