ISPITIVANJE FUNKCIJA POMOU IZVODA MONOTONOST FUNKCIJE EKSTREMNE VREDNOSTI

ISPITIVANJE FUNKCIJA POMOĆU IZVODA

MONOTONOST FUNKCIJE •

EKSTREMNE VREDNOSTI FUNKCIJE • Funkcija f(x) definisana na (a, b) imaće maksimum u tački ako i samo ako je za svako x koje pripada nekoj okolini te tačke , a imaće minimum u tački ako i samo ako je za svako x koje pripada nekoj okolini te tačke. Minimum i maksimum funkcije se nazivaju ekstremima funkcije.

ODREĐIVANJE EKSTREMA FUNKCIJE POMOĆU IZVODA • Ako kod diferencijabilne funkcije y=f(x) je u tački to je potreban uslov da u toj tački može da postoji ekstrem Iz navedenog uslova sledi da, ako je funkcija diferencijabilna, tada ona može imati ekstremum samo u tačkama u kojima je njen izvod jednak nuli, obratan zaključak ne važi. Tačke u kojima je nazivaju se stacionarnim tačkama

• Neka je x 1 stacionarna tačka funkcije y=f(x). • Ako je: • Napomena: Predhodna teorema kaže da ako izvodna funkcija menja znak pri prolasku kroz tačku x 1 tada funkcija ima ekstrem u toj tački.

Primer 3 Odrediti ekstreme funkcije Rešenje: Prvi izvod funkcije je Nule izvoda su Drugi izvod funkcije je Kako je funkcija za x=3 ima minimum , a za x=-1 ima maksimum

Ispitivanje funkcija obavljaćemo kroz sledeće korake: • • • Određivanje domena funkcije Određivanje nula i ispitivanje znaka funkcije Ispitivanje parnosti I neparnosti funkcije Ispitivanje ponašanja funkcije na krajevima oblasti definisanosti i određivanje asimptota funkcije Ispitivanje monotonosti i određivanje ekstrema funkcije primenom prvog izvoda funkcije Skiciranje grafika funkcije.

Primer 4 Ispitati i grafički prikazati sledeću funkciju Rešenje: Domen: Nule funkcije: Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u koordinatnom početku. Znak funkcije: Asimptote: Funkcija nema asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti

Primer 5 Ispitati i grafički prikazati sledeću funkciju Rešenje: Domen: Nule funkcije: Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u tački (0, -1). Znak funkcije: Asimptote: Prava x=1 je vertikalna asimptota funkcije. pa je prava y=1, horizontalna asimptota funkcije.

Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: Funkcija stalno opada i nema ekstrema

Primer 6 Ispitati i grafički prikazati sledeću funkciju