Begzada Kii o Kvadratne funkcije su funkcije oblika

Begzada Kišić

o Kvadratne funkcije su funkcije oblika y=ax 2+bx+c, gdje su a, b, c realni brojevi i a≠ 0 o Definisane su za sve realne vrijednosti x o Prvo ćemo ispitivati funkcije oblika y=ax 2 , b=0 i c=0 o Funkcije imaju dvostruku nulu x=0

za a=1 imamo y=x 2

za a=2 imamo y=2 x 2

za a=½ imamo y= ½x 2

za a=-1 imamo y=-x 2

za a=-2 imamo y=-2 x 2

za a=- ¼ imamo y=- ¼ x 2

zaključak o Grafik funkcije y=ax 2 je parabola sa tjemenom u tački T(0, 0) o Za a>0 funkcija u tjemenu ima minimum parabola je otvorena prema gore o Za a<0 funkcija u tjemenu ima maksimum parabola je otvorena prema dolje o Funkcija ima znak parametra a o Tok funkcije mijenja se u tjemenu

o Sada ćemo ispitivati funkcije oblika y=ax 2+c , b=0 o Vrijednosti funkcije su za c veće ili manje od vrijednosti funkcije y=ax 2

za a=1 i c=-5 imamo y=x 2 -5

za a=1 i c=3 imamo y=x 2+3

za a=-1 i c=6 imamo y=-x 2+6

za a=-1 i c=-2 imamo y=-x 2 -2

zaključak o Parametar c pomjera grafik funkcije y=ax 2 , o o prema gore ako je c>0 a prema dolje kad je c<0 Tjeme parabole se pomjera duž ose y i ima koordinate T(0, c) Za a>0 i c>0 funkcija je uvijek pozitivna Za a<0 i c<0 funkcija je uvijek negativna Funkcija mijenja znak, grafik siječe osu x, kad su parametri a i c suprotnog predznaka

o Posmatrajmo funkcije oblika y=a(x-x 0)2, a≠ 0 o Ove funkcije imaju dvostruku nulu x= x 0, a to će biti tačka u kojoj grafik dodiruje osu x o Za x ≠ x 0 funkcija ima znak parametra a

za a=1 i x 0=4 imamo y=(x-4)2

za a=1 i x 0=-3 imamo y=(x+3)2

za a=-1 i x 0=3 imamo y=-(x-3)2

za a=-1 i x 0=-2 imamo funkciju y=-(x+2)2

zaključak o Parametar x 0 pomjera parabolu duž ose x o Tjeme parabole se takođe pomjera duž ose x i ima koordinate T(x 0, 0) o Funkcija ne mijenja znak , on zavisi samo od parametra a

o Posmatrajmo funkcije oblika y=a(x-x 0)2+y 0, a≠ 0 o Parametar y 0 će grafik funkcije y=a(x -x 0)2, a≠ 0 pomjerati prema gore kad je y 0>0, a prema dole za y 0<0

y=(x-3)2, y=(x-3)2+2, y=(x-3)2 -3

y=-(x+2)2, y=-(x+2)2+1, y=-(x+2)2 -3

zaključak o Tjeme parabole ima koordinate T(x 0, y 0) o Funkcija nema nula i ne mijenja znak kad su a i y 0 istog predznaka o Funkcija ima dvije realne i različite nule kad su a i y 0 suprotnog predznaka i u tim tačkama mijenja znak

Neka je data funkcija y=ax 2+bx+c, a≠ 0 o Da bismo skicirali njen grafik (parabolu) potrebne su nam karakteristične tačke: - Nule funkcije tražimo iz uslova y=0 - Tačku u kojoj grafik siječe osu y tražimo iz uslova x=0 - Tjeme možemo odrediti ako funkciju svedemo na oblik y=a(x-x 0)2+y 0

Koordinate tjemena možemo odrediti i na drugi način o Kako je parabola simetrična u odnosu na pravu koja prolazi kroz tjeme paralelno osi y apscisa tjemena x. T je aritmetička sredina nula tj.

Dakle tjeme funkcije y=ax 2+bx+c je o Primjer 1. y=2 x 2 -8 x+6 a=2, b=-8, c=6 o Nule: 2 x 2 -8 x+6=0, D=16 x 1=1, x 2=3 (1, 0) i (3, 0) o Presjek sa osom y: x=0, y=6 (0, 6) o Tjeme: T(2, -2)

y=2 x 2 -8 x+6

Osobine kvadratne funkcije y=2 x 2 -8 x+6 određujemo sa grafika o Funkcija je definisana za sve realne brojeve o Grafik je parabola otvorena prema gore, funkcija ima minimum ymin=y. T=-2 o Funkcija opada za xє(-∞, 2), a raste za xє(2, +∞) o Funkcija ima realne i različite nule i u njima mijenja znak: y>0 za xє(-∞, 1) i xє(3, +∞) y<0 za xє(1, 3) o Vrijednosti funkcije (kodomen) su yє[-2, ∞)

Zadaci po grupama o GRUPA I o Odredi karakteristične tačke funkcije y=2 x 2 -4 x-6, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

o GRUPA II o Odredi karakteristične tačke funkcije y=-x 2+4 x-3, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

o GRUPA III o Odredi karakteristične tačke funkcije y=-3 x 2+6 x-5, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

o GRUPA IV o Odredi karakteristične tačke funkcije y=x 2 -6 x+9, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

o GRUPA V o Odredi karakteristične tačke funkcije y=-2 x 2+6 x, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

o GRUPA VI o Odredi karakteristične tačke funkcije y=x 2+4 x+5, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

Rješenje grupe I

Rješenje grupe II

Rješenje grupe III

Rješenje grupe IV

Rješenje grupe V

Rješenje grupe VI

Osobine kvadratne funkcije y=ax 2+bx+c, a≠ 0 o a>o o a<0 o funkcija ima minumum o funkcija ima maksimum o o ymin=y. T f-ja opada za x<x. T, a raste za x>x. T za D>0 funkcija mijenja znak u nulama y>0 za xє(-∞, x 1 )υ(x 2, +∞) y<0 za xє(x 1, x 2) za D=0 funkcija ima dvostruku nulu za D<0 y>0 za svako x o o ymax=y. T f-ja raste za x<x. T, a opada za x>x. T za D>0 funkcija mijenja znak u nulama y<0 za xє(-∞, x 1 )υ(x 2, +∞) y>0 za xє(x 1, x 2) za D=0 funkcija ima dvostruku nulu za D<0 y<0 za svako x

HVALA NA PAŽNJI!