MATRIKS DAFTAR SLIDE Pengantar JenisJenis Matriks Operasi Matriks
- Slides: 50
MATRIKS
DAFTAR SLIDE Pengantar Jenis-Jenis Matriks Operasi Matriks Determinan Matriks Inverse Matriks 2
DEFINISI MATRIKS Apakah yang dimaksud dengan Matriks ? kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung. 3
NOTASI MATRIKS q Nama matriks menggunakan huruf besar q Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil maupun angka q Digunakan kurung biasa atau kurung siku q Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. 4
NOTASI MATRIKS q Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n. Notasi A = (aij) q Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks A= 5 Dengan i = 1, 2, . . . , m j = 1, 2, . . . , n
MATRIKS q Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4 x 2 q Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur. 6
NOTASI MATRIKS Kolom Baris Unsur Matriks berukuran m x n atau berorde m x n 7 7
MATRIKS BARIS DAN KOLOM q Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris q Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 8
MATRIKS A = B q Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama. q aij = bij dimana - aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j - bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j q A=B dan q A≠B dan 9
JENIS –JENIS MATRIKS q Matriks bujursangkar berukuran n x n (persegi) adalah matriks yang q Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol Sifat-sifat dari matriks nol : -A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 -A*0=0, begitu juga 0*A=0. 10
JENIS –JENIS MATRIKS q Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A I*A=A q Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol q Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol 11
PENJUMLAHAN MATRIKS q Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. q Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. dan 12
PENJUMLAHAN MATRIKS q Contoh Soal 13
PENGURANGAN MATRIKS q A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. q Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan. dan 14
PENGURANGAN MATRIKS q Contoh : 15
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR q. Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks k. A=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. q. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. q[C]=k[A]=[A]k 16
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar : k(B+C) = k. B + k. C k(B-C) = k. B-k. C (k 1+k 2)C = k 1 C + k 2 C (k 1 -k 2)C = k 1 C – k 2 C (k 1. k 2)C = k 1(k 2 C) 17
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Contoh : dengan k = 2, maka K(A+B) = 2 A+2 B TERBUKTI 18
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Contoh : dengan k 1 = 2 dan k 2 = 3, maka (k 1+k 2)C = k 1. C + k 2. C 19 TERBUKTI
PERKALIAN MATRIKS q Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif. q Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua. q Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana 20
PERKALIAN MATRIKS q Contoh : 21
PERKALIAN MATRIKS q Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A. A ; A³=A². A dan seterusnya q Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan) q Apabila AB = AC belum tentu B = C q Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0 q Terdapat beberapa hukum perkalian matriks : 1. A(BC) = (AB)C 2. A(B+C) = AB+AC 3. (B+C)A = BA+CA 4. A(B-C)=AB-AC 5. (B-C)A = BA-CA 6. A(BC) = (a. B)C= B(a. C) 7. AI = IA = A 22
PERPANGKATAN MATRIKS Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana berlaku : A 2 = A A A 3 = A 2 A A 4 = A 3 A A 5 = A 4 A; dan seterusnya 23
PERPANGKATAN MATRIKS Tentukan hasil A² dan A³ 24
PERPANGKATAN MATRIKS Tentukan hasil 2 A² + 3 A³ 25
DETERMINAN MATRIKS q Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan q Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. q Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular. 26
NOTASI DETERMINAN q Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar q Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) q Jumlah det(A) disebut determinan A q det(A) sering dinotasikan |A| 27
NOTASI DETERMINAN q Pada matriks 2 x 2 cara determinannya adalah : q Contoh : 28 menghitung nilai
METODE SARRUS q Pada matriks 3 x 3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus q Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3 x 3 29
METODE SARRUS q Contoh : q Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus det(A) = (-2· 1 ·-1) + (2 · 3 · 2) + (-3 ·-1 · 0) – (-3 · 1 · 2) –(-2 · 3 · 0)-(2 ·-1) = 2 +12+0+6 -0 -2 = 18 30
MINOR q Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. q Dinotasikan dengan Mij q Contoh Minor dari elemen a₁₁ 31
MINOR q Minor-minor dari Matrik A (ordo 3 x 3) 32
KOFAKTOR MATRIKS q Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan q Contoh : Kofaktor dari elemen a 11 33
TEOREMA LAPLACE q Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya 34
TEOREMA LAPLACE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris q Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3 x 3 q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama |A| 35
TEOREMA LAPLACE q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua |A| q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga |A| 36
TEOREMA LAPLACE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom q Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3 x 3 q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama |A| 37
TEOREMA LAPLACE q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua |A| q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga |A| 38
DET MATRIKS SEGITIGA q Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut q Contoh 39
TRANSPOSE MATRIKS q Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh A dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya. q Contoh : matriks A : berordo 2 x 3 transposenya : 40 berordo 3 x 2
TRANSPOSE MATRIKS Beberapa Sifat Matriks Transpose : 41
TRANSPOSE MATRIKS Pembuktian aturan no 1 : TERBUKTI 42
TRANSPOSE MATRIKS Pembuktian aturan no 2 : TERBUKTI 43
MATRIKS SIMETRI Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri. Contoh : 1. 44 2.
INVERS MATRIKS q Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I q AB = I q Notasi matriks invers : q Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya akan menghasilkan matrik satuan q Jika Maka 45
INVERS MATRIX q Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3 x 3 adalah : - Cari determinan dari M - Transpose matriks M sehingga menjadi - Cari adjoin matriks - Gunakan rumus 46
INVERS MATRIX q Contoh Soal : - Cari Determinannya : det(M) = 1(0 -24)-2(0 -20)+3(0 -5) = 1 - Transpose matriks M 47
INVERS MATRIX - Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor matriksnya - Hasilnya : ==> 48 ==>
INVERS MATRIX q Hasil Adjoinnya : q Hasil akhir 49
REFERENSI 1. Discrete Mathematics and its Applications; Kenneth H. Rosen; Mc. Graw Hill; sixth edition; 2007 2. http: //p 4 tkmatematika. org/ 3. http: //www. idomaths. com/id/matriks. php 50
- Heel toe polka dance steps
- Definisi sistem operasi
- Teknik penulisan dan presentasi
- Konsep sistem operasi manajemen operasi
- Konsep, penjadwalan, dan operasi di process sistem operasi
- Suatu kumpulan dari nilai dan operasi-operasi disebut
- Fungsi sistem file
- Contoh akaun hasil
- Operasi matriks penjumlahan
- Matriks identitas
- Factor x^2 - 25
- Cara mengubah matriks menjadi matriks segitiga atas
- Det a matriks
- Bagan arsitektur komputer
- Contoh rangkaian digital
- Pengantar agroindustri
- Silabus pengantar bisnis
- Animasi power point
- Pengantar jaringan komputer
- Silabus pengantar bisnis
- Kata pengantar bahasa arab document
- Op amp circuit analysis
- Teorema norton
- Pengertian pengantar teknologi informasi
- Jenis teori permainan
- Pengantar alat bukti
- Contoh piutang dagang
- Buku pengantar akuntansi 1 adaptasi indonesia edisi 4
- Pengantar surat disebut
- Pengantar multimedia
- Contoh field tenor dan mode
- Ibm asci white adalah contoh
- Materi pengantar aplikasi komputer
- Modul pengantar akuntansi 1
- Soal pengantar teknologi informasi
- Contoh kata pengantar ktsp paud
- Akuntansi pengantar 2
- Kontinum psikologis
- Pengantar aplikasi komputer ppt
- Pengantar struktur data
- Peta konsep fungsi manajemen
- Pengertian distribusi frekuensi
- Obat parasit tubuh manusia
- Silabus pengantar ilmu hukum
- Pengantar ilmu farmasi
- Pengantar teknologi informasi semester 1
- Business management logo
- Lingkungan msdm (mondy 2008)
- Silabus mata kuliah pengantar bisnis
- Pengantar akuntansi 1 berbasis ifrs
- Pengantar analisis rangkaian