FUNKCIJE Data su dva skupa A i B

FUNKCIJE Data su dva skupa A i B. Elementima skupa A na neki način dodeljujemo elemente skupa B. To je preslikavanje. 3 c 1 b a A 2 B

Skup A se naziva DOMEN (OBLAST DEFINISANOSTI). Skup B se naziva KODOMEN (OBLAST VREDNOSTI).

Ako svakom elementu skupa A odgovara tačno jedan element skupa B onda takvo preslikavanje nazivamo funkcijom. Koje od ova tri preslikavanja je funkcija? g f h 3 3 c c 1 b a A 3 2 B c 1 b a A 2 B

DEF: Preslikavanje skupa A u skup B je podskup f Dekartovog proizvoda Ax. B takav da su ispunjeni uslovi: 1) Skup svih prvih komponenti uredjenih parova (a, b)ϵf jednak je skupu A 2) 2) Ako (x, y 1)ϵf i (x, y 2)ϵf, onda je y 1=y 2. Funkciju možemo zapisati na razne načine. f 3 4 1 3 1 2 A ili 4 2 B ili f(x)=x 2+3

1. Ako je f(x)=x 2+3 koliko je f(5)? 2. Ako je f(x)=x 2+3 koliko je f(a-1)? 3. Ako je f(x)=2 x+3 koliko je f(x+1)?

4. Ako je f(x)=2 x+3 koliko je f(2 x-3)? 5. Ako je koliko je f(x+1)?

7. Neka je f: R→R, f(2 x+1)=3 x-2. Naci f(x).

"jedan-jedan" i "na" preslikavanje DEF: Za preslikavanje f: A→B kaže se da je: 1) "jedan-jedan" ako važi: injekcija 2) "na" ako važi: sirjekcija 3) bijekcija ako je "jedan-jedan" i "na" 4 1 3 2 h g f 4 4 3 2 1 4 4 2 1 1 3 2 4

1. Neka je A={a, b, c, d} i B={1, 2, 3, 4}. Ispitati koja je od sledecih funkcija “ 1 -1”, a koja “na” REŠENJE: f 1 je “ 1 -1” i “na” f 2 i f 3 nisu ni “ 1 -1” ni “na”

3. Neka je f: R→R, pri cemu je f(x)=x 2 1) Ispitati da li je ova funkcija 1 -1 i na 2) Odrediti f(2 x), f(3 x-1) i f(-x)

KOMPOZICIJA PRESLIKAVANJA DEF: Neka su f: A→B i g: B→C funkcije. Tada gof označava proizvod (kompoziciju) praslikavanja f i g i definiše se uslovom g◦f A x f g f(x) B C g(f(x))

3 1 4 1 3 4 2 2 A f B Koliko je (g◦f)(1)? g C

1. Neka su date funkcije f(x)=3 x-5 i g(x)=5 x-3. Odrediti f◦g, g◦f

TEOREMA: Za sva preslikavanja f: A→B, g: B→C I h: C→D važi: (f◦g)◦h=f◦(g◦h) Dakle, zakon komutativnosti ne vazi za kompoziciju preslikavanja, dok zakon asocijativnosti vazi.

2. Neka su date funkcije: f(x)=x+5, g(x)=x 2+1 i h(x)=x 2+2|x|-3. Odrediti f◦g, h◦f, (f◦g)◦h, f 3, f 2◦g◦h

Inverzno ili f -1 preslikavanje DEF: Ako je f: A→B bijektivno preslikavanje skupa A u skup B, onda f -1: B→A preslikavanje skupa B u skup A nazivamo inverznim ako važi: f 3 Ako je 4 1 3 1 2 A 4 f -1 2 B koliko je f-1?

1. Neka je f: R→R preslikavanje definisano relacijom f(x)=3 x-5. Dokazati da je ovo preslikavanje bijektivno, a zatim odrediti inverznu funkciju.

2. Dat je skup A={a, b, c, d, e}. Odrediti f-1 ako je f: A→A,

Razni zadaci: