BAB 3 MATRIKS 3 1 MATRIKS Definisi Matriks

BAB 3. MATRIKS 3. 1 MATRIKS Definisi: [Matriks] Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk pesegi panjang atau bujursangkar. Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya. Notasi: huruf besar A, B, C, D, … Catatan: Secara umum matriks dapat ditulis sbb. aij = elemen matriks A yg terletak pada baris ke-i, kolom ke-j; i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n m n = ukuran atau ordo matriks A, yaitu Contoh: Tentukan matriks A yang elemennya didefinisikan sebagai berikut: Departemen Matematika IPB 1

Definisi: [Anak matriks] Anak matriks dari matriks A adalah suatu matriks baru yang diperoleh dari matriks A dengan menghilangkan beberapa baris atau kolomnya. Contoh: Tentukan anak matriks dari matriks yang diperoleh dengan : a. menghilangkan baris 2 dan kolom 1. b. menghilangkan baris 1, 3 dan kolom 2. Matriks khusus 1. Matriks segi: Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Catatan: a. Khusus untuk matriks segi, ordo n n, biasa ditulis ordo n. b. Jika A= (aij)n×n maka elemen a 11, a 22, …, ann disebut elemen diagonal utama matriks A. 2. Matriks segitiga atas: Matriks segi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol. 3. Matriks segitiga bawah: Matriks segi yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol. 4. Matriks identitas: Matriks yang semua elemen diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol. Catatan: Matriks identitas berordo n dilambangkan In Departemen Matematika IPB 2

3. 2 OPERASI MATRIKS 3. 2. 1 Penjumlahan dan perkalian skalar Definisi: [Penjumlahan dan perkalian skalar] Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berukuran m n dan Penjumlahan matriks A dan B, ditulis A +B dan perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis k. A, didefinisikan sebagai berikut: Definisikan pula operasi pengurangan sebagai berikut: -A = (-1) A dan A - B = A + -(B) Departemen Matematika IPB 3

Hukum penjumlahan dan perkalian skalar Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama dan k 1, k 2 adalah skalar, maka 1. (A + B) + C = A + (B + C) 2. A + (-A) = O 3. A + B = B + A 4. k 1 (A + B) = k 1 A + k 1 B 5. (k 1 + k 2) A = k 1 A + k 2 A 6. (k 1 k 2) A = k 1 (k 2 A) 7. 0 A = O dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol. 3. 2. 2 Perkalian matriks Definisi: [Perkalian matriks] Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berturut berukuran m p dan p n Perkalian matriks A dan B, ditulis AB, didefinisikan sebagai berikut: Departemen Matematika IPB 4

dengan Hukum perkalian matriks Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sesuai sehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan k adalah skalar, maka 1. Hukum Assosiatif (AB) C = A ( BC) 2. Hukum distributif kiri A (B + C) = AB + AC 3. Hukum distributif kanan (B + C) A = BA + CA 4. k (AB) = (k. A) B Catatan: secara umum AB BA. Departemen Matematika IPB 5

3. 2. 3 Putaran (transpos) suatu matriks Definisi: [Putaran (transpos) suatu matriks] Misalkan A=(aij) adalah matriks berukuran m n. Putaran atau transpos dari matriks A, ditulis AT, adalah matriks berukuran n m yang didefinisikan sebagai berikut: Sifat matriks putaran 1. (A + B)T = AT + BT 2. (AT)T = A 3. (k A)T= k AT , untuk suatu skalar k 4. (AB)T = BT AT Contoh: Diketahui matriks A, B, C dan D sebagai berikut: Tentukan operasi berikut bila terdefinisi, bila tidak, berikan alasannya. a. 3 A + BD b. C + D c. (2 A + B)C d. CTD e. (AC)T f. AAT Departemen Matematika IPB 6

3. 3 OPERASI BARIS DASAR (OBD) Operasi baris dasar 1. Tukarkan baris ke-i dan ke-j Notasi: Eij , i j 2. Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k 0 Notasi: Ei(k) 3. Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j Notasi: Eij(k) Catatan: 1. Serangkaian operasi baris dasar dengan urutan E 1, E 2, …, En yang dikenakan pada matriks A dapat ditulis En … E 2 E 1(A) 2. Jika A matriks berordo m n, maka Eij(A) = Eij(Im) A Ei(k)(A) = Ei(k)(Im) A Eij(k) (A) = Eij(k) (Im) A En … E 2 E 1(A) = En … E 2 E 1(Im) A Contoh: Jika diketahui Tentukan matriks B = E 2(-1) E 13(2) E 12 (A). Departemen Matematika IPB 7

Definisi: [Ekivalen baris] Matriks A dikatakan ekivalen baris dengan matriks B, notasi A B, apabila terdapat serangkaian operasi baris dasar E 1, E 2, …, En, sehingga B = En … E 2 E 1(A). Contoh: Tentukan serangkaian operasi baris dasar terhadap matriks A, sehingga A ekivalen baris dengan matriks segitiga atas dengan elemen diagonal utamanya 1. 3. 4 DETERMINAN MATRIKS SEGI Definisi: [Determinan matriks 2 2] Jika , maka det(A) = a 11 a 22 – a 12 a 21. Definisi: [Determinan matriks n n] Misalkan A= (aij)n n dan Aij adalah anak matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Didefinisikan minor elemen aij , notasi Mij adalah Mij = det(Aij) dan kofaktor elemen aij , notasi αij adalah αij = (-1)i+j Mij. Departemen Matematika IPB 8

Maka Catatan: 1. Perhatikan bahwa tanda kofaktor mengikuti aturan berikut. 2. Determinan matriks A, biasa juga ditulis |A| Contoh: Tentukan determinan matriks berikut. Departemen Matematika IPB 9

Sifat-sifat determinan 1. det(A) = det(AT). 2. Jika dua baris/kolom matriks A saling dipertukarkan sehingga didapat matriks B, maka det(B) = -det(A). Catatan: det(Eij(A)) = -det(A) 3. Jika suatu baris/kolom matriks A digandakan dengan suatu skalar k sehingga didapat matriks B, maka det(B) = k det(A) Catatan: det(Ei(k)(A)) = k det(A) det(k. A) = kn det(A), A matriks n n 4. Jika suatu baris/kolom matriks A ditambah dengan k kali baris/kolom lainnya sehingga didapat matriks B, maka det(B) = det(A). Catatan: det(Eij(k)(A)) = det(A) 5. Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol, maka det(A) = 0. 6. Jika ada baris/kolom matriks A yang merupakan kelipatan dari baris/kolom yang lain, maka det(A) = 0 7. Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. 8. det(AB) = det(A). det(B) Contoh: 1. Diketahui A dan B adalah matriks segi berordo 3. Jika |A|=5 dan |B| = 2, tentukan |ABT| + |2 B|. Departemen Matematika IPB 10

2. Dengan menggunakan operasi baris dasar, ubah matriks A menjadi matriks segitiga atas, kemudian tentukan determinannya. 3. Dengan menggunakan sifat determinan, buktikan bahwa: 4. Tentukan |A|, jika diketahui 3. 5 PANGKAT MATRIKS Definisi: [Pangkat matriks] Misalkan A matriks berordo m n. Pangkat atau rank matriks A didefinisikan sebagai ordo terbesar anak matriks A yang determinannya tidak nol. Notasi: p(A) (dibaca: pangkat matriks A) Departemen Matematika IPB 11

Contoh: Tentukan pangkat matriks berikut. Teorema: [Menentukan pangkat matriks] Pangkat matriks hasil serangkaian operasi baris dasar sama dengan pangkat matriks asal. Catatan: Jika A B, maka p(A) = p(B). Contoh: Dengan menggunakan operasi baris dasar, tentukan pangkat matriks berikut. 3. 6 MATRIKS INVERS Definisi: [Matriks invers] Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan matriks taksingular atau mempunyai invers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = In. Matriks B disebut invers matriks A. Notasi: B = A-1 (dibaca: invers matriks A) Departemen Matematika IPB 12

Sifat-sifat matriks invers 1. Invers suatu matriks taksingular bersifat tunggal. 2. Jika matriks A dan B adalah matriks taksingular, maka a. (A-1)-1 = A b. (AB)-1 = B-1 A-1 c. (AT)-1 = (A-1)T Menentukan invers matriks 1. Metode Matriks Adjoint Metode Penghapusan ● Teorema: [Metode matriks adjoint] Misalkan A = (aij) adalah matriks segi berordo n. Jika det(A) 0 dan matriks C = (αij), dengan αij adalah kofaktor elemen aij , maka invers matriks A adalah CT disebut matriks adjoint dari matriks A. ● Contoh: Dengan menggunakan metode matriks adjoint tentukan invers matriks berikut. Departemen Matematika IPB 13

2. Metode Penghapusan ● Konsep dasar: 1. Jika A In , maka terdapat serangkaian operasi baris dasar sehingga `` 2. Berdasarkan sifat operasi baris dasar 3. Misalkan dan PA = In. , maka In P 4. Dari 2 dan 3, A In dan In P, dengan operasi baris dasar yang sama, sehingga dapat ditulis sekaligus (A|In) (In|P) 5. Berdasarkan sifat invers matriks ● Prosedur menentukan invers matriks A: 1. Tuliskan matriks yang diperbesar (A|In). 2. Lakukan serangkaian operasi baris dasar pada matriks (A|In) sehingga bagian kiri matriks tersebut berubah menjadi In , yaitu (In|P). 3. Tuliskan A-1 = P. Departemen Matematika IPB 14

● Contoh: Dengan menggunakan metode penghapusan tentukan invers matriks berikut. 3. 7 LATIHAN 1. Jika A, B dan C adalah matriks segi berordo 2, serta tentukan matriks C. 3. Buktikan det(A-1) = 1/det(A). 4. Misalkan A adalah matriks segi berordo 4 dan det(A) = -6 serta B = E 3(2)E 21(3)E 41(A). Dengan menggunakan sifat-sifat determinan tentukan: a. det(B) b. det((AB)-1). 5. Jika diketahui Tentukan matriks A menggunakan metode matriks adjoint dan metode penghapusan. Departemen Matematika IPB 15