Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije vie varijabli vezani

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem - u prijašnjim primjerima prilikom nalaženja ekstrema nije bila dano ograničenje na varijable. No, sada želimo uvesti ograničenje. Npr. Ako želimo maksimizirati korisnost dva dobra (koja imaju svoju cijenu), maksimalna korisnost bi se dostigla za beskonačne količine tih dobara (što nije realno). Zato stavljamo budžetsko ograničenje, itd. Postavlja se problem nalaženja ekstrema dane funkcije, ali uz ograničenja na vrijednost varijabli (problem optimizacije). Ograničenja mogu biti ili u obliku jednakosti ili nejednakosti, te može biti ili jedno ili više ograničenja.

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem f(x 1, …, xn) g 1 (x 1, …, xn) >= 0 …. gm (x 1, …, xn) >= 0 -> optimizirati funkcija cilja ograničenja

Matematika 2 Vezani ekstrem – - dobiveni vezani ekstrem može biti različit nego ekstrem kada nema ograničenja T 0(x 0, yo)

Matematika 2 Vezani ekstrem – - parcijalne derivacije nisu nužno = 0 T 0(x 0, yo)

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem Načini rješavanja – metoda supstitucije - primjer s tri varijable U(S, V, J)= 1/3 ln S + 1/3 ln V + 1/3 ln J 3 S + 6 V + J = 72 S = (72 – J – 6 V)/3 = 24 – J/3 – 2 V U*(V, J) = 1/3 ln (24 – J/3 – 2 V) + 1/3 ln V + 1/3 ln J

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem U(S, V, J)= 1/3 ln S + 1/3 ln V + 1/3 ln J 3 S + 6 V + J = 72 - ekstrem 2 varijable bez ograničenja ∂U*(V, J)/∂V = 1/3*(1/ (24 – J/3 – 2 V))*(-2) + 1/3*(1/V) ∂U*(V, J)/∂J = 1/3*(1/ (24 – J/3 – 2 V))*(-1/3) +1/3*(1/J) ∂U*(V, J)/∂V = 0 ∂U*(V, J)/∂J = 0 Daje nam rješenje J=24, V = 4, te S = 24 – J/3 – 2 V = 24 – 8 = 8

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem U(S, V, J)= 1/3 ln S + 1/3 ln V + 1/3 ln J 3 S + 6 V + J = 72 - dobiveno rješenje daje nam maksimum ∂2 U*(V, J)/∂V 2= -12/(24 – 2 V –J/3)2 - 3/V 2 ( = -24/64) ∂2 U*(V, J)/∂J 2= -1/3(24 – 2 V –J/3)2 - 3/J 2 ( = -9/576) ∂2 U*(V, J)/∂V∂J = -2/(24 – 2 V –J/3)2 ( = -2/64)

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem Drugi pristup – Metoda Lagrangeovog multiplikatora - prijašnji primjer – masimizacija funkcije korisnosti x 2 x 1 p 1+x 2 p 2=m MRS = dx 2/dx 1=- (∂U/∂x 1)/(∂U/∂x 2)= - p 1/p 2 u 1 u 2 u 3 x 1 granica skupa ograničenja je tangenta na našu funkciju

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem Drugi pristup – Metoda Lagrangeovog multiplikatora x 2 - (∂f/∂x 1)/(∂f/∂x 2)= - (∂g/∂x 1)/(∂g/∂x 2) zajednička tangenta u 1 u 2 u 3 x 1

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem Drugi pristup – Metoda Lagrangeovog multiplikatora Uz to mora vrijediti i g(x 1, x 2) = 0 Što možemo napisati na jednostavan način uvođenjem Lagrangeove funkcije L(x 1, x 2, λ) = f(x 1, x 2) - λ g(x 1, x 2)

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem Drugi pristup – Metoda Lagrangeovog multiplikatora Pristup je isti i za više varijabli – definiramo L(x 1, . . . , xn, λ) = f(x 1, . . . , xn, λ) –λg(x 1, . . . , xn)

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem Drugi pristup – Metoda Lagrangeovog multiplikatora Naime – sada tražimo ekstrem Lagrangeove funkcije bez ograničenja – uvjet je da su prve parcijalne derivacije = 0 -> stacionarna točka, a te se parcijalne derivacije upravo podudaraju s prije definiranim jednadžbama

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem Načini rješavanja – Lagrangeov multiplikator U(S, V, J)= 1/3 ln S + 1/3 ln V + 1/3 ln J 3 S + 6 V + J = 72 L(S, V, J, λ) = 1/3 ln S + 1/3 ln V + 1/3 ln J – λ(3 S+6 V+J-72)

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem Načini rješavanja – Lagrangeov multiplikator U(S, V, J)= 1/3 ln S + 1/3 ln V + 1/3 ln J 3 S + 6 V + J = 72 L(S, V, J, λ) = 1/3 ln S + 1/3 ln V + 1/3 ln J – λ(3 S+6 V+J-72) - da li je stvarno maksimum – definitnost drugih parcijalnih derivacija (Hessian) definitnost – promjene dxi u svakom smjeru – u ovom primjeru promjene samo u smjeru ograničenja

Matematika 2 T 0(x 0, yo) dx T 0(x 0, yo)

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem Načini rješavanja – Lagrangeov multiplikator Želimo ispitati definitnost Hessiana uz ograničenja (x 1, . . . , xn)H (x 1, . . . , xn)T g(x 1, . . . , xn)=0 Problem se rješava proširenim Hessianom – definira se sljedeća determinanta

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem Načini rješavanja – Lagrangeov multiplikator ispitujemo determinantu cijeloh proširenog Hessiana, te najvećih n-1 minora. Ako je predznak proširenog Hessiana = (-1)n i minore alterniraju tada se radi o maksimumu Ako je sve negativno tada se radi o minimumu

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem Prijašnji primjer n=3 => n-1 = 2 najveće vodeće minore one alterniraju u predznaku i (-1)3=-1 radi se o maksimumu

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem -interpretacija Lagrangeovog multiplikatora λ -Neka vrijednost varijable xi u optimumu ovisi o ograničenju c ako je dano g(x 1, . . . , xn)=c Tada je g(x 1(c), . . . , xn(c))=c. Deriviramo po c – da ispitamo utjecaj promjene vrijednosti c na dobiveno rješenje

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - vezani ekstrem -interpretacija Lagrangeovog multiplikatora λ -granična promjena funkcije po c-u je λ -kod funkcije korisnosti to bi značilo da λ predstavlja graničnu korisnost novca na raspolaganju – to jest u kojoj mjeri povećanje budžeta uzrokuje povećanje korisnosti -Ako bi se promatrala proizvodnja uz ograničenja na inpute (npr. sati ili materijal), tada bi λ predstavljao promjenu u proizvodnji (prihodu) ako bi se povećao pojedini input – shadow price – koliko za firmu ima vrijednost dodatna jedinica promatranog inputa (manje ili jednako mogućem povećanju prihoda)