Fundamentos de METROLOGIA cientfica e industrial 7 Resultados

Fundamentos de METROLOGIA científica e industrial 7 Resultados de Medições Indiretas www. labmetro. ufsc. br/livro. FMCI

Motivação c ± U(c) b ± U(b) q Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas individualmente medidas? A=b. c U(A) = ? Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 2/62

Fundamentos de METROLOGIA científica e industrial 7. 1 Considerações Preliminares www. labmetro. ufsc. br/livro. FMCI

Medições Indiretas A grandeza é determinada a partir de cálculos envolvendo duas ou mais grandezas medidas separadamente. q Exemplos: q o o A área de um terreno retangular multiplicando largura pelo comprimento. A velocidade média de um veículo dividindo a distância percorrida pelo tempo correspondente. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 4/62

Modelo Matemático q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 5/62

Dependência estatística & correlação q q Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as variações aleatórias da segunda. Exemplo: o a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do dólar. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 6/62

Dependência estatística & correlação q q Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. Exemplos: o o Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar (na verdade quem mais muda é o Real). A temperatura da água do mar em duas praias próximas. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 7/62

Correlação direta q Em duas variáveis aleatórias que apresentam correlação direta as variações aleatórias estão sincronizadas de tal forma que: o o (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional do valor da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional do valor da segunda variável. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 8/62

Correlação inversa q Em duas variáveis aleatórias que apresentam correlação inversa as variações aleatórias estão sincronizadas de tal forma que: o o (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional do valor da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional do valor da segunda variável. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 9/62

Analogia da Gangorra. . . A A B C A e B possuem correlação direta A e C possuem correlação inversa B e C possuem correlação inversa

Coeficiente de Correlação sendo (X, Y) cov(X, Y) X Y o coeficiente de correlação entre X e Y a covariância entre X e Y o desvio padrão da variável aleatória X o desvio padrão da variável aleatória Y Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 11/62

Estimativa do Coeficiente de Correlação a partir de n pares de valores sendo r(X, Y) xi e yi estimativa do coeficiente de correlação para X e Y i-ésimo par de valores das variáveis X e Y n valores médios das variáveis X e Y número total de pares de valores das variáveis X e Y Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 12/62

Correlação direta e inversa q Correlação direta perfeita: o q q ρ(X, Y) = +1, 00 X Correlação inversa perfeita: o Y ρ(X, Y) = -1, 00 X Ausência total de correlação o Y ρ(X, Y) = 0, 00 Y X Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 13/62

Correlação entre múltiplas variáveis aleatórias A A B C D D D A +1 +1 -1 -1 B +1 +1 -1 -1 C -1 -1 +1 +1 D -1 -1 +1 +1

Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando: q q q Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas grandezas; Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição; Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 15/62

Nas medições indiretas há boas chances de não haver correlação se: q q Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas; Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medição. Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 16/62

Fundamentos de METROLOGIA científica e industrial 7. 2 Estimativa da Incerteza Combinada em Medições Não Correlacionadas (MNC) www. labmetro. ufsc. br/livro. FMCI

Adição e subtração de duas variáveis aleatórias não correlacionadas q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 18/62

Adição e subtração de duas medições não correlacionadas q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 19/62

Adição e subtração de medições não correlacionadas q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 20/62

Exemplo: Adição de MNC m. T = m 1 + m 2 MNC 1 2 u²(m. T) = u²(m 1) + u²(m 2) m 1 = (1000 ± 6) g u²(m. T) = 32 + 42 = 25 m 2 = (2000 ± 8) g u(m. T) = 5 g considerando t = 2, 0 U = t. u = 2, 0. 5 = 10 g u(m 1) = 6/2, 0 = 3 g u(m 2) = 8/2, 0 = 4 g m. T = (3000 ± 10) g Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 21/62

Exemplo: Subtração de MNC m. C = m 2 – m 1 MNC 1 2 u²(mc) = u²(m 1) + u²(m 2) u²(m. T) = 32 + 42 = 25 m 1 = (1000 ± 6) g m 2 = (2000 ± 8) g m. C + m 1 = m 2 u(m. T) = 5 g U = t. u = 2, 0. 5 = 10 g m. C = (1000 ± 10) g Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 22/62

Multiplicação e divisão de duas variáveis aleatórias não correlacionadas q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 23/62

Multiplicação de duas medições não correlacionadas q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 24/62

Multiplicação de medições não correlacionadas q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 25/62

Exemplo: multiplicação de MNC q Determine o valor do torque aplicado no parafuso da figura e sua incerteza: F = (150, 0 ± 2, 4) N d = (125, 0 ± 4, 0) mm Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 26/62

Exemplo: multiplicação de MNC q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 27/62

Exemplo: multiplicação de MNC q Note que a contribuição da incerteza da distância d é 4 vezes maior que a da força F Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 28/62

Divisão de duas medições não correlacionadas q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 29/62

Multiplicação e divisão de medições não correlacionadas q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 30/62

Exemplo: divisão de MNC V R I Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500, 0 ± 1, 0) sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150, 0 ± 3, 0) V. u(R) = 1, 0/2, 0 = 0, 5 Ω u(V) = 3, 0/2, 0 = 1, 5 V Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 31/62

Exemplo: divisão de MNC V R I V = (150, 0 ± 2, 0· 1, 5) V R = (500, 0 ± 2, 0· 0, 5) u(I) = 0, 0030 A I = (300 ± 6) m. A Note que a contribuição da incerteza de R é 100 vezes maior que a de I Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 32/62

Produtos e divisões com expoentes inteiros de medições não correlacionadas q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 33/62

Exemplo: Produtos e divisões com expoentes inteiros de MNC q Determine o volume de um cone cuja base tem raio r e altura h dadas por: o o r = (40, 10 ± 0, 12) mm h = (55, 20 ± 0, 22) mm Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 34/62

Exemplo: Produtos e divisões com expoentes inteiros de MNC q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 35/62

Caso Geral em MNC q = coeficientes de sensibilidade Podem ser calculados analítica ou numericamente Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 36/62

Exemplo: Caso Geral de MNC q Na determinação da massa específica (γ) de um material usou-se um processo indireto, medindose em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados sendo as incertezas estimadas com 95, 45% de nível de confiança: Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 37/62

Medições Realizadas Para a massa: m = (1580 ± 22) g νm = 14 h D Para o diâmetro: D = (25, 423 ± 0, 006) mm νD = ∞ Para a altura: h = (77, 35 ± 0, 11) mm νh = 14 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 38/62

Massa Específica q h D Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 39/62

Considerações q q Foi aqui assumido que as três medições não são correlacionadas, pois foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas. As incertezas padrão são calculadas dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student para 95, 45% de nível de confiança: o o o u(m) = U(m)/t 14 = 22/2, 20 = 10 g u(D) = U(D)/t = 0, 006/2, 00 = 0, 0030 mm u(h) = U(h)/t 14 = 0, 11/2, 20 = 0, 050 mm Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 40/62

Cálculo da incerteza combinada q Note que este mesmo resultado é obtido quando é usada a equação (7. 5) Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 41/62

Cálculo da incerteza combinada q Note que a contribuição da incerteza da massa é dominante Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 42/62

Cálculo da incerteza combinada q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 43/62

Cálculo do número de graus de liberdade efetivos q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 44/62

Valor da massa específica: Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 45/62

Fundamentos de METROLOGIA científica e industrial 7. 3 Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC) www. labmetro. ufsc. br/livro. FMCI

Adição de MC q 1 2 2 1 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 47/62

Adição de MC q Soma de múltiplos termos: A C D B Z=A+B+C+D E=A+C u(E) = u(A) + u(C) F=B+D u(F) = u(B) + u(D) Z=E+F u(Z) = |u(E) – u(F)| F E u(Z) = |u(A) – u(B) + u(C) – u(D)| Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 48/62

Subtração de MC q 1 2 2 1 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 49/62

Subtração de MC q Para múltiplos termos: A C D B Z = A - B - C – D = (A - C) – (B + D) G=A-C u(G) = |u(A) - u(C)| H=B+D u(H) = u(B) + u(D) Z=G-H u(Z) = u(G) + u(H) H G u(Z) = |u(A) – u(C)| + u(B) + u(D) Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 50/62

Multiplicação de MC q 1 2 2 1 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 51/62

Multiplicação de MC q Para múltiplos termos: A C D B Z=A. B. C. D K=A. C u. R(K) = u. R(A) + u. R(C) L=B. D u. R(F) = u. R(B) + u. R(D) Z=K. L u. R(Z) = |u. R(K) – u. R(L)| L K u. R(Z) = |u. R(A) – u. R(B) + u. R(C) – u. R(D)| Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 52/62

Divisão de MC q 1 2 2 1 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 53/62

Divisão de MC q Para múltiplos termos: A C D B Z = A. B / (C. D) = (A/C). (B/D) M = A/C u. R(M) = |u. R(A) - u. R(C)| N = B/D u. R(N) = |u. R(B) - u. R(D)| Z=M. N u. R(Z) = |u. R(M) – u. R(N)| N M u. R(Z) = ||u. R(A) – u. R(C)| - |u. R(B) - u. R(D)|| Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 54/62

Caso Geral de MC Incerteza máxima possível q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 55/62

Caso Geral de MC Incerteza máxima possível q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 56/62

Fundamentos de METROLOGIA científica e industrial 7. 4 Estimativa da Incerteza Combinada Quando o Coeficiente de Correlação é Conhecido www. labmetro. ufsc. br/livro. FMCI

Caso Geral q Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 58/62

Medições correlacionadas e não correlacionadas q Para múltiplos termos: A B G=A+B+C+D r A B C D A +1 -1 0 B +1 -1 0 C -1 -1 0 D 0 0 0 D C

Medições correlacionadas e não correlacionadas Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 60/62

Medições correlacionadas e não correlacionadas Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 61/62

Correlação parcial com r(h, α) = -0, 5 Capítulo 7 – Resultados de Medições Indiretas - 62/62