APLICAES DE FT Prof Marcelo de Oliveira Rosa

APLICAÇÕES DE FT Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Aplicações de FT Resposta em freqüência Analisar o comportamento de um sistema no domínio da freqüência Convolução no tempo Modulação em freqüência Propriedades usadas Comutação/cascata Distribuição/paralelismo

Aplicações de FT Resposta em freqüência Filtros Conseqüência natural da convolução temporal Modulação espectral Conceitualmente Dispositivo que amplifica a potência de algumas faixas de freqüência e atenua a potência de outras faixas de freqüência para um sinal de entrada

Aplicações de FT Filtros Classificação padrão Passa-baixas (low-pass) Passa-altas (high-pass) Passa-bandas (band-pass) Rejeita-bandas (band-stop) Outros Passa-tudo (all-pass) Notch (notch) Equalizador (equalizer)

Aplicações de FT Filtros ideais Elementos de um filtro Banda passante Banda de rejeição Filtro ideal Componentes da banda passante não sofrem distorção |H(jΩ)| = 1 na banda passante <H(jΩ) = –Ω t 0 Fase linear

Aplicações de FT Filtros ideais Filtros Com passa-baixa (LP) e passa-alta (HP) fase linear Ωc Ωc

Aplicações de FT Filtros ideais Filtros Com passa-banda e rejeita banda fase linear ΩL ΩH

Aplicações de FT Filtros ideais O mais desejado Fase zero Não causal Segundo mais desejado Fase linear Segundo mais desejado Não causal Pode ser aproximado por truncamento Filtro ideal = filtro irrealizável

Aplicações de FT Filtros ideais Resposta Fase ao impulso h(t) zero e fase linear

Aplicações de FT Filtros ideais Resposta Fase ao impulso h(t) zero e fase linear

Aplicações de FT Filtros Passa-baixa (LP) Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal até Ωc e elimina as demais componentes Exemplo de primeira ordem x(t) + – ∫ Ωc Ωc y(t)

Aplicações de FT Filtros Passa-alta (HP) Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal acima de Ωc e elimina as demais componentes Exemplo de primeira ordem x(t) + y(t) – ∫ Ωc

Aplicações de FT Filtros Passa-banda Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal entre Ωca e Ωcb , e elimina as demais componentes Exemplo x(t) + de combinando HP LP + – – ∫ Ωca > Ωcb ∫ Ωcb y(t)

Aplicações de FT Filtros Rejeita-banda Elimina as componentes espectrais (sem distorção) do sinal entre Ωca e Ωcb , e mantém as demais Exemplo de combinando HP e LP em paralelo + – Ωc ∫ x(t) + + – ∫ Ωc Ωc y(t)

Aplicações de FT Filtros Passa-baixa (LP)

Aplicações de FT Filtros Passa-alta (HP)

Aplicações de FT Filtros Passa-banda

Aplicações de FT Filtros Rejeita-banda

Aplicações de FT Filtros Equalizador via Biquadrática A equalização compreende a manipulação diversos blocos de freqüência em um intervalo total específico. Manipulação atenuação ou amplificação Seleção dos blocos seletividade dos filtro

Aplicações de FT Filtros Equalizador A via Biquadrática função biquadrática possui dois parâmetros Ω 0 e β Amplifica/atenua um conjunto de componentes espectrais ao redor de Ω 0 β controla a largura de banda e a amplificação/atenuação

Aplicações de FT Filtros Equalizador via Biquadrática

Aplicações de FT Filtros Equalizador via Biquadrática

Aplicações de FT Filtros Equalizador Ω via Biquadrática em escala log e linear

Aplicações de FT Filtros Equalizador via Biquadrática Q-constante Q = F 0 / ΔF = Ω 0 / ΔΩ No caso, aumentando-se Ω 0, aumenta-se ΔΩ Notações F 0 freqüência central ΔΩ largura de banda

Aplicações de FT Filtros Largura de banda Bandwidth (BW) Modo para representar um intervalo de freqüências Restringe-se a freqüências positivas Razões históricas

Aplicações de FT Filtros Largura de banda Tipos: Largura de banda absoluta Intervalo de freqüências com magnitude não-nula Largura de banda nula Intervalo de freqüências com magnitude não-nula máximo Largura de banda em meia potência Intervalo de freqüências com magnitude superior a metade da potência máxima

Aplicações de FT Filtros reais teóricos Filtro passa-baixa realizável

Aplicações de FT Filtros reais teóricos Filtro passa-alta realizável

Aplicações de FT Filtros reais teóricos Filtro passa-banda realizável

Aplicações de FT Filtros reais teóricos Filtro rejeita-banda realizável

Aplicações de FT Exemplos Usando componentes RLC Usando componentes mecânicos

Aplicações de FT Diagrama de Bode Considere Qual os seguintes filtros a sua resposta em freqüência?

Aplicações de FT Diagrama de Bode Resposta em freqüência obtida

Aplicações de FT Diagrama de Bode Resposta em freqüência obtida

Aplicações de FT Diagrama de Bode Resposta em freqüência obtida Sistemas distintos podem apresentar similaridade gráfica em suas respostas em freqüência Alterando escala (Linear logarítmica) Melhorar distinção entre sistemas Análise rápida de sistemas Diagrama de Bode

Aplicações de FT Diagrama de Bode Decibel (d. B) Razão entre potências de sinais Um dos sinais serve de referência Psinal potência de um sinal qualquer Preferência potência de referência Se não conhecida, assumimos Preferência = 1

Aplicações de FT Diagrama de Bode Decibel (d. B) Psinal = 2 Preferência Pd. B = +3 d. B Psinal = 0, 5 Preferência Pd. B = -3 d. B Psinal = 10 Preferência Pd. B = +10 d. B Psinal = 0, 1 Preferência Pd. B = – 10 d. B Psinal = 100 Preferência Pd. B = +20 d. B Psinal = 0, 01 Preferência Pd. B = – 20 d. B

Aplicações de FT Diagrama de Bode Oitava Freqüência atual = 2 Freqüência de referência Década Freqüência atual = 10 Freqüência de referência

Aplicações de FT Diagrama de Bode Do teorema de Parseval Então, a magnitude de X(jΩ) em d. B é

Aplicações de FT Diagrama de Bode Como utilizar em sistemas contínuos? Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Aplicações de FT Diagrama de Bode Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes Após a aplicação da FT zl zeros de H(jΩ) pk pólos de H(jΩ)

Aplicações de FT Diagrama de Bode Análise Pólo de H(jΩ) = (1 – jΩ/pk)-1 real negativo único (sem repetição)

Aplicações de FT Diagrama de Bode Análise Pólo de H(jΩ) = (1 – jΩ/pk)-1 real positivo único (sem repetição) – se existisse

Aplicações de FT Diagrama de Bode Análise Zero de H(jΩ) = (1 – jΩ/zl) real negativo único (sem repetição)

Aplicações de FT Diagrama de Bode Análise Zero de H(jΩ) = (1 – jΩ/zl) real positivo único (sem repetição)

Aplicações de FT Diagrama de Bode Características: Pólo e Zero definem freqüência de quebra Curva de magnitude Encontro de duas assíntotas na freqüência de quebra Uma das assíntotas possui inclinações (“roll-off”) ± 6 d. B/oitava ± 20 d. B/década Curva de fase Assíntota passa por ±π/4 em freqüência de quebra

Aplicações de FT Diagrama de Bode Diferenciador Zero e Integrador e Pólo em jΩ = 1 rad/s

Aplicações de FT Diagrama de Bode Ganho H(jΩ) = +A Magnitude A Fase zero H(jΩ) constante (em freqüência) = –A Magnitude A Fase +π (ou –π)

Aplicações de FT Diagrama de Bode Pares p 1 complexos de pólos e p 1*, naturalmente conjugados complexos

Aplicações de FT Diagrama de Bode Pares z 1 complexos de zeros e z 1*, naturalmente conjugados complexos

Aplicações de FT Diagrama de Bode Pares complexos de pólos e zeros Transformação em ζ e ωn “Overshoot” Amortecimento e tempo de decaimento

Aplicações de FT Exemplos

Aplicações de FT Exemplos Usando amplificadores operacionais

Aplicações de FT Exemplos Sistemas de comunicação Processo para transmissão de múltiplos sinais de banda base em vários canais de comunicação Sinal de banda base Ineficiência para transmissão direta Comunicação Caminhos distintos para sinais distintos

Aplicações de FT Exemplos Sistemas de comunicação Modulação DSB-SC y(t) = x(t) cos(Ωp t) y(t) sinal modulado Mensagem ou sinal banda-base cos(Ωp t) sinal cuja envoltória carrega a mensagem x(t) sinal a ser transmitido Ωp freqüência da portadora Ωp > 2 maior freqüência com amplitude não nula

Aplicações de FT Exemplos Sistemas de comunicação Modulação DSB-SC Aplicando a TF, temos Modulação no tempo convolução na freqüência

Aplicações de FT Exemplos Sistemas de comunicação Modulação DSB-SC

Aplicações de FT Exemplos Sistemas de comunicação – Modulação Demodulação DSB-SC x’(t) = [y(t) cos(Ωp t)] * [filtro passa-baixa] x’(t) sinal reconstruído x’(t) = m(t) Largura de banda de m(t) deve ser restrita Permitir que o filtro passa-baixa isole a mensagem desejada. Sinal da portadora não é transmitido

Aplicações de FT Exemplos Sistemas de comunicação Demodulação DSB-SC

Aplicações de FT Exemplos Sistemas de comunicação Modulação DSB-TC Transmissão de informação relativa à portadora Permite o uso de circuitos detectores de envoltória m/K < 1

Aplicações de FT Exemplos Amostragem Corresponde por Impulso a um trem de impulsos isolando amostras de x(t) a cada k. Ts segundos.

Aplicações de FT Exemplos Amostragem Sua por Impulso FT é a repetição de réplicas de X(Ω) a intervalos de Ωs radianos/seg.

Aplicações de FT Exemplo Amostragem Teorema por Impulso da amostragem (Teorema de Nyquist) Para que haja reconstrução correta do sinal original com freqüência máxima com amplitude não-nula Ωm (= 2π fm), a amostragem deve ser de no mínimo Ωs (= 2π fs) igual a 2 Ωm (ou 2 fm)

Aplicações de FT Exemplo Amostragem por Impulso Aliasing Espalhamento de informações de alta-freqüência sobre informações de baixa-freqüência devido a problemas de amostragem

Aplicações de FT Exemplos Amostragem por Impulso A reconstrução se dá a partir de um filtro passa-baixas com ganho Ts e freqüência de corte Ωs/2 Reconstrução ideal Impraticável Na prática, filtros passa-baixas aproximados