PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUO II

PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUÇÃO II **Modelagem de Problemas de Programação Linear Inteira ** Profa. Vitória Pureza 1º Semestre Aulas 9 e 10

Roteiro • • • Problema da Mochila 0 -1 Problema de Custo Fixo Problema de Cobertura de Conjuntos Modelagem de Restrições E/OU Modelagem de Restrições SE. . . ENTÃO Winston, capítulo 9

Exemplo 1: Uma empresa está considerando investir em 4 projetos. A tabela abaixo apresenta para cada projeto, o volume de aplicação requerido e o retorno gerado. No momento, $14. 000 estão disponíveis. PROJETO APLICAÇÃO (R$) RETORNO (R$) 1 5. 000, 00 16. 000, 00 2 7. 000, 00 22. 000, 00 3 4. 000, 00 12. 000, 00 4 3. 000, 00 8. 000, 00 Formule um PI para maximizar o retorno obtido com a seleção de um ou mais projetos dentre os considerados. Considere que só é possível fazer uma aplicação em cada projeto e que ela não possa ser fracionada.

Problemas de Programação Linear Inteira (PI) • PLs nos quais se requer que pelo menos uma das variáveis assuma valores inteiros não negativos ( Z+) • Seja um modelo linear com 2 variáveis x 1 e x 2 • Se x 1 e x 2 Z+ PI PURO PI MISTO • Se x 1 ≥ 0 e x 2 Z+ PI 0 -1 • Se x 1 e x 2 {0, 1} • Métodos do tipo Branch&Bound (B&B) podem ser utilizados para encontrar a solução ótima de PIs

Problema da Mochila 0 -1 Exemplo 2: Joseane planeja fazer um acampamento. Existem 4 itens que Joseane pensa em levar na viagem. O peso de cada item e seu nível de utilidade para Joseane são dados na tabela abaixo. Formule um PI que maximize o nível total de utilidade dos itens levados por Joseane, considerando que ela consegue carregar no máximo 14 lbs. ITEM PESO (lbs) Utilidade 1 5 16 2 7 22 3 4 12 4 3 8

Modifique a modelagem do exemplo 1 de forma a considerar as seguintes restrições: 1. A empresa pode investir no máximo em 2 projetos 2. Se a empresa investir no projeto 2, ela precisa também investir no projeto 1 3. Se a empresa investir no projeto 2, ela não pode investir no projeto 4

Problema de Custo Fixo • Nestes problemas, existe um custo associado à realização de uma atividade que independe do nível da atividade desde que este nível seja maior que zero § Se a atividade está sendo realizada (nível 0), então custo fixo = C § Se a atividade não está sendo realizada (nível = 0), então custo fixo = 0 • Note que há uma relação entre o nível da atividade e a ocorrência ou não do custo fixo que precisa ser descrita no modelo

Exemplo 3: Uma fábrica de roupas produz três artigos: saias, shorts e calças. A produção de cada tipo de roupa requer que a fábrica tenha o tipo de máquina apropriado. As máquinas são alugadas semanalmente. A produção de cada tipo de roupa requer também quantidades de tecido e mão-de-obra (veja na tabela abaixo). A cada semana, 150 horas de mão-deobra e 160 ft 2 quadrados de tecido estão disponíveis. O custo unitário e o preço de venda são dados na tabela abaixo. Formule um PI que maximize os lucros semanais da fábrica. ARTIGO ALUGEL ($/SEMANA) MÃO DE OBRA (h/unidade) TECIDO (ft 2/unidade) PREÇO DE VENDA ($/unidade) CUSTO ($/unidade) SAIA 200 3 4 12 6 SHORTS 150 2 3 8 4 CALÇA 100 6 4 15 8

Exemplo 4: Uma empresa recebe pagamento de compras a crediário de 4 regiões do país (R 1, R 2, R 3 e R 4) , e pensa em concentrar as operações de processamento de pagamentos em escritórios de 4 cidades distintas (C 1, C 2, C 3 e C 4). O número médio de dias entre o envio do cheque e sua liquidação depende da cidade para onde o pagamento é enviado. O valor médio de pagamento diário enviados pelos clientes de cada região, e o número de dias do dinheiro em trânsito é dado abaixo: C 1 C 2 C 3 C 4 VALOR MÉDIO DE PAGAMENTO DIÁRIO ($) R 1 2 6 8 8 70. 000 R 2 6 2 5 5 50. 000 R 3 8 5 2 5 60. 000 R 4 8 5 5 2 40. 000 DE PARA

A empresa precisa decidir para onde os clientes devem enviar seus pagamentos. Como a empresa pode ganhar 20% de juros anuais investindo esses valores, ela gostaria de receber os pagamentos o mais cedo possível. O custo anual de manter um escritório em qualquer cidade é de $50. 000. Formule um PI que a empresa possa usar para minimizar a soma dos custos devido a juros perdidos e a manutenção dos escritórios. Assuma que cada região precisa enviar todo o seu dinheiro a uma única cidade e que não haja limite na quantidade de dinheiro que cada escritório possa lidar.

Modelagem Matemática Note que • Se y 1= 1 então existe um escritório em C 1 Decisões • Se x 31= 1 então a região R 3 envia o pagamento para a cidade • Onde operar os escritórios ? C 1 • Para onde cada região deveentão enviar seu pagamento ? É preciso descrever a relação entre as variáveis x e as variáveis y no modelo Variáveis de Decisão

Objetivo do problema Minimizar custo anual = custo de manutenção dos escritórios 50(y 1 + y 2 + y 3 + y 4) + custo de juros perdidos durante o período em que o dinheiro está em trânsito De R 1 p/ C 1 2 dias DIA 1 2 3. . . MONTANTE ENVIADO p 1 p 2 p 3 MONTANTE EM TR NSITO p 1 p 2 p 3 Em qualquer dia há sempre 2 pagamentos em trânsito ($140. 000) !!

• Isso é equivalente a terem sido deixados parados $140. 000. Se esse dinheiro tivesse sido investido, renderia juros anuais de $140. 000 x 0, 2 = $28. 000. Assim, o custo de juros anuais perdidos decorrentes de enviar o pagamento de R 1 para C 1 é 28 x 11. • Calculando para as demais variáveis xij e acrescentando o custo de manutenção dos escritórios, obtém-se : Min z=28 x 11 + 84 x 12 + 112 x 13 + 112 x 14 + 60 x 21+ 20 x 22 + 50 x 23 + 50 x 24 + 96 x 31 + 60 x 32 + 24 x 33 + 60 x 34 + 64 x 41 + 40 x 42 + 40 x 45 + 16 x 44 + 50(y 1 + y 2 + y 3 + y 4)

Fatores que afetam o alcance do objetivo 1. Cada região precisa enviar seus pagamentos para uma única cidade Para R 1: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 1 Generalizando: 2. Se uma região envia seu pagamento para cidade, esta cidade precisa ter um escritório em operação Se x 11=1 então y 1=1 Restrições lógicas Se x 11=0 então y 1=0 ou 1

• Restrições Analíticas Para C 1: Generalizando: Formulação alternativa: x 11 + x 21 + x 31 + x 41 ≤ 4 y 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 ≤ 4 y 2 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 ≤ 4 y 3 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 ≤ 4 y 4 Porque 4 ? z*=$242. 000 y 1=1, y 3=1, x 11=1, x 23=1, x 33=1, x 43=1

Exemplo 5: Para obter um diploma em Pesquisa Operacional em uma universidade, um estudante precisa ser aprovado em pelo menos 2 cursos de matemática, 2 cursos de PO e 2 cursos de computação. Algumas disciplinas podem ser cursadas para atender mais de um requerimento, como visto na tabela abaixo: DISCIPLINAS CURSOS MATEMÁTICA CAL PO ED EE X X PO X SIM PREV X X COMPUTAÇÃO IPC X X X Algumas disciplinas são pré-requisitos de outras, como visto na tabela abaixo: DISCIPLINAS PRÉ-REQUISITOS ED CAL EE SIM X EE IPC PREV X X X Formule um PI para minimizar o número de disciplinas necessárias para satisfazer os requerimentos para obtenção do título

Problemas de Cobertura de Conjuntos • Nestes problemas, cada elemento de um conjunto S 1 deve ser coberto por um elemento aceitável de um conjunto S 2 O objetivo é minimizar o número de elementos do conjunto S 2 necessário para cobrir todos os elementos do conjunto S 1

Exemplo 6: Existem 6 cidades em uma região. O governo estadual precisa determinar onde construir postos de bombeiro. O governo quer construir o menor número de postos necessários mas que assegurem que um posto esteja a um tempo de percurso de 15 minutos de cada cidade. Os tempos (em minutos) entre cada par de cidades estão dados na tabela abaixo. Formule um PI que calcule quantos postos devem ser construídos e suas localizações DE PARA C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 1 0 10 20 30 30 20 C 2 10 0 25 35 20 10 C 3 20 25 0 15 30 20 C 4 30 35 15 0 15 25 C 5 30 20 30 15 0 14 C 6 20 10 20 25 14 0

Modelagem Matemática Decisão • Onde construir os postos? Variáveis de Decisão

Objetivo do problema Minimizar o número de postos construídos Min z=x 1 + x 2 +Cx 3 + x 4 + x 5 + x 6 Fatores que afetam o alcance do objetivo 1. Deve existir pelo menos um posto a pelo menos 15 minutos de cada cidade POSSÍVEL CIDADES LOCALIZAÇÃO ALCANÇÁVEIS EM ATÉ DE UM POSTO 15 MINUTOS C 1, C 2, C 6 C 3, C 4, C 5 C 4, C 5, C 6 C 2, C 5, C 6 z*= 2 x 1=1, x 4=1 X 1 + X 2 ≥ 1 X 1 + X 2 + X 6 ≥ 1 X 3 + X 4 ≥ 1 C X 3 + X 4 + X 5 ≥ 1 X 4 + X 5 + X 6 ≥ 1 X 2 + X 5 + X 6 ≥ 1

Modelagem de Restrições E/OU • Note que: Caso Se modelo y = 0, f(x)de ≤ programação 0 Suponha que em 1)um linear inteira g(x) ≤ M existam 2 restrições. Ou cuja forma genérica é: seja, f(x) será satisfeita Restrição 1 f(x) ≤ 0 g(x) talvez seja satisfeita Restrição 2 Caso 2) Se g(x) y =≤ 1, 0 f(x) ≤ M g(x)que ≤ 0 pelo menos uma das duas e tais que deseja-se assegurar Ou seja, g(x) será satisfeita (1 e/ou 2) seja satisfeita f(x) talvez seja satisfeita Para isso, as restrições a serem utilizadas no modelo são: Restrição 1 f(x) ≤ My Restrição 2 g(x) ≤ M(1 -y) onde M: no arbitrariamente grande y: variável binária de suporte

Exemplo 7: Uma fábrica de automóveis considera produzir 3 tipos de carros: compacto, médio e grande. Os recursos requeridos e os lucros obtidos para cada tipo de carro são dados na tabela abaixo: COMPACTO MÉDIO GRANDE AÇO (TON) 1, 5 3 5 MÃO DE OBRA (HR) 30 25 40 2. 000 3. 000 4. 000 LUCRO UNITÁRIO ($/UNIDADE) Há 6. 000 toneladas de aço e 60. 000 horas de mão de obra disponíveis. Por razões de viabilidade econômica, se for decidido fabricar um dado tipo de carro, pelo menos 1. 000 destes precisam ser produzidos. Formule um PI que maximize o lucro da fábrica.

Modelagem Matemática Decisão • Quanto produzir de cada tipo de carro? Variáveis de Decisão

Objetivo do problema Maximizar o lucro com a venda dos três tipos de carro Max z=2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 4 Fatores que afetam o alcance do objetivo 1. Se um tipo de carro for produzido, pelo menos 1. 000 unidades deste tipo precisam ser produzidas xj=0 OU xj ≥ 1. 000 xj ≤ 0 OU 1. 000 - xj ≤ 0 i f(x ) Restrições analíticas xi ≤ M i y i i=1. . 3 1. 000 - xi≤C Mi(1 -yi) yi=0 ou 1 g(x)

Para carros do tipo COMPACTO: x 1 ≤ M 1 y 1 1. 000 – x 1≤ M 1(1 -y 1) Caso 1) Se y = 0, x 1 ≤ 0 (nenhum carro é produzido) x 1 ≥ 1. 000 – M 1 (não agrega informação) Caso 2) Se y = 1, x 1 ≤ M 1 (não agrega informação) x 1 ≥ 1. 000 (pelo menos 1. 000 carros são produzidos)

2. Existem disponíveis 6. 000 toneladas de aço para produção dos três tipos de carro 1, 5 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 ≤ 6. 000 3. Existem disponíveis 60. 000 horas de mão de obra para produção dos três tipos de carro 30 x 1 + 25 x 2 + 40 x 3 ≤ 60. 000 z*= 6. 000 x 2=2. 000 y 2=1 Eliminando a restrição 1: z*= 6. 285 x 1=570 x 2=1. 715 y 1=y 2=1

Modelagem de Restrições SE. . . ENTÃO • Suponha que em um modelo de programação linear inteira existam 2 restrições cuja forma genérica é: Restrição 1 f(x) > 0 g(x) 0 Restrição 2 e tais que deseja-se assegurar que 1. Se f(x) > 0 então g(x) 0 (restrição 1 satisfeita implica em restrição 2 satisfeita) 2. Se f(x) ≤ 0 então g(x) pode assumir qualquer valor (restrição 1 não satisfeita não afeta a restrição 2) Para isso, as restrições a serem utilizadas no modelo são: onde M: no arbitrariamente Restrição 1 f(x) ≤ M(1 -y) grande Restrição 2 - g(x) ≤ My y: variável binária de suporte

Exemplo 7: Adicione a seguinte restrição ao problema do pagamento de cartões de crédito (exemplo 4): “Se os clientes em R 1 enviarem seus pagamentos a um escritório em C 1, clientes das outras regiões não podem enviar seus pagamentos ao escritório em C 1” Se x 11= 1 então x 21 = x 31 = x 41= 0 Se x 11 0 então x 21 + x 31 + x 41≤ 0 f(x -x 21 - x 31 - x 41 0 ) g(x) Incluiu-se, portanto, no modelo: x 11 ≤ M(1 -y) x 21 + x 31 + x 41 ≤ My Formas equivalentes

Um treinador de basquete deseja escolher o time inicial (5 jogadores) para um jogo. O time consiste de 7 jogadores que foram classificados de 1 a 3 de acordo com suas habilidades de linha, arremesso, rebote e defesa. As posições que cada jogador (D=defesa, C=centro, e A=ataque) pode jogar e suas habilidades são mostradas na tabela abaixo: JOGADOR POSIÇÃO LINHA ARREMESSO REBOTE DEFESA 1 D 3 3 1 3 2 C 2 1 3 2 3 D, A 2 3 2 2 4 A, C 1 3 3 1 5 D, A 1 3 1 2 6 A, C 3 1 2 3 7 D, A 3 2 2 1

O time inicial (com cinco jogadores) precisa satisfazer as seguintes restrições: • Pelo menos 4 jogadores do time inicial precisam poder jogar na defesa • Pelo menos 2 jogadores do time inicial precisam poder jogar no ataque • Pelo menos 1 jogador do time inicial precisa poder jogar no centro • A habilidade média de linha, arremesso e rebote do time inicial deve ser pelo menos igual a 2 • Se o jogador 3 começa o jogo, então o jogador 6 não pode começar • Se o jogador 1 começa o jogo, então ambos os jogadores 4 e 5 precisam começar • O jogador 2 ou o jogador 3 precisam começar o jogo Dadas estas restrições, o treinador quer maximizar a habilidade total de defesa do time inicial. Formule um PI que o ajude a escolher o time. Lista 3