SEP 441 PESQUISA OPERACIONAL III Prof Dr Marcelo

SEP 441 PESQUISA OPERACIONAL III Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Departamento de Engenharia de Produção

Programação de operações em uma máquina CONSIDERAÇÕES GERAIS: • Aplicações: – Oficinas com uma máquina – Conjunto de máquinas e equipamentos que opera como se fosse uma única máquina. Ex. : indústrias químicas – Máquina dominante de um processo Ex. : indústria de papel – Máquina gargalo Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 2

Parâmetros • n ≥ 2 finito, número de tarefas a serem processadas • m = 1 uma única máquina relevante • gi = 1 uma única operação por tarefa • ri = r ou simplesmente ri = 0 , ou seja, todas as tarefas têm a mesma data de liberação Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 3

Variáveis de decisão • Wi 1 = Wi tempo de espera da tarefa (operação) Ji Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 4

Variáveis de decisão • Ci = Fi = Wi + pi data de término da tarefa Ji = tempo de permanência de Ji • Número de ordenações (seqüências) possíveis das n tarefas = n! (uma vez que ri = 0 i = 1, 2, . . . , n) Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 5

Variáveis de decisão • Seja uma ordenação qualquer: (Jh, Ji, . . . , JK) JK: última tarefa ou seja, TODAS as n! ordenações têm o mesmo Fmax. Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 6

Alguns problemas estáticos ─ I) n/1/F (SMITH) II) n/1/Tmax (JACKSON) ─ III) n/1/F | n(T) = 0 ─ (SMITH) IV) n/1/F | min Tmax (HECK and ROBERTS) V) n/1/n(T) (MOORE) Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 7

─ I) n/1/F Ji J 1 J 2 . . . Jn pi p 1 p 2 . . . pn ─ TEOREMA: “No problema n/1/F, o tempo médio de permanência é minimizado pela ordenação das tarefas (operações) segundo a ORDEM NÃO-DECRESCENTE dos tempos de processamento” Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 8

Regra SPT (Shortest Processing Time) J[1], J[2], . . . , J[i], . . . , J[n] J[i] : tarefa colocada na i-ésima posição p[i] : tempo de processamento da tarefa J[i] onde: p[1] p[2] . . . p[n] Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 9

Prova do Teorema – SPT F[i] : tempo de permanência da tarefa J[i] Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 10

Prova do Teorema – SPT Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 11

Prova do Teorema – SPT n : n-1 : . . . : n-i+1 : . . . : 1 ordenação decrescente se p[i] : p[2] : . . . : p[i] for não decrescente Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 12

II) n/1/Tmax (ou n/1/Lmax) Teorema de JACKSON : "No problema n/1/Tmax ou n/1/Lmax , os valores de Tmax e Lmax são minimizados pela ordenação das tarefas (operações) segundo a ORDEM NÃO-DECRESCENTE das datas de entrega". Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 13

Regra EDD (Earliest Due Date) J[1], J[2], . . . , J[i], . . . , J[n] tal que d[1] d[2] . . . d[n] Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 14

Prova do Teorema – EDD para Lmax: As seqüências 1 e 2 são idênticas, exceto que as tarefas Ji e Jj estão em posições invertidas. Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 15

Prova do Teorema – EDD Seja di < dj • Se Lmax, seq. 1 Lmax, seq. 2 então a regra EDD minimiza Lmax • Seja Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 16

Prova do Teorema – EDD • Tem-se que: e obviamente, Li 1 < Li 2 e Lj 2 < Lj 1 * ** • Sendo di < dj, segue que Lj 1 < Li 2 portanto Lj 2 < Lj 1 < Li 2. Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 17

Prova do Teorema – EDD • Logo, pode-se escrever Lmax, seq. 1 = max {L, Li 1, Lj 1} Lmax, seq. 2 = max {L, Li 2} • Então, de (*) e (**) segue que: Lmax, seq. 1 Lmax, seq. 2 • Para Tmax: • Logo Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 18

─ ─ III) n/1/F | n(T) = 0 (ou n/1/F | Tmax = 0) n(T) : número de tarefas programadas com atraso Teorema de SMITH: Se todas as tarefas puderem ser programadas sem atraso, então existe uma ordenação das─tarefas com a tarefa JK sendo a última, a qual minimiza F, sujeito a n(T) = 0 (ou Tmax = 0), SE E SOMENTE SE a tarefa JK tiver as seguintes propriedades: a) e b) p. K ≥ pi para todo i tal que Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 19

Exemplo ─ III) n/1/F | n(T) = 0 Ji pi J 1 4 J 2 2 J 3 3 J 4 5 J 5 3 di 10 10 12 18 6 Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 20

─ IV) n/1/F | min Tmax • ─ Extensão do problema de SMITH: n/1/F | Tmax = 0 Teorema de HECK and ROBERTS: “No problema n/1 existe uma ordenação das tarefas com a tarefa JK na última posição, a qual ─ minimiza F sujeito à condição de mínimo Tmax, SE E SOMENTE SE: a) e b) p. K ≥ pi para todo i tal que Prof. Dr. Marcelo S. Nagano ” Pesquisa Operacional III 21

Observações: 1) Note que Tmax = 0 leva ao Teorema de Smith (Problema III). 2) T*max = min Tmax ─ Exemplo IV) n/1/F | min Tmax Ji pi J 1 4 J 2 3 J 3 2 J 4 2 di 3 4 5 6 Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 22

V) n/1/n(T) "Minimizar o número de tarefas a serem programadas com atraso". ALGORITMO DE MOORE PASSO 1: Ordene as tarefas segundo a regra SPT. Esta ordenação é chamada de seqüência atual. Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 23

Algoritmo de MOORE PASSO 2: Usando a seqüência atual, encontre a primeira tarefa com atraso J[q] e vá para o PASSO 3. Se tal tarefa não for encontrada, o algoritmo está terminado, obtendo-se uma seqüência ótima com a ordenação das tarefas da seqüência atual, de acordo com a regra EDD, e as demais tarefas (removidas em 3. 2) em uma ordem qualquer. Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 24

Algoritmo de MOORE PASSO 3: Reordene as tarefas J[1], J[2], . . . , J[q] segundo a regra EDD. Duas situações podem ocorrer: 3. 1) Se todas as tarefas da nova subseqüência J[1], J[2], . . . , J[q] não estiverem atrasadas, defina a seqüência total das tarefas como a seqüência atual e vá para o PASSO 2. 3. 2) Caso contrário, rejeite a tarefa J[q] escolhida no passo 2, removendo-a da seqüência atual para a seqüência das tarefas removidas (parte final da seqüência total). Vá para o PASSO 2. Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 25

Versão de HODGSON do Algoritmo de MOORE PASSO 1: Ordene as tarefas segundo a regra EDD. Esta ordenação é denominada seqüência atual. PASSO 2: Na seqüência atual, identifique a primeira tarefa com atraso. Esta tarefa e as suas precedentes determinam uma subseqüência de confronto. Se tal tarefa for identificada, vá para o PASSO 3. Caso contrário, a seqüência ótima é a seqüência atual seguida da seqüência das tarefas removidas (no passo 3). Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 26

Versão de HODGSON do Algoritmo de MOORE PASSO 3: Remova a tarefa com maior tempo de processamento entre as tarefas da subseqüência de confronto e coloque-a na seqüência das tarefas removidas. A seqüência total é formada pela seqüência atual e seqüência das tarefas removidas. Vá para o PASSO 2. Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 27

Exemplo: 8/1/n(T) Ji J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 J 8 pi 10 6 3 1 4 8 7 6 di 35 20 11 8 6 25 28 9 Prof. Dr. Marcelo S. Nagano Pesquisa Operacional III 28