Matematika 2 Funkcije vie varijabli u prijanjim primjerima

Matematika 2 Funkcije više varijabli - u prijašnjim primjerima da su funkcije jedne varijable. No, određena pojava može ovisiti i o više međusobno nezavisnih varijabli y = f(x 1, . . . , xn) Ranije navedeni ciljevi i sada su potrebni – ispitati tok funkcije - da li raste ili pada - da li ima ekstremne vrijednosti itd.

Matematika 2 Funkcije više varijabli y = f(x 1, . . . , xn) Kao i ranije osnovica za ispitivanje funkcije je diferencijalni račun, to jest granična vrijednost prirasta funkcije / prirast nezavisne varijable (? ) kada prirast nezavisne varijable teži 0 – doslovno primjenjeno imali bi, uz oznake no to baš i nije praktično

Matematika 2 Funkcije više varijabli y = f(x 1, . . . , xn) promatramo situaciju kada se mijenja samo jedna od varijabli xj – to i odgovara ceteris paribus principu. U tom slučaju derivacija se zove parcijalna derivacija i definira se analogno derivaciji funkcije jedne varijable Sva pravila koja vrijede za derivaciju funkcije jedne varijable vrijede i sada – prilikom deriviranja po promatranoj se varijabli derivira, dok se druge varijable tretiraju kao konstante

Matematika 2 Funkcije više varijabli y = f(x 1, . . . , xn)

Matematika 2 Funkcije više varijabli y = f(x 1, . . . , xn) Geometrijska interpretacija parcijalne derivacije ∂f/∂x 1 kut što ga zatvara tangenta na odsječak

Matematika 2 Diferencijal funkcije više varijabli y = f(x 1, . . . , xn) Pojam totalnog diferencijala funkcije više varijabli – po uzoru na funkciju jedne varijable definiramo kao dy = ∂f/∂x 1 dx 1 +. . . + ∂f/∂xn dxn to jest suma parcijalnih diferencijala - geometrijska interpretacija u slučaju 2 varijable – imamo dvije tangente koje razapinju tangencijalnu ravninu

Matematika 2 Funkcije više varijabli y = f(x 1, . . . , xn) ∂f/∂x 1 Diferencijal }dy T 0 (x 01, x 02) ∂f/∂x 2 diferencijal predstavlja promjenu na tangencijalnoj ravnini

Matematika 2 Neka je dana funkcija y=y(x) u implicitnom obliku F(x, y)=0 Tada možemo dobiti y’(x) = dy/dx i na sljedeći način Kako je F(x, y)=0, to je i d. F = 0 d. F = ∂F/∂x dx + ∂F/∂y dy = 0 => dy/dx = y’(x) = - (∂F/∂x)/(∂F/∂y) npr. x 2+y 2=5 F(x, y)= x 2+y 2 -5=0 y’(x)=- (2 x)/(2 y) = - x/y

Matematika 2 Neka je dana funkcija y=y(x 1, . . . , xn ) u implicitnom obliku F(x 1, . . . , xn, y)=0 Tada možemo dobiti ∂y/∂xi na sljedeći način ∂y/∂xi = - (∂F/∂xi)/(∂F/∂y)

Matematika 2 Parcijalne derivacije višeg reda y=f(x 1, . . . , xn ) Tada je parcijalna derivacija ∂y/∂xi ponovno funcija n varijabli i može se ponovno parcijalno derivirati – dobivamo druge parcijalne derivacije, npr. ∂2 y/∂xi 2 = ∂ (∂y/∂xi )/∂xi te tako definiramo i parcijalne derivacije višeg reda. No, osim parcijalnog deriviranja po istoj varijabli možemo derivirati i po drugoj varijabli – mješovite parcijalne derivacije npr ∂2 y/∂xi∂xj = ∂ (∂y/∂xi )/∂xj no vrijedi pravilo da nije bitan poredak deriviranja već koliko se puta po kojoj varijabli deriviralo

Matematika 2 Parcijalne derivacije višeg reda y=f(x 1, . . . , xn ) z = x lny + 10 x 2 – 8 y ∂z/∂x = ln y + 20 x ∂z/∂y = x/y - 8 ∂2 z/∂x 2 = 20 ∂2 z/∂y 2 = -x/y 2 ∂2 z/∂x∂y = 1/y ∂2 z/∂y∂x = 1/y

Matematika 2 Parcijalne derivacije višeg reda y=f(x 1, . . . , xn ) Diferencijali višeg reda z = z(x, y) d 2 z =d(dz)=d(∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy)= = ∂2 z/∂x 2 dx 2 + 2 ∂2 z/∂x∂y dxdy + ∂2 z/∂y 2 dy 2

Matematika 2 Homogene funkcije više varijabli funkcija y=f(x 1, . . . , xn ) je homogena stupnja k ako vrijedi da je f(sx 1, . . . , sxn ) = sky te je homogena stupnja 1. Vrijedi pravilo: Neka je y=f(x 1, . . . , xn ) homogena stupnja k. Tada je vrijedi ky = x 1∂y/∂x 1+. . . + xn∂y/∂xn

Matematika 2 Neka je dana implicitno definirana funkcija na sljedeći način y(t) = f(x 1(t), . . . , xn(t)) Tada je dy/dt = y’(t) = ∂f/∂x 1*dx 1/dt+. . . + ∂f/∂xn*dxn/dt slijedi iz dy = df = ∂f/∂x 1*dx 1+. . . + ∂f/∂xn*dxn - dijeljenjem s dt dobivamo gornji izraz

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - na temelju funkcije jedne varijable – uvjet za ekstrem je dy=0 - analogno za funkcija više varijabli mora biti dy = ∂f/∂x 1 dx 1 +. . . + ∂f/∂xn dxn = 0 za svaki odabir dx 1, . . . , dxn a to je moguće samo ako je ∂f/∂x 1 = 0, . . . , ∂f/∂xn =0 Nužan uvjet za egzistenciju ekstrema je da su sve parcijalne derivacije prvoga reda jednake 0 – potrebno je riješiti sustav od n jednadžbi s ne nepoznanica.

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli z(x, y)=x 2+4 y 2 -2 x-16 y+xy zx = 2 x -2 +y zy = 8 y -16 +x zx =0 zy = 0 2 x+ y- 2=0 x+8 y-16 = 0 što daje x=0 i y= 2 kao stacionarnu točku moguća točka u kojoj se dostiže ekstrem

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli z(x, y)=x 2+4 y 2 -2 x-16 y+xy -ispitivanje ekstrema – da li se u stacionarnoj točki dostiže ekstrem – kod funkcije jedne varijable koristi se drugi diferencijal – ako je >0 => minimum, ako je <0 => maksimum -analogno za funkciju više varijabli – promatramo vrijednost drugog diferencijala u stacionarnoj točki d 2 z = ∂2 z/∂x 12 dx 12 +. . . +∂2 z/∂xn 2 dxn 2 + +2∂2 z/∂x 1∂x 2 dx 1 dx 2 +. . . + 2∂2 z/∂xn-1∂xndxn-1 dx 2 ako je d 2 z >0 za svaki odabir dx i dy lokalni minimum, a ako je d 2 z < 0 lokalni maksimum

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli Kako odrediti da li je to ispunjeno – drugi deiferencijal je kvadratna forma gdje je dana matrica drugih derivacija te je d 2 z = (dx 1, . . . , dxn)A (dx 1, . . . , dxn)T matricu A zovemo Hessian raniji rezultati – definitnost kvadratnih fromi - pozitivno definitna > 0 za svaki odabir varijabli - negativno definitna < 0 za svaki odabir varijabli - indefinitna u nekim slučajevima >0, te nekad < 0

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli Kako odrediti definitnost forme – bilo ispitivanjem svojstvenih vrijednosti – (nije potrebno) ili na temelju determinanti - pozitivno definitna – sve vodeće minore > 0 - negativno definitna – vodeće minore alterniraju u predznaku (počinju s -) primjer 2 varijable d 2 z = ∂2 z/∂x 2 dx 2 + 2 ∂2 z/∂x∂y dxdy + ∂2 z/∂y 2 dy 2 A je pozitivno definitna ako je ∂2 z/∂x 2 >0, te (∂2 z/∂x 2)( ∂2 z/∂y 2)- (∂2 z/∂x∂y)2 > 0 - to povlači i ∂2 z/∂y 2 >0

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli A je negativno definitna akoje ∂2 z/∂x 2 <0, te (∂2 z/∂x 2)( ∂2 z/∂y 2)- (∂2 z/∂x∂y)2 > 0 - to povlači i ∂2 z/∂y 2 <0 Ako je forma negativno definitna radi se o lokalnom maksimumu, a ako je forma pozitivno definitna, radi se o lokalnom minimumu.

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli – prijašnji primjer z(x, y)=x 2+4 y 2 -2 x-16 y+xy zx = 2 x -2 +y zy = 8 y -16 +x x=0 i y= 2 stacionarna točka što daje ∂2 z/∂x 2=2 > 0 ∂2 z/∂y 2 = 8 > 0 (∂2 z/∂x 2)( ∂2 z/∂y 2)- (∂2 z/∂x∂y)2 = 2 * 8 – 12 = 15 > 0 te je forma pozitivno definitna – u točki x=0 te y=2 postiže se lokalni minimum z(0, 2)=0+16 -0 -32+0 = -16, m(0, 2, -16=

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - ako matrica drugih derivacija ne slijedi neku od prijašnjih shema moguće da se radi o sedlastoj točki. npr. obje prve parcijalne derivacije su 0, ali su druge parcijalne derivacije suprotnih predznaka – po jednoj varijabli max a po drugoj min

Matematika 2 Ekstremne vrijednosti funkcije više varijabli - ovo je slučaj lokalnonog minimuma