STATIKA 1 PREDAVANJE UVOD U MEHANIKU UVOD U

STATIKA 1. PREDAVANJE • UVOD U MEHANIKU • UVOD U STATIKU Doc. dr. sc. Tanja Kalman Šipoš, dipl. ing. građ.

Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Statika – 1. predavanja PRAVILA PREDMETA Obveze studenata – prisustvo na nastavi, 2 kolokvija i 1 program Uvjeti za potpis i oslobađanje: • Prisutvo na nastavi – 70% - dozvoljena 3 izostanka na predavanjima (i vježbama); • Točno i na vrijeme predan program; • Za oslobađanje od dijela ili cijelog ispita, studenti su dužni na svakom od 2 kolokvija (teorija +zadaci) ostvariti minimalno 30 od maksimalnih 50 bodova Klasičan ispit Oslobođenje od ispita VA ŽN O broj bodova 59 60 ‒ 69 Dovoljan (2) 70 ‒ 79 Dobar (3) 80 ‒ 89 Vrlo dobar (4) 90 ‒ 100 Izvrstan (5) Studenti mogu svojom aktivnošću na nastavi dobiti dodatne bodove (maksimalno 1 bod/predavanjima ili vježbama)

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Pravila predmeta – program Program se sastoji od dijela rješavanog prema zadatku (analitički) i provjere na računalu (Autodesk Robot Structural Analysis), pri čemu program treba imati sljedeći redoslijed: 1. Naslovna stranica 2. Programski zadatak 3. Zadatak točno riješen analitički, 4. Zadatak riješen (provjeren) na računalu, Predmetni nastavnik će svakog studenta tijekom predaje programa ispitati, u cilju provjere razumijevanja i samostalnosti izrađenog programa! SA 20 17 3

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 1. UVOD U MEHANIKU 1. 1. ZADATAK I PODJELA MEHANIKE MEHANIKA je znanost o općim zakonima gibanja i ravnoteže (materijalnih) tijela izloženih djelovanju sila. Prema značajkama i zadaćama koje se proučavaju i rješavaju, mehanika se dijeli na: • Statika – dio mehanike u kojem se opisuje ponašanje i ravnoteža (nepomičnog) materijalnog tijela (ili konstrukcije) na koje djeluju sile neovisno o vremenu. • Kinematika – dio mehanike u kojem se proučava geometrija gibanja tijela (promjena njegovog položaja tijekom vremena u odnosu na neko drugo tijelo), zanemarujući inercije tijela i sile koje na njih djeluju. • Dinamika – dio mehanike u kojemu se proučavaju zakoni gibanja materijalnih tijela na koje djeluju sile ovisne o vremenu, a u obzir se uzima i inercija masa koje se ubrzavaju. 4

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 1. 2. OSNOVNI ELEMENTI MEHANIKE Osnovni elementi mehanike su: Prostor: To je geometrijsko područje u kojem se prikazuje položaj tijela. On se uvijek određuje u odnosu na neki pogodan koordinatni sustav, a temelji se na mjerenju udaljenosti. Najčešće je to Descartesov pravokutni desni koordinatni sustav, u kojem je položaj neke točke A određen s tri koordinate (x, y, z), odnosno s tri duljine koje se mjere od ishodišta O. 5

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Položaj neke točke A može se odrediti i vektorom položaja r , usmjerenom veličinom koja je određena dužinom (OA) i orijentacijom u prostoru (kutovi α , β i γ prema koordinatnim osima x, y i z). Dakle, u mehanici postoje dvije vrste veličina: skalari i vektori. Skalari su neusmjerene veličine određene samo svojom brojčanom vrijednošću (veličinom), kao npr. duljina, vrijeme, masa, temperatura itd. Vektori su usmjerene veličine za čiji je opis osim brojčane vrijednosti potreban i položaj u prostoru, kao npr. sila, pomak, brzina, ubrzanje itd. 6

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Pri gibanju, svako čvrsto tijelo manje ili više mijenja svoj oblik i volumen odnosno, deformira se. Međutim, takve se promjene u praksi često mogu zanemariti jer ne utječu na gibanje tijela, pa se govori o krutom tijelu. Kod izučavanja statike važna je pretpostavka da su sva tijela idealno kruta, tj. da se ne deformiraju pod djelovanjem opterećenja. Kruto je tijelo dakle idealizirano čvrsto tijelo. Ono se pod djelovanjem opterećenja ne deformira - ne mijenja svoj oblik i dimenzije. Ako su i dimenzije takvog idealiziranog tijela nebitne za rješavanje problema njegovog gibanja, dolazi se do pojma materijalne čestice. Sila je usmjerena ili vektorska veličina koja je određena pravcem djelovanja, hvatištem, iznosom i smislom. Sila se može objasniti kao međusobno djelovanje materijalnih tijela koja nastoji promijeniti stanje gibanja tijela. Ona može tijelo ubrzati, a čvrsto tijelo i deformirati. 7

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Sila je vektorska veličina koju u općem slučaju određuju sljedeći podaci: 1) veličina (intenzitet), 2) pravac, 3) smjer i 4) hvatište (napadna točka). Grafički, sila se predstavlja u određenom mjerilu pomoću orijentirane dužine. Jedinica za silu je njutn [N]. Ovakva je predodžba "u mjerilu" uvijek nužna kada se vrše grafička zbrajanja ili oduzimanja vektora sile ili drugi grafički postupci kao npr. plan ili poligon sila, verižni poligoni sl. Iznos (intenzitet) sile je skalarna veličina i označava se sa F. 8

Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Statika – 1. predavanja Sila je u Statici vektor vezan uz pravac djelovanja, dok hvatište sile nije ovdje bitno. Ovo znači da sila može "kliziti" po svom pravcu. Ova je činjenica u Statici važna osobito kod grafičkih postupaka, ali i kod statičkog momenta sile gdje je pokazano da hvatište sile u Statici s ovoga stajališta nije bitno. Naravno u Nauci o čvrstoći se čvrsto tijelo i hvatište sile je bitno te se ona ne smije pomicati po svom pravcu. 1. 3. OSNOVNE VELIČINE U MEHANICI U mehanici se, kao i u statici, koristi Međunarodni sustav jedinica. Za mehaniku su važne sljedeće veličine: Veličina Mjera Naziv Oznaka Jedinica Naziv Duljina l m Metar Vrijeme t s Sekunda Masa m kg Kilogram Sila F N njutn 9

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 1. 4. OSNOVNI ZAKONI MEHANIKE PO NEWTONU 1. Zakon (zakon inercije) Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili stanju jednolikog pravocrtnog gibanja sve dok neka sila koja na njega djeluje ne promijeni to stanje. 2. Zakon (zakon gibanja – osnovni zakon dinamike) Ubrzanje je proporcionalno sili koja djeluje na tijelo, a zbiva se u smjeru djelovanja sile. gdje je: F– vektor sile, m – masa tijela, a – vektor ubrzanja. 3. Zakon (zakon akcije i reakcije) Dva tijela djeluju jedno na drugo silama iste veličine i pravca, a suprotnog smjera. 10

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 2. UVOD U STATIKU Statika, kao dio mehanike, definira se kao znanost o ravnoteži sila koje djeluju na materijalno tijelo, odnosno statički sustav. Drugim riječima, u okviru statike proučavaju se uvjeti koji moraju biti ispunjeni da bi sile, koje djeluju na promatrano tijelo, odnosno sustav, bile u ravnoteži. 2. 1. OSNOVNE VELIČINE U STATICI sila [N, k. N], sila koja leži na pravcu p, sila s hvatištem u točki A, rezultanta sustava sila , sila u štapu , uzdužna sila , poprečna sila , kontinuirano opterećenje [k. N/m] Moment [k. Nm] moment na točku A moment na os o 11

Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Statika – 1. predavanja 2. 2. OSNOVNI AKSIOMI STATIKE 1. Aksiom Tijelo se nalazi u ravnoteži pod djelovanjem dvaju sila samo ako su one jednake veličine i pravca, a suprotnog smjera. A B 2. Aksiom Djelovanje sustava sila na tijelo se ne mijenja ako mu se doda ili oduzme uravnotežen sustav sila. 1

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 3. Aksiom Rezultanta dviju sila koje djeluju na tijelo u točki tijela (C), djeluje u istoj točki i određena je po intenzitetu, pravcu i smjeru dijagonali paralelograma konstruiranog nad silama kao stranicama. 4. Aksiom Dva tijela djeluju jedno na drugo silama istih intenziteta i pravaca, a suprotnih smjerova 13

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 2. 3. SILA Sila je pojam koji u statici ima primarno značenje. Osim grafičkog prikaza, silu je moguće predstaviti i analitički preko komponenata, odnosno ortogonalnih (okomitih) projekcija na osi izabranog koordinatnog sustava. Razmotrimo silu F čiji pravac s osi x zatvara kut α. Za horizontalnu komponentu sile možemo pisati: gdje je: – komponenta sile (vektor) u pravcu osi x; X – projekcija sile (skalar) na os x; – jedinični vektor osi x (određuje njen pravac i smjer). 14

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja U prostornom koordinatnom sustavu, čijim su osima x, y i z, pridruženi jedinični vektori , vektor sile napisan u analitičkom obliku glasi: gdje su: – komponente sile u pravcima odgovarajućih koordinatnih osi ; X, Y i Z – projekcije sile na odgovarajuće koordinatne osi. Iz slike je vidljivo da je sila F prostorna dijagonala kvadra, koja s koordinatnim osima x, y i z zatvara kutove , i , pa vrijedi: Na osnovi Pitagorina poučka, slijedi veličina sile: 15

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Pravac sile (kosinusi pravca), dobiva se na osnovu sljedećih izraza: Prema tome, sila je analitički potpuno definirana navedenim izrazima. 16

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 2. 4. STATIKA MATERIJALNE TOČKE Ako se kruto tijelo prikaže kao točka, tada se pravci svih sila koje na njega djeluju sijeku u jednoj točki. Takav sustav sila naziva se konkurentni sustav sila. 2. 4. 1. REZULTANTA SILA Sastavljanje sila je postupak određivanja rezultante sustava sila, što je moguće napraviti grafički i analitički. Analitički je rezultanta konkurentnog sustava sila jednaka je njihovom vektorskom zbroju: 17

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Grafičko sastavljanje sila temelji se na pravilu paralelograma odnosno trokuta sila (3. aksiom). Međutim, ako se radi o većem broju sila, to pravilo se mora primijeniti više puta uzastopce. Na taj se način dobije pravilo poligona sila. Poligon sila crta se nizanjem jedne sile na drugu, tako da na kraj prethodne sile postavljamo početak sljedeće. Pravac koji se dobije spajanjem početka prve sile i kraja zadnje je rezultanta. Ona je usmjerena od početka prve prema kraju zadnje sile u nizu. 18

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja U posebnom slučaju kada sile imaju zajednički pravac djelovanja, one čine kolinearni sustav sila. Poligon takvog sustava sila je pravac, što znači da je njihova rezultanta jednaka algebarskom zbroju veličina sila, tj. : Predznak zbroja (Σ) određuje smjer rezultante. 19

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Analitičko sastavljanje sila temelji se na algebarskom zbrajanju projekcija sila na osi izabranog koordinatnog sustava. Zbroj tih projekcija na pojedinu koordinatnu os, predstavlja odgovarajuću projekciju rezultante. Kao primjer uzmimo dvije konkurentne sile čija je rezultanta određena hipotenuzom trokuta sila. Ako projiciramo trokut sila npr. na os x, na osnovu slike slijedi: Ako se radi o sustavu sila projekcija rezultante na os x ima veličinu: Naravno, analogno vrijedi i za bilo koju drugu koordinatnu os. 0

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Projekcije rezultante prostornog sustava sila na osi pravokutnog koordinatnog sustava su: gdje su , i kutevi koje svaka od sila sustava zatvara sa koordinatnim osima x, y i z. 21

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Veličina rezultante je: a njen pravac određuju kutovi koje ona zatvara s koordinatnim osima: Posebno, u slučaju da sve sile djeluju u ravnini xy, vrijedi: 22

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 2. 4. 2. RASTAVLJANJE SILE To je postupak suprotan traženju rezultante, odnosno sastavljanju sila. Rastaviti silu na komponente znači odrediti takav sustav sila u kojem je prethodno zadana rezultantna sile. Taj slučaj je rješiv samo ako su poznati pravci djelovanja sila iz sustava sila. Na taj je način silu moguće jednoznačno rastaviti u ravnini na dvije, a u prostoru na tri komponente. Grafički, sila se rastavlja na komponente pomoću paralelograma odnosno trokuta sila. 3

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 2. 4. 3. RAVNOTEŽA SILA Sustav sila koje djeluju na materijalno točku je u ravnoteži, ako je njihova rezultanta jednaka nuli (R = 0). U tom slučaju čestica ili miruje ili se giba jednoliko. Grafički uvjet ravnoteže: Poligon (trokut) sila mora biti zatvoren (kraj posljednje sile poklapa se s početkom prve). Analitički uvjeti ravnoteže: Algebarski zbrojevi projekcija svih sila na koordinatnoj osi moraju biti jednaki nuli. RAVNINA! Bitno je razlikovati RAVNOTEŽU SILA od REZULTANTE SILA! 4

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 2. 5. STATIKA TIJELA 2. 5. 1. MOMENT SILE NA TOČKU Vektorska veličina koja opisuje težnju sile da okrene tijelo oko neke točke naziva se moment sile na točku. Vektor momenta sile na točku O, definira se vektorskim (ex) produktom: gdje je: – vektor položaja hvatišta A vektora sile. Vektor prolazi kroz točku O, a okomit je na ravninu rotacije OAB u kojoj leže vektori. Veličina momenta sile na točku je: gdje je: h – krak sile (udaljenost sile od momentne točke O) 5

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Smjer momenta je određen pravilom desne ruke: Ako sila nastoji da okrene tijelo u smjeru savijenih prsta desne ruke, tada vektor momenta ima smjer ispruženog palca. Predznak momenta je pozitivan ako sila teži da okrene tijelo u smjeru suprotnom gibanju kazaljke na satu. Jedinica za moment sile je njutnmetar [Nm]. Pomicanjem sile kao klizećeg vektora duž svoga pravca djelovanja, moment sile se neće promijeniti. Međutim, promjenom položaja momentne točke O, mijenja se i moment sile. Važno: MO=0 → F = 0 ili h = 0 (sila prolazi točkom O). 6

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 2. 5. 2. MOMENT SILE NA OS Skalarna veličina koja opisuje težnju sile da okrene tijelo oko neke osi naziva se moment sile na os. Definira se kao moment projekcije sile na ravninu okomitu na tu os, za točku u kojoj os probija ravninu. Prema slici, moment sile za os z glasi: gdje je: Fxy – projekcija sile F na ravninu xy, h – krak sile u ravnini xy. 7

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Ako točka O leži na osi, tada je moment sile na os jednak projekciji vektora momenta sile na točku za tu os: 8

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 2. 5. 3. MOMENTNO PRAVILO Razmotrimo sustav sila Njihova rezultanta je: s hvatištem u točki A. To je momentno pravilo ili Varignonov teorem koji glasi: moment rezultante za neku točku jednak je zbroju momenata njenih komponenata za istu točku. Na momentnom pravilu temelji se i određivanje položaja rezultante sustava paralelnih sila. Veličina rezultante jednaka je zbroju projekcija svih sila na os paralelnu tim silama. Pravac rezultante paralelan je silama, a smjer mu određuje predznak zbroja. Položaj rezultante slijedi na osnovi momentnog pravila za neku točku O: R 9

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 2. 5. 4. SPREG SILA Spreg sila čine dvije jednake paralelne sile suprotnog smjera. Iako nema rezultantu takav sustav sila nije u ravnoteži već on nastoji okrenuti tijelo u svojoj ravnini. Moment sprega sila za neku točku O u ravnini sprega iznosi: Očito je da moment sprega sila ne ovisi o položaju točke O (udaljenost b nema utjecaja). Međusobna udaljenost između sila a naziva se krak sprega. Moment sprega sila M je okomit na ravninu sprega. Smjer mu je određen pravilom desne ruke. Važno je istaknuti da je moment sprega sila M slobodan vektor, što znači da se može slobodno paralelno pomicati u bilo koju točku ravnine sprega. 30

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja 2. 5. 5. REDUKCIJA SUSTAVA SILA Djelovanje sile na kruto tijelo neće se promijeniti ako je pomaknemo paralelno u drugu točku i dodamo spreg sila, čiji je moment jednak momentu sile za tu točku. Ovaj postupak naziva se redukcija sile na točku i može se primijeniti i na bilo koji sustav sila Fi (i = 1, 2, . . . , n) 31

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet Osijek Preddiplomski studij arhitekture i urbanizma Statika – 1. predavanja Ako se sve sile nekog sustava sila reduciraju na proizvoljnu točku O, tada u njoj djeluju sustavi konkurentnih vektora sila i spregova sila momenata M. Vektorski zbroj svih sila naziva se glavni vektor sustava sila FR, a vektorski zbroj svih momenata spregova sila M naziva se glavni moment MR sustava sila za točku O. Redukcija sustava sila na neku točku predstavlja svođenje takvog sustava na jednostavniji oblik. 32