FIZIKA Statika i dinamika krutog tijela prof eljko

FIZIKA Statika i dinamika krutog tijela prof. Željko Andreić Rudarsko-geološko-naftni fakultet Sveučilište u Zagrebu zandreic@rgn. hr http: //rgn. hr/~zandreic/studenti/fizika. html Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5

kratki sadržaj: 1. centar mase 2. gibanje krutog tijela 3. kinetička energija rotacije 4. moment inercije 5. moment sile 6. kutna količina gibanja 7. precesija Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 2

Centar mase proučavamo sustav više materijalnih točaka: p 1 p 4 p 3 P p 2 p 5 CM ukupna količina gibanja: ako nema vanjskih sila onda je: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 3

Centar mase 2 raspišemo: ako nema vanjskih sila, uz v=dr/dt, dobijamo: to možemo napisati i ovako: M je ukupna masa sustava, a R položaj centra mase. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 4

Centar mase 3 usporedba: uz: dolazimo do izraza za položaj centra mase: Zaključak: ako nas ne zanimaju gibanja pojedinih dijelova sustava, skupno gibanje sustava možemo opisati gibanjem materijalne točke koja se nalazi u centru mase sustava i ima masu jednaku masi cijelog sustava. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 5

Centar mase 4 Koordinate centra mase možemo naći i po komponentama: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 6

Centar mase tijela Tijelo dijelimo na male komadiće (elementarne volumene). Uvodimo pojam gustoće (masa jediničnog volumena tijela), koja može biti promjenjiva: Kao i prije, sume po svim dijelovima tijela daju koordinate centra mase: (dm = d. V) Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 7

Površinska gustoća mase Za homogena tijela konstantne debljine (lim, ploča, i sl. ) uvodi se pojam površinske gustoće mase. Homogeno = svojstva tvari u svim točkama tijela su ista = gustoća je konstantna. Površinska gustoća definira se kao: A Gdje je M ukupna masa tijela, a A površina jedne njegove plohe. Ako je debljina tijela d, veza između površinske gustoće i gustoće je: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 8

Linijska gustoća mase Za homogena tijela konstantnog presjeka (šipke, cijevi, i sl. ) uvodi se pojam linijske gustoće mase. Linijska gustoća definira se kao: =M/L L A Gdje je M ukupna masa tijela, a A površina presjeka tijela. Veza između linijske gustoće i volumne gustoće je: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 9

Primjer 1: težište limenog trokuta Od komada lima izrezan je pravokutni trokut duljine kateta a i b, debljine d, izrađen od materijala gustoće . Potrebno je naći koordinate njegovog težišta. y b dx 0 dm Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 a x 10

Težište limenog trokuta 2 Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 11

Primjer 1: geometrijski način C A Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 Q B 12

Primjer 1: geometrijski način 2 C R P CM A Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 Q B 13

Gibanje krutog tijela Kruto tijelo je tijelo koje za vrijeme gibanja ili pod djelovanjem sila ne mijenja svoj oblik (ne deformira se). Za razliku od materijalne točke kruto tijelo ima konačne dimenzije i oblik pa su za njegov opis osim položaja (kod položaja krutog tijela misli se na na položaj njegovog centra mase) potrebni i podaci o njegovom obliku, raspodjeli mase unutar njega i o tome kako to tijelo u prostoru stoji ili se kreće. Kruto tijelo osim kretanja kroz prostor, može i rotirati, pa se u opisu njegovog gibanja pojavljuju i fizikalne veličine vezane za rotaciju tijela. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 14

Kinetička energija rotacije Neka kruto tijelo rotira oko neke osi u prostoru kutnom brzinom : ri Tijelo se podijeli na infinitezimalno malene volumene čije se mase označe sa mi, a udaljenosti od osi rotacije sa ri. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 15

Kinetička energija rotacije 2 Obodna brzina i-tog djelića tijela je: pa je KE tog djelića tijela: Ukupna KE je suma KE svih djelića tijela: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 16

Kinetička energija rotacije 3 kutna brzina rotacije je ista za sve djeliće pa se izlući: preostala suma naziva se moment inercije, I: Ukupna KE rotacije je dakle: U većini slučajeva moment inercije računa se integralom preko volumena tijela (kao i kod računa centra mase): Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 17

Kinetička energija rotacije 4 Za homogena tijela je: pa se integral pojednostavi: U kartezijevom k. s. je: Za homogena tijela konstantne debljine: a za homogena tijela konstantnoga presjeka: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 18

Primjer 3 Potrebno je naći moment inercije štapa mase m i duljine L, koji rotira oko osi okomite na štap a koja prolazi kroz jedan njegov kraj. L Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 19

Primjer 3 L x Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 20

Teorem o paralelnim osima Ako je ICM moment inercije tijela za os koja prolazi centrom mase tijela, onda je moment inercije I tog tijela za bilo koju drugu os koja je paralelna s njom jednak: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 21

Primjer 4 Koliki je moment inercije štapa iz prethodnog primjera, ako on rotira oko osi okomite na njega, a koja prolazi kroz njegov centar mase? L L/2 d=L/2 Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 22

Moment sile CM r sin r F hvatište sile Sila čiji smjer djelovanja ne prolazi kroz centar mase tijela osim ubrzanja tijela izaziva i rotaciju tijela. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 23

Moment sile 2 Moment sile po iznosu je jednak umnošku iznosa sile sa najmanjom (okomitom) udaljenošću pravca djelovanja sile od centra mase tijela: Moment sile je vektorski produkt sile i udaljenosti hvatišta od centra mase tijela (ili osi rotacije, ako je ona mehanički određena), a smjer mu se određuje po pravilu desne ruke: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 24

II Newtonov aksiom za rotaciono gibanje Neka na česticu mase m koja se giba po kružnici polumjera r djeluje tangencijalna sila F. Ubrzanje čestice dano je II Newtonovim aksiomom: obje strane pomnožimo sa r : lijeva strana je moment sile, T, a na desnoj uvedemo kutno ubrzanje preko a=r : Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 25

II Newton-ov aksiom za rotaciono gibanje 2 Ako umjesto čestice promatramo veće tijelo, dijelimo ga na malene dijelove pa je: Integracija po volumenu tijela daje: Ovo je II Newton-ov aksiom za rotacijsko gibanje. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 26

Rotacioni rad Neka se tijelo pod djelovanjem tangencijalne sile zakrene za mali kut d. Sila je pri tome izvršila rad: Ukupni rad učinjen pri rotaciji je onda: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 27

Rotaciona snaga a teorem o radu i kinetičkoj energiji postaje: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 28

Kinetička energija kotrljanja Ako se kotač polumjera R kotrlja bez proklizavanja, točka na njegovom obodu giba se obodnom brzinom v=R , a kotač ima kinetičku energiju rotacije: Istovremeno se CM kotača giba prema naprijed brzinom v, pa kotač ima i kinetičku energiju: Ukupna kinetička energija kotrljanja je zbroj ova doprinosa: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 29

Kutna količina gibanja Za materijalnu točku kutna količina gibanja se definira kao vektorski produkt polumjera rotacije i količine gibanja, a smjer se određuje pravilom desne ruke: Ako su vektori r i P u xy-ravnini, vektor kutne količine gibanja je u +z smjeru. Njegova vremenska promjena je: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 30

Kutna količina gibanja 2 međutim: pa je: Ako se pretpostavi da neko kruto tijelo rotira oko z-osi, njegova kutna količina gibanja je također u smjeru te osi i iznosi: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 31

Kutna količina gibanja 3 međutim: pa je: promjena kutne količine gibanja je: u toj sumi sve se unutarnje sile ponište (III N. a. ) pa ostane: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 32

Precesija Ako na neko tijelo djeluje moment sile, mijenja se njegova kutna količina gibanja. Pri tome je, za mali vremenski interval t: Promjena kutne količine gibanja je vektor čiji smjer je jednak smjeru vektora momenta sile! Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 33

Precesija 2 L L L T T L L T rotacija ubrzava Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 rotacija usporava L precesija (L mijenja smjer) 34

Precesija 3 z L r CM T y mg x Zvrk: tijelo koje rotira oko osi pod kutem prema z-osi. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 35

Precesija 4 Lsin z L L y x u malom vremenskom intervalu je: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 36

Precesija 5 podijelimo sa t i u granici t 0 nalazimo: vremenska promjena kutne količine gibanja u ovom slučaju se naziva kutna brzina precesije. To je kutna brzina kojom os rotacije rotira oko z-osi: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 37

Ravnoteža i statika Statika je situacija kad tijelo miruje. (v=0, =0) Za materijalnu točku je onda (1. Newton-ov aksiom): Kruto tijelo ne smije niti rotirati: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 38

Primjer: Dva radnika nose gredu težine 600 N i dužine 6 m tako da prvi radnik (A) drži gredu na mjestu udaljenom 1 m od prednjeg kraja grede, a drugi radnik (B) na mjestu koje je 2 m udaljeno od zadnjeg kraja grede. Koju težinu nosi svaki od ta dva radnika? A T F 1 B F 2 G Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 39

Primjer: A T F 1 B F 2 G Ravnoteža ne ovisi o položaju koordinatnog sustava! Ishodište zato postavimo u hvatište sile drugog radnika (B), što eliminira moment sile F 2. Ravnoteža sila daje: Istovremeno, ravnoteža momenata sila daje: Ili: I na kraju: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 5 40