Univerzitet u Novom Sadu Tehniki fakultet Mihajlo Pupin

Univerzitet u Novom Sadu Tehnički fakultet “Mihajlo Pupin” Zrenjanin TEORIJSKA MEHANIKA KINEMATIKA dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš. Zrenjanin, 2016/2017.

n Ravno kretanje krutog tela n Proizvoljno kretanje (opšte kretanje slobodnog krutog tela)

Ravno kretanje krutog tela Ako se telo kreće u ravni (Sl. 1) a to kretanje nije samo obrtanje oko ose a nije ni samo translatorno, onda je to kretanje takvo da istovremeno sadrži i rotaciju i translaciju i naziva se ravnim kretanjem. Kretanje krutog tela naziva se ravnim, ako se sve njegove tačke kreću (pomeraju) paralelno prema nekoj nepomičnoj ravni π, odnosno ako su brzine svih tačaka paralelne nekoj nepomičnoj ravni.

I kod ravnog kretanja, kao i kod obrtanja oko nepomične ose jedna od jednačina kretanja je zavisnost ugla rotacije od vremena t. Ugao rotacije se definiše kao ugao između ma koje nepokretne prave (ovde x ose) i ma koje prave koja pripada telu (ovde prave AB).

Primeri ravnog kretanja krutih tela

Potpuno identično, kao što važi za slučaj obrtanja oko nepomične ose, prvi izvod ugla rotacije po vremenu daje ugaonu brzinu tela a drugi izvod ugla rotacije po vremenu, tj. prvi izvod ugaone brzine, daje ugaono ubrzanje tela , dakle: Za slobodno kruto telo koje vrši ravno kretanje (sl. 1), s obzirom da tri promenljive koordinate u potpunosti određuju položaj tela, postoje tri jednačine koje definišu njegovo kretanje. Osim već pomenute jednačine druge dve mogu, da budu x i y koordinata ma koje proizvoljne tačke tela. Dakle, jednačine kretanja za slobodno kruto telo koje vrši ravno kretanje (Sl. 1) su:

Međutim, ako je telo koje vrši ravno kretanje podvrgnuto nekim vezama (kao na primer na slici 2) broj jednačina kretanja (samim tim i broj stepeni slobode kretanja) se umanjuje za broj veza. Tako, za ravno kretanje štapa kao što je prikazano na slici 2 kretanje je definisano samo jednom jednačinom kretanja Tačka A štapa je primorana da se uz pomoć klizača kreće duž vertikalne prave a slično tome tačka B se kreće pravolinijski u horizontalnom pravcu. Da je štap na mestu A ili mestu B bio slobodan (bez klizača koji bi na tom mestu sputavao kretanje), postojala bi samo jedna veza a samim tim dve jednačine kretanja.

Razlaganje kretanja na translatorno i obrtno Razmotrimo dva uzastopna položaja I i II koje zauzima presek S pokretnog tela u trenucima vremena Pomerimo telo najpre translatorno - translatorno kretanje: A 1 u A 2 i B 1 u (duž A 1 B 1 se pomera na ) Na isti način telo možemo okrenuti oko pola A 2 i premestiti telo iz položaja II u položaj III - obrtno kretanje: pomeranje tačke za ugao

- brzina i ubrzanje za translatorno kretanje - ugaona brzina i ugaono ubrzanje za obrtno kretanje Iz slike vidimo da je:

Određivanje brzina tačaka krutog tela koje vrši ravno kretanje Prema izloženoj teoriji, za ma koje dve tačke tela koje vrši ravno kretanje, na primer A i B, važi sledeća vektorska jednačina koja povezuje vektore brzina tih tačaka

gde se vektor čita „ve be u odnosu na a“ (odnosno „Vektor brzine tačke B odnosu na tačku A“). Ono što bi bio vektor , u zamisli da tačka koja se nalazi u gornjem indeksu „A“ nema kretanja (u toj zamisli tačka koja se nalazi u donjem indeksu „B“ ima kružnu putanju čiji je centar u tački A, poluprečnika AB ), je vektor

Činjenice o pravcu, smeru i intenzitetu vektora poput 1. Crta se u tački B (tački koja se nalazi u donjem indeksu) i ima pravac koji je upravan na duž AB ( ) 2. Smer mu je u skladu sa smerom ugaone brzine (vidi sl. 1) 3. Intenzitet vektora je jednak proizvodu ugaone brzine tela i rastojanja tačaka A i B, Primer:

Određivanje ubrzanja tačaka krutog tela koje vrši ravno kretanje Prema izloženoj teoriji, za ma koje dve tačke tela koje vrši ravno kretanje, na primer A i B, važi sledeća vektorska jednačina koja povezuje vektore ubrzanja tih tačaka gde se vektor čita „a be u odnosu na a normalno“ (odnosno „Vektor normalnog ubrzanja tačke B odnosu na tačku A“) a vektor se čita „a be u odnosu na a tangencijalno“ (odnosno „Vektor tangencijalnog ubrzanja tačke B odnosu na tačku A“).

Za vektore koji se crtaju u tački B, važe sledeća pravila: 1. je uvek usmeren od tačke u donjem indeksu ka tački u gornjem indeksu (dakle, u ovom slučaju „od B ka A“), intenzitet vektora 2. ima pravac koji je upravan na duž AB smer vektora je u skladu sa smerom ugaonog ubrzanja ε, intenzitet vektora

Primer:

Teorema o projekciji vektora brzina na zajedničku pravu Za dve tačke koje pripadaju telu što vrši ravno kretanje projekcije vektora brzina na zajedničku pravu moraju biti jednake:

Dokaz (slika): Projektovanjem vektorske jednačine na izabranu x osu, dobija se:

Proizvoljno kretanje (opšte kretanje slobodnog krutog tela) Opšte kretanje slobodnog krutog tela jeste takvo kretanje pri kome se telo može pomerati bilo kako u prostoru. Položaj tela (slika) prema koordinatnom sistemu referencije Oxyz određen je položajem triju bilo kojih tačaka A, B i C koje ne leže na jednoj pravoj. Da bi telo prešlo iz položaja I u položaj II, najpre možemo pomeriti telo translatorno, tako da izabrana tačka A 1 pređe u položaj A 2. Telo sada zauzima položaj I´. A onda obrnemo telo oko pola A 2, odnosno oko ose A 2 D.

Slobodno kretanje krutog tela u najopštijem slučaju se može rastaviti na dva komponentna kretanja - translatorno, pri kome se sve tačke tela kreću istom brzinom kao i proizvoljno izabrani pol A, i niza obrtnih kretanja ugaonom brzinom ω oko trenutnih obrtnih osa, koje prolaze kroz pol A. Takva kretanja su npr. bačen kamen, artiljerijsko zrno.

Hvala na pažnji!