Operasi Matriks Dani Suandi M Si Kesamaan Dua

Operasi Matriks Dani Suandi, M. Si.

Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika : aij = bij, 1 i m, 1 j n yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama. • Contoh : 2 Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, 15/10/2021 y = 0, dan z = -5

Operasi Pada Matriks �Penjumlahan (addition) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut 3 15/10/2021

Contoh + Penyelesaian Jika Maka: 4 15/10/2021

Operasi Pada Matriks �Pengurangan (subtruction) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka selisih A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A 5 15/10/2021

Contoh + Penyelesaian Jika Maka: 6 15/10/2021

Operasi Pada Matriks �Perkalian Skalar Pada Matriks Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali c. A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c. 7 15/10/2021

Contoh Soal + Penyelesaian Jika Maka: 8 15/10/2021

Perkalian Dua Buah Matriks Amxn dapat dikalikan dengan matriks Bpxq jika dan hanya jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. ( n = p) Amxn. Bnxq = Cmxq A=[aij] mxn dan B= [bij] nxq maka C = [cij]mxq dengan 9 15/10/2021

Contoh Soal + Penyelesaian Tentukan AB dan BA jika: Jawab: 10 15/10/2021

Contoh Soal + Penyelesaian 11 15/10/2021

Let A, B, C be matrix in the same order and , be element of Real number, Then we have some properties as follow : 1. A+B=B+A 2. A+(B+C)=(A+B)+C 3. ( A + B ) = A + B 4. ( + ) ( A ) = A + A 12 15/10/2021

Latihan Soal 13 15/10/2021

Operations on Matrices Transpose of a Matrix Definition If A is any m x n matrix, then the transpose of A, denoted by AT, is defined to be the n x m matrix that the results from interchanging the rows and columns of A Example : transpose of a matrix If A = At then A is called symmetry. Example: 14 15/10/2021

Operations on Matrices Transpose of a Matrix a. ((A)t)t = A b. (A + B)t = At + Bt c. (A - B)t = At - Bt d. (k. A)t =k. At, k is scalar e. (AB)t = Bt. At 15 15/10/2021

Operations on Matrices Trace of a Matrix Definition If A is n x n square matrix, then the trace of A, denoted by tr(A), is defined to be the sum of the entries on the main diagonal of A, or given by formula tr(A) = a 11+a 22+…+ann Example : trace of a matrix tr(A) = 1+5+9=15 16 15/10/2021

Example : Let : Find a. A At b. 17 At A 15/10/2021

Answer : Then 5 4 -2 -2 13 -3 -2 -3 1 And 14 -4 -4 18 5 15/10/2021

Exercises Let , and Find (for no 1 – 4) : 1. AB 2. 3 CA 3. (AB)C 4. (4 B)C + 2 C 19 15/10/2021

Let and 5. Find D + E 2 (hint : E 2 = EE) 6. Find 3(DE)t and also 3 Dt. Et and 3 Et. Dt. Which one have the same result? Why? 7. Find 7 tr(D) and tr(7 D). How the conclusions? 8. Find tr(4 Et – 2 D 2) 20 15/10/2021

Latihan Soal 2. Diberikan matriks : Jika mungkin, hitunglah : a. (AB)t c. At. Bt e. (Bt + A)C b. Bt. At d. Bt. C + A 21 15/10/2021

Operasi Baris Elementer Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain. Contoh : OBE 1 Pertukaran Baris pertama (b 1) ditukar dengan baris ke-2 (b 2) 22 15/10/2021

� Contoh : OBE 2 Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol Perkalian Baris pertama (b 1) dengan bilangan ¼ � Contoh : OBE 3 Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol dengan baris yang lain. Perkalian (– 2) dengan b 1 lalu tambahkan pada baris ke-3 (b 3) 23 15/10/2021

Definisi yang Perlu DIketahui � � 24 Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 2 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. Bilangan 1 (pada baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol. 15/10/2021

Sifat-Sifat Matriks Hasil OBE 1. 2. 3. 4. Ø Ø 25 Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama). Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol. Matriks dinamakan eselon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 Matriks dinamakan eselon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat 1, 2, 3, dan 4 15/10/2021

Contoh �Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari: �Solusi 26 15/10/2021

27 15/10/2021

Perhatikan hasil OBE tadi : Setiap baris mempunyai satu utama. Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena Jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom 4 tidak mempunyai satu utama) 28 15/10/2021

Latihan Soal Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks berikut: 29 1. 2. 3. 4. 15/10/2021

Inverse Matrix Let A be a square matrix. B is said a inverse of A if A B = I dan B A = I Otherwise, A is called inverse of B. Denoted by A = B-1 How to get inverse matrix? ERO ~ If A doesnot have reduced row echelon then A is not invertible 30 October 15, 2021

Example : Find a inverse matrix : Answer : ~ b 1↔b 2 -3 b 1+b 2 2 b 1+b 3 31 0 -1 -1 1 -3 0 0 0 1 0 2 1 October 15, 2021

-b 2 -b 3+ b 2 0 1 1 -1 3 0 0 1 0 -1 1 0 0 1 -b 2+ b 1 So, Inverse Matrix of A is 32 October 15, 2021

� We know : and So 33 October 15, 2021

Some properties of Inverse matrices : i. (A-1)-1 = A ii. If A, B invertible then (A. B)-1 = B-1. A-1 iii. Let k Riil then (k. A)-1 = iv. Corollary of (ii) : (An)-1 = (A-1)n 34 October 15, 2021

Exercise of Chapter 1 1. Which matrices below are in row echelon form or reduced row echelon form or neither? Why? 35 October 15, 2021

2. If Find reduced row echelon form of A, B, C, D, E, F ! Find inverse matrix of B and D using ERO (if any) ! 36 October 15, 2021