Funkcije to su funkcije to je domena a

  • Slides: 38
Download presentation
Funkcije

Funkcije

Što su funkcije? • Što je domena, a što kodomena funkcije? • Koje simboličke

Što su funkcije? • Što je domena, a što kodomena funkcije? • Koje simboličke zapise koristimo pri zapisivanju funkcija? . . . • U potrazi za odgovorima, krenimo s primjerima iz svakodnevnog života. . .

Primjer 1. : Kad smo bili mali i kad su nas učili kako se

Primjer 1. : Kad smo bili mali i kad su nas učili kako se zove koji dan u tjednu, rekli su nam da je: 1. dan ponedjeljak, 2. dan utorak, 3. je srijeda itd. 1 To možemo → ponedjeljak i ovako zapisati: 2 → utorak 3 → srijeda 4 → četvrtak Time je. Možemo zadana reći FUNKCIJA da je koja svakom broju od od 11 do do 7 7 pridružuje točno pridružen po jednu jedan riječ dan. . 5 → petak 6 → subota 7 → nedjelja Za početak zapamtimo da funkcija “nečemu pridružuje nešto”.

Primjer 2. : U jednoj školi ima 6 viših razreda: 5. a → 21

Primjer 2. : U jednoj školi ima 6 viših razreda: 5. a → 21 5. b → 19 6. → 26 7. → 25 8. a → 17 8. b → 18 Za svaki razred možemo Time je zadana FUNKCIJA Možemo reći koliko da je svakom izbrojati učenikakoja svakom razredu od do 5. a 8. b do 8. b razredu odu 5. a ima njemu. pridružuje točno broj. pridružen brojjedan učenika. Dakle, i u ovom primjeru funkcija “nečemu pridružuje nešto”.

Uočimo kroz prošle primjere od čega se sastoji svaka funkcija ! Vratimo se na

Uočimo kroz prošle primjere od čega se sastoji svaka funkcija ! Vratimo se na 1. primjer: 1 2 3 4 5 6 7 → → → → Kao prvo, ovdje imamo brojeve kojima nešto pridružujemo! DOMENA Oni čine DOMENU. Dakle, u domeni su objekti kojima nešto pridružujemo. ponedjeljak utorak srijeda četvrtak petak subota nedjelja Nadalje, imamo objekte koje pridružujemo! KODOMENA Oni čine KODOMENU. Dakle, u kodomeni su objekti koje pridružujemo.

Uočimo kroz prošle primjere od čega se sastoji svaka funkcija ! Vratimo se na

Uočimo kroz prošle primjere od čega se sastoji svaka funkcija ! Vratimo se na 1. primjer: 1 2 3 4 5 6 7 DOMENA → → → → ponedjeljak utorak srijeda četvrtak petak subota Svaka se funkcija sastoji od: - domene - kodomene - pravila pridruživanja nedjelja KODOMENA I treće, imamo pravilo po kojem pridružujemo! PRAVILO To nam pravilo npr. PRIDRUŽIVANJA kaže da broju 1 pridružujemo baš ponedjeljak, a ne npr. četvrtak.

Uočimo te pojmove i u 2. primjeru: 5. a 5. b 6. 7. 8.

Uočimo te pojmove i u 2. primjeru: 5. a 5. b 6. 7. 8. a 8. b → → → 21 19 26 25 17 18 Što je ovdje domena? Domenu čine razredi 5. a, 5. b, 6. , . . . 8. b. Preciznije, domena je skup { 5. a, 5. b, 6. , 7. , 8. a, 8. b }. Što je kodomena? Kodomenu čine brojevi 21, 19, 26. . . Preciznije, kodomena je skup { 21, 19, 26, 25, 17, 18 }. Po kojem pravilu se vrši pridruživanje? Svakom razredu pridružuje se broj učenika tog razreda.

Zadatak 1. : Ivan Ana Mira Joža → → U obitelji Jelić je četvero

Zadatak 1. : Ivan Ana Mira Joža → → U obitelji Jelić je četvero djece: 9 7 6 5 Imamo li domena? i ovdje funkciju? Što joj je Svakog od njih možemo - Imamo. Domenu čine djeca (tj. imena) Ivan, upitati koliko ima godina. Ana, Mira i Joža. Dakle, domena je skup { Ivan, Ana, Mira, Joža }. Što je kodomena? Kodomenu čine brojevi 9, 7, 6 i 5. Dakle, kodomena je skup { 9, 7, 6, 5 }. Možemo ga i ovako zapisati: { 5, 6, 7, 9 }. Po kojem pravilu se vrši pridruživanje? Svakom djetetu se pridružuje broj koji govori koliko ono ima godina.

Primjer 3. : Ivan Ana Mira Joža → → Zadržimo se još malo na

Primjer 3. : Ivan Ana Mira Joža → → Zadržimo se još malo na obitelji Jelić: plava Svako dijete možemo upitati koju boju najviše voli. žuta, narančasta crvena - (nijednu boju ne voli posebno) Uočavaš li po čemu se ovo pridruživanje razlikuje od prethodnih? • Ani su pridružene dvije boje • Joži nije pridružena nijedna boja Funkcija ne dopušta nijedno od toga !!! Funkcija uvijek svakom elementu domene pridružuje točno jedan element kodomene !!! Stoga u ovom primjeru nemamo funkciju. (imamo pridruživanje, ali se ono ne naziva funkcijom)

Zapamtimo što vrijedi za svaku funkciju: Funkcija svakom elementu domene pridružuje točno jedan element

Zapamtimo što vrijedi za svaku funkciju: Funkcija svakom elementu domene pridružuje točno jedan element kodomene.

Zadatak 2. : a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zadatak 2. : a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 → → → Provjerimo jesmo li dobro razumjeli: siječanj veljača ožujak travanj svibanj lipanj srpanj kolovoz rujan listopad studeni prosinac Je li time zadana Možeš li uočiti po funkcija? kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Je. Svakom od 1 do 12 pridružen je Po čemu broju to znamo? odgovarajući mjeseca Po tome što jenaziv svakom brojuuizgodini. lijevog stupca pridružen točno jedan naziv iz desnog. Što je ovdje domena? Domena je skup { 1, 2, 3, 4, . . . 12}. Što je u ovom primjeru kodomena? Kodomena je skup { siječanj, veljača, ožujak, . . . prosinac }.

Zadatak 2. : b) Zagreb Varaždin Rijeka Osijek Split Dugo Selo Crikvenica Provjerimo jesmo

Zadatak 2. : b) Zagreb Varaždin Rijeka Osijek Split Dugo Selo Crikvenica Provjerimo jesmo li shvatili: → → → → ZG VŽ RI OS ST - Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Gradovima iz lijevog stupca pridružene su odgovarajuće kratice sa registarskih tablica. Imamo li i ovdje funkciju? Nemamo. Zašto? Zato što Dugom Selu i Crikvenici ništa nije pridruženo, a funkcija bi svakome iz lijevog stupca trebala pridružiti točno jedan objekt iz desnog.

Zadatak 2. : Provjerimo jesmo li shvatili: c) siječanj → veljača ožujak travanj svibanj

Zadatak 2. : Provjerimo jesmo li shvatili: c) siječanj → veljača ožujak travanj svibanj lipanj srpanj kolovoz rujan listopad studeni prosinac → → → 31 28, 29 31 30 31 Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Svakom mjesecu pridružen je broj dana u tom mjesecu. Je li time zadana funkcija? Nije. Zašto? Jer su veljači pridružena dva broja, a funkcija bi svakome iz lijevog stupca trebala pridružiti točno jedan objekt iz desnog.

Zadatak 2. : d) 1 2 3 4 5 → → → Provjerimo jesmo

Zadatak 2. : d) 1 2 3 4 5 → → → Provjerimo jesmo li shvatili: nedovoljan dobar vrlo dobar odličan Je li timepravilu zadanase funkcija? Po kojem ovdje vrše pridruživanja? Je. Svakom od 1 do 5 pridružen je Po čemu broju to znamo? naziv ocjene koju predstavlja broj. Po tome što je svakom broju iztaj lijevog stupca pridružen točno jedan naziv iz desnog. Što je ovdje domena? Domena je skup { 1, 2, 3, 4, 5 }. Što je ovdje kodomena? Kodomena je skup { nedovoljan, dobar, vrlo dobar, odličan }.

Nadam se da nakon ovih primjera možeš razumjeti rečenicu: Funkcija iz skupa D u

Nadam se da nakon ovih primjera možeš razumjeti rečenicu: Funkcija iz skupa D u skup K je pravilo po kojem se svakom elementu skupa D pridružuje točno jedan element skupa K. Skup D nazivamo domena. Skup K nazivamo kodomena. Prepiši sve sa ove stranice u bilježnicu!

Ali matematičari kao matematičari. . . oni vole brojevima pridruživati brojeve. . . Pa

Ali matematičari kao matematičari. . . oni vole brojevima pridruživati brojeve. . . Pa krenimo na primjere s brojevima. . .

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4 10 16 20 28 Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Svakom broju iz lijevog stupca pridružen je dva puta veći (tj. dvostruki) broj. Je li time zadana funkcija? Je. Zašto? Jer je svakom broju iz lijevog stupca pridružen točno jedan broj iz desnog stupca. Što je ovdje domena? Domena je skup { 1, 2, 5, 8, 10, 14 }. Što je ovdje kodomena? Kodomena je skup { 2, 4, 10, 16, 20, 28 }.

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4 10 16 20 28 Upoznajmo simboličke zapise koje koristimo kod funkcija, a koji nam olakšavaju zapisivanje !

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4 10 16 20 28 Ako bismo željeli opisati pravilo pridruživanja ove funkcije, rekli bismo: Ova funkcija svakom broju pridružuje dva puta veći broj. Evo kako to kraće možemo zapisati: f (x) = 2∙x Objasnimo taj zapis! f je ime funkcije izraz 2∙x nakon znaka = x u zagradi govori nam što se pridružuje Ime funkcije može biti bilo koji broj bilo kojepredstavlja slovo. onom broju x iz zagrade Mi ćemo najčešće koristiti kojem nešto pridružujemo U ovom primjeru pridružujemo slova f, (bilo g, h. koji broj iz domene) mu 2∙x , tj. 2 puta veći broj.

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4 10 16 20 28 Ako bismo željeli opisati pravilo pridruživanja ove funkcije, rekli bismo: Ova funkcija svakom broju pridružuje dva puta veći broj. Evo kako to kraće možemo zapisati: f (x) = 2∙x Ovaj zapis čitamo: " ef od iks jednako je dva puta x " Dakle, f(x) čitamo: " f od x "

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4 10 U zapisu f(x) = 2∙x ne piše što je domena, a što kodomena funkcije. 16 20 Matematičari su i za to smislili kratki zapis: 28 f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } ime funkcije Vjerojatno i sam naslućuješ koji dio zapisa što govori. . . domena kodomena

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4

Primjer 4. : 1 2 5 8 10 14 → → → 2 4 10 U zapisu f(x) = 2∙x ne piše što je domena, a što kodomena funkcije. 16 20 Matematičari su i za to smislili kratki zapis: 28 f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } Čitamo: Funkcija f ide sa skupa 1, 2, 5, 8, 10, 14 u skup 2, 4, 10, 16, 20, 28.

Primjer 4. : Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka: f

Primjer 4. : Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } f (x) = 2∙x U prvom retku piše nam ime funkcije, domena i kodomena. U drugom retku piše pravilo pridruživanja.

Primjer 4. : Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka: f

Primjer 4. : Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } f (x) = 2∙x Sjećaš li se kako čitamo ta dva retka? Funkcija f ide sa skupa 1, 2, 5, 8, 10, 14 u skup 2, 4, 10, 16, 20, 28. f od x jednako je 2∙x.

Primjer 4. : Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka: f

Primjer 4. : Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } f (x) = 2∙x Što ta funkcija pridružuje broju 5 ? 5 → 10 pridruživanja. . . ) f(sjeti (5) =se 10 pravila To možemo i ovako i to čitamo: zapisati: f od 5 jednako je 10. Dopunimo: Kako to čitamo? f (1) = 2 f od 1 pridružuje jednako jebroju 2 1. . . ) f (2) =se 4što ova funkcija (sjeti Što to znači? f (8) = 16 To znači da ova funkcija broju 1 f (10) = 20 pridružuje broj 2. f (14) = 28

Primjer 4. : Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka: f

Primjer 4. : Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → {N 2, 4, 10, 16, 20, 28, }37, 100 } f (x) = 2∙x Razjasnimo još jedan detalj u vezi kodomene: U kodomeni su brojevi koje pridružujemo brojevima iz domene, ali u njoj smiju biti i brojevi koji ničemu nisu pridruženi. Dakle, kodomenu možemo zadati i "šire". Tako npr. u nju bismo mogli dopisati i brojeve npr. 37 i 100 i time ne bismo učinili ništa pogrešno. A možemo dodati i sve preostale prirodne brojeve, pa time dobivamo skup N.

Primjer 4. : Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka: f

Primjer 4. : Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka: f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → N f (x) = 2∙x Zašto N ne pišemo u vitičastoj zagradi? Vitičastu zagradu koristimo kad nabrajamo elemente skupa, npr. { 1, 2, 3, 4, 5. . . }. No, ako imamo oznaku za cijeli skup (npr. N, Z, Q. . . ), nju pišemo bez vitičaste zagrade.

Istaknimo još jednom: DOMENA Domenu ne možemo zadati "šire"! U njoj su točno oni

Istaknimo još jednom: DOMENA Domenu ne možemo zadati "šire"! U njoj su točno oni brojevi kojima nešto pridružujemo. KODOMENA Kodomenu možemo zadati "šire"! U njoj su oni brojevi koje pridružujemo, a mogu biti i još neki (koji nisu ničemu pridruženi).

Zadatak 3. : . . . 5 4 3 2 1 0 -1 -2

Zadatak 3. : . . . 5 4 3 2 1 0 -1 -2 . . . → → → → 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 Možeš li uočiti po kojem pravilu se brojevima iz 1. stupca pridružuju brojevi iz drugog? Svakom broju pridružen je za 3 manji broj. Što je ovdje domena? Domena je skup {. . . 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2. . . }, tj. skup cijelih brojeva, skup Z. Što je ovdje kodomena? Kodomena je također skup Z. Simbolički zapišimo kako je zadana ova funkcija (nazovimo je g): g : Z → Z Funkcija g ide sa skupa Z u skup Z. Kako to čitamo? g (x) = x - 3 g od x jednako je x minus 3

Zadatak 3. : . . . 5 4 3 2 1 0 -1 -2

Zadatak 3. : . . . 5 4 3 2 1 0 -1 -2 . . . → → → → 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 Dopunimo: g (4) = 1 g (-2) = -5 g (0) = -3 Kako to čitamo? g. Kako od 4 to jednako je 1. čitamo? Što to znači? g od -2 Kako to jednako čitamo? je -5. To znači da ova funkcija Što to znači? g od 04 jednako je -3. 1. broju pridružuje broj To da ova funkcija Štoznači to znači? broju -2 pridružuje broj -5. To znači da ova funkcija broju 0 pridružuje broj -3. Simbolički zapišimo kako je zadana ova funkcija (nazovimo je g): g : Z → Z g (x) = x - 3

Zadatak 4. : Dopuni sljedeće zapise ako želimo da funkcija: a) svakom broju pridružuje

Zadatak 4. : Dopuni sljedeće zapise ako želimo da funkcija: a) svakom broju pridružuje 5 puta veći broj f (x) = 5 ∙ x ili f (x) = 5 x b) svakom broju pridružuje za 7 veći broj f (x) = x + 7 c) svakom broju pridružuje 3 puta manji broj x __ f (x) = 3 d) svakom broju pridružuje isti taj broj f (x) = x e) svakom broju pridružuje suprotni broj f (x) = -x f) svakom broju pridružuje broj 8 f (x) = 8

Primjer 5. : Zadana je funkcija: h : { -1, 3, 5 } →

Primjer 5. : Zadana je funkcija: h : { -1, 3, 5 } → Z h (x) = 2 x - 7 Kako to čitamo? Funkcija h ide sa skupa -1, 3, 5 u skup Z. h od x jednako je 2 x-7.

Primjer 5. : Zadana je funkcija: h : { -1, 3, 5 } →

Primjer 5. : Zadana je funkcija: h : { -1, 3, 5 } → Z h (x) = 2 x - 7 Kako se zove ova funkcija? funkcija h Što joj je domena? Domena je skup { -1, 3, 5 }. Što je kodomena? Kodomena je skup Z. Koje je pravilo pridruživanja? h(x) = 2 x - 7

Primjer 5. : Zadana je funkcija: h : { -1, 3, 5 } →

Primjer 5. : Zadana je funkcija: h : { -1, 3, 5 } → Z h (x) = 2 x - 7 Kojim brojevima funkcija h nešto pridružuje? Brojevima -1, 3 i 5. Izračunaj što im pridružuje! Dakle, trebamo izračunati h(-1), h(3) i h(5). Krenimo od h(-1) ! Da bismo izračunali h(-1) trebamo koristiti pravilo pridruživanja. Pošto nas, zanima h(-1) , umjesto x uvrstimo -1 ! h (x) = 2 x - 7 h (-1) = 2 ∙ (-1) - 7 I u nastavku umjesto x uvrstimo -1, a sve ostalo redom prepišimo ! h (-1) = -2 - 7 h (-1) = -9 Time smo izračunali što ova funkcija pridružuje broju -1. Pridružuje mu broj -9 !

Primjer 5. : Zadana je funkcija: h : { -1, 3, 5 } →

Primjer 5. : Zadana je funkcija: h : { -1, 3, 5 } → Z h (x) = 2 x - 7 Kojim brojevima funkcija h nešto pridružuje? Brojevima -1, 3 i 5. Izračunaj što im pridružuje! Dakle, trebamo izračunati h(-1), h(3) i h(5). Krenimo od h(-1) ! h (x) = 2 x - 7 h (-1) = 2 ∙ (-1) - 7 h (-1) = -2 - 7 Sad izračunajmo h(3) ! Opet krećemo h (3) = 2 ∙ 3 - 7 od pravila h (5)pridruživanja. = 2∙ 5 - 7 Sad x (5) uvrstimo h (3)u =njega 6 - 7 umjesto h = 10 -37. h (-1) = -9 h (3) = -1 h (5) = 3

Nadam se da si shvatio osnovne stvari o funkcijama i da ćeš nakon ove

Nadam se da si shvatio osnovne stvari o funkcijama i da ćeš nakon ove prezentacije s lakoćom rješavati zadatke!

Autorica prezentacije: Antonija Horvatek travanj 2007.

Autorica prezentacije: Antonija Horvatek travanj 2007.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima. . . , za korištenje na predavanjima, radionicama. . . , potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare. . . Antonija Horvatek Matematika na dlanu http: //www. antonija-horvatek. from. hr/