Graf funkcije apsolutno fx x by eljka Bjelanovi

Graf funkcije “apsolutno” f(x) = |x| by Željka Bjelanović, prosinac 2001.

Definicija Funkcija apsolutne vrijednosti zapisuje se f(x) = |x| , a definira se ovako: x , x>=0 f(x) = -x , x<0 Njezin se graf sastoji od dva polupravca. Za pozitivne vrijednosti varijable x graf se podudara s pravcem y = x. Za negativne vrijednosti od x on se podudara s pravcem y = -x. f(x) = |x| 2/9

Primjer 1. Nacrtaj graf funkcije f(x) = |2 x-4| I. način: Jednadžbu funkcije zapišemo bez znaka apsolutne vrijednosti: f(x) = = 2 x-4 , 2 x-4>=0 -(2 x-4) , 2 x-4<0 2 x-4 , x>=2 y = -2 x+4 y = 2 x-4 -2 x+4 , x<2 Zatim nacrtamo dva pravca: y = 2 x-4 za x>=2 i y = -2 x+4 za x<2 3/9

Primjer 1. Nacrtaj graf funkcije f(x) = |2 x-4| II. način: Grafove nekih složenijih funkcija s apsolutnim vrijednostima možemo lakše crtati korištenjem transformacija grafa linearne funkcije, kao što su zrcaljenje i pomak. y = |2 x-4| Nacrtamo pravac y = 2 x-4 isprekidanom crtom. Dio tog pravca koji se nalazi iznad osi x podebljamo, dok dio pravca koji se nalazi ispod osi x zrcalimo s obzirom na tu os. y = 2 x-4 4/9

Primjer 2. Nacrtaj graf funkcije f(x) = -|x+1| Graf funkcije f(x) = |x| nalazi se iznad osi x (zbog definicije te funkcije). Graf funkcije f(x) = -|x| nalazi se ispod osi x jer je -x , x>=0 -|x| = x , x<0 y = x+1 Nacrtamo pravac y = x+1 isprekidanom crtom. Dio tog pravca koji se nalazi ispod osi x podebljamo, dok dio pravca koji se nalazi iznad osi x zrcalimo s obzirom na tu os. y = -|x+1| 5/9

Primjer 3. Nacrtaj graf funkcije f(x) = |2 x+1|-3 Graf funkcije f(x) = |2 x+1| sada znamo nacrtati, ali ipak ponovimo: Nacrtamo pravac y = 2 x+1 isprekidanom crtom. y = |2 x+1|-3 Dio tog pravca koji se nalazi iznad osi x podebljamo, dok dio pravca koji se nalazi ispod osi x zrcalimo s obzirom na tu os. Graf funkcije f(x) = |2 x+1|-3 dobit ćemo translacijom (pomakom) grafa f(x) = |2 x+1| za 3 prema dolje. Zaključak: a) ako je g(x)=f(x)–a, graf funkcije g(x) dobit ćemo tako da graf funkcije f(x) pomaknemo za a prema dolje, b) ako je g(x)=f(x)+a graf funkcije f(x) pomičemo za a prema gore. y = 2 x+1 6/9

Primjer 4. Nacrtaj graf funkcije f(x) = |2 -|x+1||-4 1. Nacrtaj pravac y=x+1 2. Zrcali (prema dolje) da dobiješ y=-|x+1| 3. Pomakni (za 2 prema gore) da dobiješ y=2 -|x+1|=-|x+1|+2 4. Zrcali (prema gore) da dobiješ y=|2 -|x+1|| 5. Pomakni (za 4 prema dolje) da dobiješ y=|2 -|x+1||-4 7/9

Primjer 5. Nacrtaj graf funkcije f(x) = |2 x-2|+|x-3| Ovakvu vrstu grafova s apsolutnim vrijednostima teže je nacrtati pomoću zrcaljenja, pomaka i sl. Zbog toga se prisjetimo prvog načina rješavanja (iz primjera 1). Jednadžbu funkcije zapišemo bez znaka apsolutne vrijednosti: f(x) = -3 x+5 , x<1 x+1 , 1<=x<3 3 x-5 , x>=3 što se dobije pomoću ove tablice: |2 x-2| |x-3| |2 x-2|+|x-3| x<1 -2 x+2 -x+3 -3 x+5 1<=x<3 2 x-2 -x+3 x+1 x>=3 2 x-2 x-3 3 x-5 Na kraju provjerimo kojem intervalu odgovara koji pravac pa odgovarajući dio svakog pravca podebljamo. 8/9

Zadatci: Potraži slične zadatke u sljedećoj literaturi: Dakić-Elezović: Matematika 1, udžbenik i zbirka zadataka za prvi razred gimnazije, Element, Zagreb, 2001, strana 154, 155. Zahvaljujem na pažnji i nadam se da sam bila dovoljno jasna. Željka Bjelanović, prof. Srednja škola Čazma 9/9