Miten didaktinen tutkimus auttaa opettajaa Matemaattisen ajattelun kehittyminen

"Miten didaktinen tutkimus auttaa opettajaa? " Matemaattisen ajattelun kehittyminen ja sen edistäminen Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena Joensuu 2010

Sisältö • Esimerkkejä – peruskoulun ala- tai yliaste • Miten matematiikka ja matemaattinen ajattelu ovat kehittyneet? • Matematiikan olemus ja heurististen menetelmien kehittyminen eri aikakausina eri maailmankolkissa • Implikaatiot matematiikan opetukseen ja oppimateriaaleihin • Lisäesimerkkejä Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Taittamisongelma 1. Ota A 4 -paperi. Taita 1 kerta ja leikkaa nurkat pois. 2. Miltä paperi nyt näyttää? Millaisia rakenteita liität tilanteeseen? 3. Taita paperi uudelleen toisessa suunnassa ja palaa vaiheeseen 2. Löytääksesi rakenteen, toista niin monesti, kuin haluat tai voit. Joensuun Yliopisto 2010 1. Taitto ja leikkaus 2. Taitto ja leikkaus 3. Taitto ja leikkaus 4. Taitto ja leikkaus Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Mitä koululaiset voivat oppia tästä? • Laskea (esim. reikkot) • Konstruoida (kaavat, pötäliinat) • Keksiä käsiteet ja sen kehittäminen (esim. mitä on reikko? ) • Keksiä Kehittäminen hypoteesia • Testata hypoteesia • Perustella hypoteesi • Kehitäminen kuvitella-kykyjen • Liitä yhtässä (ja vaihta välissä: heuristiika) geomeetrinen ja luvun kuvitella-kyky Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Lumiauraongelma B 28 12 A D 24 26 M 13 C 23 29 14 I 36 21 33 F 25 30 Joensuun Yliopisto 2010 20 G L K E 31 H J Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Lumiauraongelma Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Lumiauraongelma • finding of conjectures/hpotheses • testing/prooving/refuting of conjectures • applying mathematics (creating models: graphtheory) • Finding/creating new concepts Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Lasittaja ongelma

Kävely numerotalon läpi Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Mahdollisia kysymyksiä • Montako tietä voit löytää? • Kuinka monen huoneen läpi voit kulkea mainitulla tavalla? • Laske yhteen numerot, joiden läpi kuljit. Mikä on suurin ja pienin summa? • Voitko saada tulokseksi kaikki summat näiden välillä? • Voitko päätyä samaan summaan useata eri reittiä? • Miten voisit muunnella ongelmaa? Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Kuinka voimme oppia enemmän matemaattisesta ajattelusta? • Tutkimalla empiirisesti oppilaiden (noviisien ja eksperttien) ongelmanratkaisuoprosesseja ja hyödyntämällä uusimman aivotutkimuksen tuloksia • Analysoimalla matematiikan historiaa voi oppia ajattelumenetelmistä (heuristiikoista), jotka ovat olleet menestyksellisiä pitkän ajan kuluessa. Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Tärkeät ajattelumenetelmät aksiomatiikk a historiassa matematiikan todistaa heuristiika t järjestää riitit, uskonto, perustella keksiä pelit uskomukset, esteettiset arvot leikkiä arvioida laskeminen, Joensuun Yliopisto algoritmit konstruoida 2010 soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann arkkitehtuuri geometria Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Mitä heuristiikat ovat? • Hypoteesien keksimismenetelmät • Todistusten keksimismenetelmät • Matematiikan (uudelleen)keksimismenetelmät Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Matematiikan kehys eri ajanjaksoina ja eri maantieteellisillä alueilla järjestää 1 = ihan tärkeä 0. 75 = tärkeä 1 perustella 0. 5 = vähän tärkeä keksiä 0. 5 0. 25 = ei liian tärkeä 0 = ei tärkeä arvioida 0 laskea Joensuun Yliopisto 2010 pelata ja leikkiä konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Kivikausi (noin 20000 e. Kr. ) Ishangoluu 20000 e. Kr. Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Kivikausi (noin 20000 e. Kr. ) järjestää 1 perustella 0. 5 arvioida keksiä esitysmuotojen muuntel (super)symbolit leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 heuristiikka konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Stonehenge (noin 3000 e. Kr. ) Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Stonehenge heuristikkat esitysmuotojen muuntelu (super)symbolit (noin 3000 e. Kr. ) järjestää 1 perustella keksiä 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Mesopotamia (noin 3000 - 0 e. Kr. ) Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Mesopotamia heuristiikat esitysmuotojen muuntelu (n. 3000 - 0 e. Kr. ) (super)symbolit peräkkäinen approksimaatio (false position) perustella järjestää 1 keksiä 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Neljännen yhtälö Mesopotamiassa (n. 2000 e. K. ) • “The surface and my confrontation I have accumulated: 0; 45 is it. • 1, the projection, you posit. • The moiety of 1 you break, 0; 30 and 0; 30 you make hold. • 0; 15 you append to 0; 45 : by 1, 1 is equalsided. • 0; 30, which you may have made hold, in the side of 1 your tear out: 0; 30 the confrontation. ” Cf. Jens Høyrup 2002 Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Quadratic equations in Mesopotamia • „The surface and my confrontation I have accumulated: 0; 45 is it. • 1, the projection, you posit. • The moiety of 1 you break, 0; 30 and 0; 30 you make hold. • 0; 15 you append to 0; 45 : by 1, 1 is equalsided. • 0; 30, which you may have made hold, in the side of 1 your tear out: 0; 30 the confrontation. “ Joensuun Yliopisto 2010 = 0; 45 + x*x x 0; 30 Prof. Dr. Bernd Zimmermann x*1 1 0; 30 x 0; 15 0; 30 = 0; 45+0; 15=1 =(x+0; 30)2 therefore x+0; 30=1 X=1 -0; 30=0; 30 Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Mesopotamia Vanhin arpakuutio: • toisen vuosituhannen alku e. Kr. Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Urilainen lautapeli n. 2500 e. Kr. Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

„kuutio“, jota käyettiin : Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Egypti (n. 2500 - 500 e. Kr. ) Papyrus Rhind 1750 e. Kr. Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Egypti heuristiikat (n. 2500 - 500 e. Kr. ) esitysmuotojen muuntelu (super)symbolit järjestää 1 perustella 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 keksiä peräkkäinen approksimaatio (false position) konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Peräkkäinen approksimaatio Egyptissä “Joukko ja sen neljäsosa on yhteensä 15“ (nykyaikainen esitystapa: x+x/4=15) (Papyrus Rhind Nr. 26) • Kokeillaan luvulla 4: 4+4/4=5≠ 15; tulos on väärä, mutta voimme korjata: • Koska: 3· 5=15; nyt näemme mitä pitää korjata: • Siis ratkaisun täytyy olla 3· 4=12 • Tarkistus: 12+12/4=12+3=15 Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Kiina heuristiikat (n. 1000 e. Kr. - 1500 j. Kr. ) esitysmuotojen muuntelu (super)symbolit peräkkäinen approksimaatio. (false position) perustella järjestää 1 keksiä 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

China: Chiu chang suan chu Insert here Worddocument Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Intia heuristiikat (n. 3000 e. Kr. - 1500 j. Kr. ) esitysmuotojen muuntelu (super)symbolit peräkkäinen approksimaatioi. (false position) perustella järjestää 1 keksiä 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Intia heuristiikat esitysmuotojen muuntelu (n. 3000 e. Kr. - 1500 AD) (super)symbolit peräkkäinen approksimaatioi. (false position) perustella järjestää 1 keksiä 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Antiikin Kreikka esitysmuotojen muuntelu(n. 600 e. Kr. - 500 j. Kr. ) heuristiikat (super)symbolit peräkkäinen approksimaatio (false position) perustella Analyysi Analogiat Atomistiset menetelmät järjestää 1 keksiä 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Euklideen aika (n. 325 -265 e. Kr. ) Elementa I, teoreema 47 Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Arkimedes (n. 460 - 370 e. Kr. ) „Menetelmistä“ Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

”Helmisauvoilla“ pelaaminen Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

heuristiikat esitysmuotojen muuntelu (super)symbolit peräkkäinen approksimaatio (false position) perustella Analyysi Analogiat Atomistiset mentelmät „Arabialainen (islamilainen)“ matematiikka (n. 750 - 1400 j. Kr. ) järjestää 1 keksiä 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Heuristiikat islamilaisissa todistuksissa Sinanin (n. 950 j. Kr. ) oppikirja analyysistä ja synteesistä Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Al Sijzisin (n. 980 j. Kr. ) kokoelma ongelmakenttiä Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Eurooppalainen keskiaika (n. 700 - 1500 j. Kr. ) arvioida Cusanus (Nicolaus von Kues; 1401 -1464 j. Kr. ) Kardinaali ja matemaatikko Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Eurooppalainen keskiaika (n. 700 - 1500 j. Kr. ) arvioida Michael Stiefel (1487 – 1567) predicted end of the world Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

heuristiikat Eurooppalainen keskiaika esitysmuotojen muuntelu (super)symbolit peräkkäinen approksimaatio. (false postion) perustella Analyysi Analogiat Atomistiset mentelmät (n. 700 - 1500 j. Kr. ) järjestää 1 keksiä 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Renesanssi ja sen jälkeinen aika heuristikka esitysmuotojen muuntelu (n. 1500 - 1800 j. Kr. ) (super)symbolit peräkkäinen approksimaatio (false position) perustella Analyysi Analogiat Atomistiset menetelmät järjestää 1 keksiä 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

(1646 – 1716) characteristica universalis Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Uskonto ja matematiikka Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Todennäköisyyslaskennan ”Elementit” Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

heuristiikat esitysmuotojen muuntelu (super)symbolit peräkkäinen approksimaatio (false position) perustella Analyysi Analogiat Atomistiset menetelmät abstrahoida „Matematiikan perustaminen“ (n. 1800 - 1970 j. Kr. ) järjestää 1 keksiä 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Nykyaikainen heuristikkat esitysmuotojen muuntelu matematiikka (n. 1970 - ) (super)symbolit peräkkäinen approksimaatio (false position) perustella Analyysi Analogiat Atomistiset menetelmät abstrahoida järjestää 1 keksiä 0. 5 arvioida leikkiä laskea Joensuun Yliopisto 2010 konstruoida soveltaa Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Murtolukujen vaikeus „ Saksan idänkauppa nousi tänä vuonna merkittävästi. Asiantuntijoiden ennusteiden mukaan se nousee kymmenesosaan Saksan koko viennistä, oltuaan siitä useiden vuosien ajan vain viidesosan. ” (suora lainaus arvovaltaisesta lehdestä Süddeutsche Zeitung) Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Empiirinen tutkimus ennen ja jälkeen murtolukujen opettamista 1. Väritä oheisesta kuviosta ensin puolet ja sitten värittämästäsi alueesta kolmannes. Millaisen osan koko kuviosta olet kaikkiaan värittänyt? 2. 3. Seitsemän omenaa jaetaan neljälle lapselle. Kuinka monta kukin saa? Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Annetaan oppilaiden yleistää! Aseta seuraavat luvut suuruusjärjestykseen: lähempänä ykköstä kuin Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Murtoluvuilla jakaminen : „Osoittajat jaetaan keskenään ja nimittäjät jaetaan keskenään“ Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Kakkuongelma (TIMSS Japan) Sinulla on 21 Euroa ja haluat ostaa kahdenlaista kakkua kymmenelle synttärivieraalle, kullekin yhden palan. Halvempi maksaa 2 Euroa palalta, kalliimpi 2, 3 Euro palalta. Haluat ostaa kallista niin paljon kuin voit. Montako palaa voit osaat sitä? Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Aki (8. luokka): kallista kpl hinta 10 23 9 20, 70. . . 4 9, 20 3 6, 90 halapaa kpl hinta 0 0 1 2. . 6 12 7 14 Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann yht. 23 22, 70. . 21, 20 20, 90 Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Dieter (8. luokka): • x 2, 30 + (10 – x) 2 21 • x 0, 30 1 • x=3 Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Clara (4. luokka): • „Ensin 10 halapaa ‚ostamaan‘. • Sitten jää vielä 1 euro yli. • Vaihd. 1 kalliimpaan, maks. 30 senttiä enemmän • Tämä sopii yhteen euroon 3 kertaa, 4 kertaa on jo liian paljon. • Siis: vaihdetaan 3 palaa kalliimpaan ja olen valamis!” Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Gaussin ongelma: 100 Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann 101 Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Oppikirjasarja joka perustuu edelläesitettyyn ajattelutapaan Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Ongelmakeskeisen matematiikanopetuksen tunnusmerkkejä • • • Motivoi antamalla menestykokemuksia. Positiivinen asenne matematiikkaa kohtaan. Edistä keksivää oppimista. Mahdollisuudet tehdä hypoteeseja ja keskustella niistä kriittisesti, mukaan lukien päättely ja todistaminen. Avoimet ongelmakentät. Kokemukset heuristiikoista. Edistä asioiden ja ajattelun linkittymistä (connections) Mahdollisuudet laadulliseen ja määrälliseen eriyttämiseen. Edistä kommunkaatiota ja keskinäistä oppimista. Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Tärkeistä heuristiikoista ja niiden oppimisesta • • Epämuodolliset ratkaisumenetelmät Esitysmuotojen muuntaminen Analyysi ja synteesi Analogiat Atomistiset menetelmät Varioiminen ja yleistäminen Abstraktiin muotoon saattaminen Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Epämuodolliset ratkaisumenetelmät • kakkuongelma (TIMSS/Japan) • „Peräkkäinen approksimaatio“ (Egypti; pata ja kansi -ongelma) Opetuksessa tärkeää ! Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Esitysmuotojen muunteleminen • Kakkuongelma • Murtolukuesimerkki 1 • Numeroiden järjesteleminen ja funktioiden esitystavat; tulitikkuongelmat • Kvadraattiset yhtälöt (Mesopotamia) • Klassinen Pythagoras (yhdenmuotoisuus) • Kiinalainen nuoliongelma Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena

Filosofian historiasta Kuulen ja unohdan Näen ja muistan Teen ja ymmärrän! Konfuzius, (551 - 479 e. Kr. ) Joensuun Yliopisto 2010 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Yliopisto Jena