Geometria projetiva e suas aplicaes em viso Marcelo

Geometria projetiva e suas aplicações em visão Marcelo Gattass Departamento de Informática PUC-Rio

Sumário �Parte I: �Linhas e pontos �Transformações �Cônicas

Retas y reta = 0 x

Representação homogênea de retas y 0 x representam a mesma reta

Ponto y y 0 x x

Representação homogênea de pontos y y 0 x x

Graus de liberdade (dof) das retas y 1 m n 0 2 d. o. f. x

Pontos a partir de linhas interseção

Exemplo

Linhas a partir de pontos

Exemplo

Pontos e linhas no infinito Interseção de linhas paralelas: ponto ideal (no ∞) 12

Linha do horizonte

Representação do P 2 x 3 y x x 3=1 x 1 ponto ideal x 2

Princípio da dualidade no P 2 Para qualquer teorema de geometria projetiva no P 2 existe um teorema dual que pode ser derivado dele trocando os pontos por linhas e vice-versa. 15

Transformação projetiva Definição: Uma projetiva (projectivity) é um mapeamento inversível h(x) de P 2 em si mesmo, tal que três pontos x 1, x 2, x 3 estão numa mesma linha se e somente se h(x 1), h(x 2), h(x 3) também estão. Teorema: Um mapeamento h: P 2 é projetivo se e somente se existe uma matriz não singular 3 x 3 H para todo ponto x do P 2 é verdade que h(x)=Hx Definição: Transformação projetiva ou 8 DOF projetiva, colinerização, transformação projetiva, homografia

Mapeamento entre planos x 1 ’ x x’ x 2 x 3 y y’ x x’ Projeção central

Remoção de distorção Selecione quatro pontos conhecidos (linear em hij) (2 equações/ponto, 8 DOF 4 são nescessários) Obs. : não é uma calibração, existem maneiras melhores (a seguir)

Mais exemplos

Tranformações de linhas e pontos Transformação de linhas

Resumo: Dada uma transformação projetiva de pontos As linhas se transformam em: As cônicas em (a ser visto): As cônicas duais (a ser visto):

Uma hierarquia de transformações Grupo projetiva linear Grupo afim (última linha(0, 0, 1)) Grupo Euclideano (sup esq 2 x 2 ortogonal) Grupo Euclideano orientdo (sup esq 2 x 2 det 1) Alternativa, caracterizar transformações em termos dos elementos ou quantidades preservadas ou invariantes e. x. Transformações Euclideanas preservam distancias

Classe I: Isometrias (iso=mesma, metric=medida) mesma orientação: invertem a orientação: 3 DOF (1 rotação, 2 translações) casos especiais: rotação pura, translação pura Invariantes: comprimento, ângulo, área

Classe II: Similaridades (isometria + escala) 4 DOFs (1 escala, 1 rotação, 2 translações) também conhecidas como equi-form (preservam forma) estrutura métrica = estrutura a menos de escala (literatura) Invariantes: razão de comprimentos, ângulos, razão de áreas, linhas paralelas

Classe III: Transformações Afim onde 6 DOF (2 escala, 2 rotações, 2 translações) escala anisotrópic! (2 DOF: razão de escala e orientação) Invariantes: linhas paralelas, razão de segmentos paralelos, razão de áreas

Transformada afim e projetiva da linha no infinito Linha no infinito permance lá mas pontos se movem. Linha no infinito se torna finita e podemos observar pontos de fuga, horizontes.

Classe VI: Transformação projetiva 8 DOF (2 escalas, 2 rotação, 2 translação, 2 linhas no infinito) Invariantes: razão-cruzadas de quatro pointos numa linha (razão de razão)

Decomposição da transformação projectiva decomposição única (se s>0) Exemplo: triangular superior,

Resumo das transformações projetivas no P 2 Euclideana 3 dof comprimentos, areas. Similaridade 4 dof Razão de comprimentos, angulos. Os pontos circulares I, J Afim 6 dof Paralelismo, razão de areas, razão de comprimentos em linhas paralelas, combinação linear de vetores, A linha no infinito l∞ Projetiva 8 dof Concorrencia, colinearidade, contato (interseção, tangencia, inflecção, etc. ), razão cruzada (cross ratio)

l∞ sob transformada afim A linha l é invariante sob uma transformação H se e somente se H é uma transformação afim. Preserva: paralelismo, razão de areas, . . . Nota: não ponto a ponto!

Retificação com 2 ptos de fuga l 3 l 4

Retificação 2 l 3 l 4 Para x l∞

A retificação e o modelo original projeção retificação

Cônicas Curve descrita por uma equação do 2 o- grau no plano círculo ou elípse parábola hiperbole 34

Cônicas ou em coordenas homogêneas em forma matricial e 5 DOF: 35

5 ou mais pontos definem uma cônica Ponto i pertence a cônica: ou ou 36

Linhas tangentes a uma cônica x l C 37

Cônica de pontos e cônica dual cônica de pontos cônica de linhas Cônica dual = cônica de linhas = envelope de cônicas 38

Exemplo: cônica no meio de campo

Exemplo: tangentes no meio de campo

Cônica degeneradas posto 2:

Geometria projetiva em 1 D coordenada ponto ideal 3 DOF (2 x 2 -1)

Razão cruzada (cross ratio) Invariante sob transformações projetivas

Razão cruzada �O valor da razão cruzada não varia com a escolha das coordenada homogênea. Ela afeta ao mesmo tempo o numerador e o denominador. �Se as coordenadas homogêneas forem iguais a um, os determinantes são as distâncias. �A definição da razão cruzada é válida mesmo que um dos pontos seja ideal (no ∞).

Ponto de fuga a partir de 3 ptos d' a' b' c'

Ponto de fuga a partir de 3 ptos d' a' b' c'

Construção gráfica do ponto de fuga d' a b' a' b c' c

Ponto de fuga a partir de 3 ptos (caso geral)

Pontos circulares do plano l∞ Codificam algebriamente 2 direções:

Classificação afim das cônicas elipse parábola hiperbole Elipses e círculos não se distinguem na geometria afim!

Interseção de duas elipses 4 pontos 2 pontos?

Invariância de pontos circulares do plano Os pontos circulares planos I, J são invariantes sob um transformação H H é uma similaridade Também chamados de Pontos Absolutos.

Cônica dual aos pontos circulares do plano A cônica dual é invariantes sob uma transformação H H é uma similaridade Note: tem 4 DOF (simétrica e det |C*∞ |=0) l∞ é o vetor do núcleo de C*∞

ngulos Euclideana: Projectiva: (ortogonais)

Razão cruzada de ângulos

Medições na imagem Transformada de retificação a partir da SVD

Medições em transformadas afim

Medições em projeções

Relação polar A linha polar l=Cx do ponto x em relação a cônica C intersepta a cônica em dois pontos. As duas linhas tangentes a C nestes pontos se interseptam em x.

Correlações e pontos conjugados Uma correlação é um mapeamento inversível de pontos do P 2 para linhas do P 2. É representado por uma matriz A 3 x 3 não singular tal que l=Ax Pontos conjugados em relação a C (um é o polar do outro) Pontos conjugados em relação C* (através do polo do outro)

Classificação da cônica prjetiva Diagonal Equação Tipo de cônica (1, 1, 1) Imprópria (1, 1, -1) Círculo (1, 1, 0) Um ponto (1, -1, 0) Duas linhas (1, 0, 0) Linha simples

Geometria projetiva em 3 D, 3 P �Pontos, linhas planos e quádricas �Transformações �П∞, ω∞ e Ω ∞ 62

Pontos 3 D in R 3 in P 3 transformação projetiva (4 x 4 -1=15 d. o. f. ) 63

Planos Transformação Representação euclidiana Dualidade: pontos ↔ planos, linhas ↔ linhas 64

Plano a partir de 3 pontos Encontre n≠ 0 no núcleo de Ou pela coplanariedade: 65

Linhas Span of WT is pencil of points: Span of W* is pencil of planes: (4 dof: 2 for each point on the planes) Example: X-axis 66

Quadráticas e quadráticas duais (Q : 4 x 4 matriz simétrica) 1. 2. 3. 4. 5. 9 d. o. f. em geral 9 pontos definem uma quadratica det Q=0 ↔ quadrica degenerada (plano ∩ quadratica)=cônica transformações 1. relação a quadrica 2. transformação (não-degenerada) 67

Quadric classification Rank Sign. Diagonal Equation 4 4 (1, 1, 1, 1) X 2+ Y 2+ Z 2+1=0 2 (1, 1, 1, -1) X 2+ Y 2+ Z 2=1 Sphere 0 (1, 1, -1) X 2+ Y 2= Z 2+1 Hyperboloid (1 S) 3 (1, 1, 1, 0) X 2+ Y 2+ Z 2=0 Single point 1 (1, 1, -1, 0) X 2 + Y 2 = Z 2 Cone 2 (1, 1, 0, 0) X 2 + Y 2 = 0 Single line 0 (1, -1, 0, 0) X 2 = Y 2 Two planes 1 (1, 0, 0, 0) X 2=0 Single plane 3 2 1 Realization No real points 68

Classificação das quátricas: Quando projetadas no R 3 equivalem a: esfera elipsoide paraboloide Quadraticas regradas: hiperboloide de duas folhas hyperboloide de uma folha Quadraticas degeneradas (regradas): cone dois planos 69

Hierarquia das transformações: Projetiva 15 dof Interseção e tangência Afim 12 dof Paralelismo de planos, Razão de volumes, centroides, O plane no infinito π∞ Similaridade 7 dof A cônica absoluta Ω∞ Euclideana 6 dof Volume 70

Plano no infinito O plano no infinito π é invariante a uma transformação H H é uma transformação afim 1. 2. 3. 4. posição canônica contain as direções dois planos são paralelos linha de interseção é o π∞ linha // linha (ou plano) ponto de interseção em π∞ 71

A cônica absoluta ∞ A cônica absoluta Ω∞ é uma cônica (de pontos) em π que satisfaz: ou em direções (não tem pontos próprios):

A cônica absoluta (propriedades) A cônica absoluta Ω∞ é invariante sob uma transformação projetiva H H é uma similaridade 1. Ω∞ is only fixed as a set 2. Circles intersect Ω∞ in two points 3. Spheres intersect π∞ in Ω∞ 73

Conjugado em relação a ∞ Dado um plano no infinito e a cônica absoluta Euclidiana: Projetiva: (conjugado~ortogonal) normal plano 74

A quadratica absoluta dual The absolute conic Ω*∞ is a fixed conic under the projective transformation H iff H is a similarity 1. 8 dof 2. plane at infinity π∞ is the nullvector of Ω∞ 3. Angles: 75

Câmera zc xc yc Pc T zw xw Pw yw

Pontos do campo Y Z X

Círculo Y Z imagem do círculo X