Univerzitet u Novom Sadu Tehniki fakultet Mihajlo Pupin

Univerzitet u Novom Sadu Tehnički fakultet “Mihajlo Pupin” Zrenjanin TEORIJSKA MEHANIKA DINAMIKA dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš. Zrenjanin, 2016/2017.

n n n Dinamika sistema i krutog tela; masa sistema, središte sistema materijalnih tačaka Diferencijalne jednačine kretanja sistema Zakoni dinamike sistema - zakon o promeni količine kretanja materijalnog sistema Zakoni dinamike sistema - zakon o promeni kinetičke energije materijalnog sistema Zakoni dinamike sistema - zakon o održanju mehaničke energije

DINAMIKA MATERIJALNOG SISTEMA Materijani sistem je skup materijalnih tačaka čija su kretanja i položaji međusobno zavisni Slobodni materijalni sistem - sistem materijalnih tačaka čije kretanje nije ograničeno nikakvim vezama Vezani materijalni sistem (neslobodni materijalni sistem) - sistem tačaka čije je kretanje ograničeno vezama Diskretni sistem - materijalne tačke koje obrazuju sistem se nalaze na međusobno konačnim rastojanjima ih konačan broj (materijalni sistem u užem smislu).

Materijalno telo – oblast prostora ispunjena neprekidno raspoređenom masom. Ako su mase u nekom delu prostora neprekidno raspoređene, tada tačaka ima beskonačno mnogo i sistem obrazuje neprekidnu sredinu. Kruto telo - pod dejstvom sila ne menja svoj oblik i dimenzije - međusobno rastojanje pod dejstvom sila za vreme kretanja se ne menja Sve sile koje deluju na tačke ili tela posmatranog sistema dele se na spoljašnje i unutrašnje sile. Fs - Spoljašnje sile - sile kojima materijalne tačke ili tela koja ne ulaze u sastav posmatranog sistema deluju na tačke ili tela posmatranog sistema. Fu - Unutrašnje sile - sile kojima tačke ili tela posmatranog sistema dejstvuju jedna na drugu.

Osobine unutrašnjih sila koje deluju na sistem: Vektorski zbir (glavni vektor) svih unutrašnjih sila materijalnog sistema jednak je nuli Saglasno Trećem Njutnovom zakonu dve tačke deluju na drugu silama istog pravca i intenziteta a suprotnog smera, pa u vektorskom zbiru (1) te sile ulaze u paru i zato je zbir nula.

Vektorski zbir momenata (glavni moment) svih unutrašnjih sila materijalnog sistema u odnosu na proizvoljno izabrani nepokretni pol O jednak je nuli.

Masa materijalnog sistema Kretanje materijalnog sistema osim od sila koje dejstvuju na njega, zavisi takođe od ukupne mase sistema i od rasporeda masa u tom sistemu. Masa materijalnog sistema jednaka je algebarskom zbiru masa svih tačaka ili tela koje obrazuju sistem Središte – centar mase materijalnog sistema Centar mase sistema ili središte mase materijalnog sistema je geometrijska tačka C, čiji je položaj u odnosu na izabrani sistem referencije xyz određen vektorom položaja:

Diferencijalne jednačine kretanja materijalnog sistema Diferencijalna jednačina kretanja i – te tačke: rezultanta svih spoljašnjih sila koje deluju na tačku i rezultanta svih unutrašnjih sila koje deluju na tačku i

Ako ima n tačaka materijalnog sistema, onda ima 3 n skalarnih diferencijalnih jednačina drugog reda kojima se opisuje kretanje razmatranog sistema, a jednačine su diferencijalne jednačine kretanja materijalnog sistema. gde je i=1, 2, 3, . . . n.

, OPŠTI ZAKONI MATERIJALNOG SISTEMA Zakon o promeni količine kretanja materijalnog sistema Količina kretanja materijalnog sistema naziva se vektor koji je jednak vektorskom zbiru količina kretanja – glavnom vektoru količina kretanja svih tačaka sistema kako je sledi da je

kako je sledi m - masa celokupnog sistema (konstanta), rc - vektor sedišta masa, proizilazi da je Vektor količine kretanja materijalnog sistema jednak je proizvodu mase sistema i vektora brzine centra mase materijalnog sistema, ima pravac i smer vektora brzine središta mase sistema. Projekcije vektora količine kretanja na ose Dekartovog koordinatnog sistema

Zakon o promeni količine kretanja materijalnog sistema u diferencijalnom obliku dobijamo Zakon o promeni količine kretanja u diferencijalnom obliku: izvod po vremenu vektora količine kretanja materijalnog sistema jednak je vektoru spoljašnjih sila koje deluju na sistem. Promenu količine kretanja izazivaju samo spoljašnje sile koje dejstvuju na sistem.

Zakon o promeni količine kretanja materijalnog sistema u integralnom obliku K 1 - količina kretanja u trenutku t K 0 - količina kretanja u trenutku t 0 I - impuls glavnog vektora spoljašnjih sila koje dejstvuju na sistem Zakon o promeni količine kretanja u integralnom obliku: priraštaj količine kretanja materijalnog sistema u konačnom intervalu vremena jednak je vektorskom zbiru impulsa svih spoljašljih sila koje deluju na materijalni sistem u tom istom intervalu vremena.

Zakon o promeni kinetičke energije materijalnog sistema Kinetička energija materijalnog sistema jednaka je zbiru kinetičkih energija svih tačaka koje čine sistem. mi i vi – masa i brzina i – te tačke, Eki – kinetička energija i – te tačke. Zakon o promeni kinetičke energije za bilo koju tačku materijalnog sistema, na primer za tačku 1 elementarni radovi spoljašnjih sila koje deluju na tačku 1 elementarni radovi unutrašnjih sila koje deluju na tačku 1

Zakon o promeni kinetičke energije materijalnog sistema u diferencijalnom obliku Sabiranjem elementarnih promena kinetičke energije, za sve začke sistema dobija se: pa je zakon o promeni kinetičke energije sistema u diferencijalnom obliku: Ek –ukupna kinetička energija materijalnog sistema, d. As– ukupan elementarni rad spoljašnjih sila d. Au– ukupan elementarni rad unutrašnjih sila. Priraštaj kinetičke energije sistema pri elementarnom pomeranju jednak je algebarskom zbiru elementarnih radova svih spoljašnjih i unutrašnjih sila.

Zakon o promeni kinetičke energije materijalnog sistema u integralnom obliku Ek 1 i Ek 0 – kinetičke energije sistema u položajima jedan i nula, – ukupni radovi spoljašnjih i unutrašnjih sila između ova dva položaja. Rad unutrašnjih sila je kod neizmenjivih sistema (rastojanje između dve tačke se ne menja) jednak nuli.

Zbir elementarnih radova ovih sila je: Ako je telo kruto–nedeformabilno, rastojanje između bilo koje dve tačke je nepromenjivo

Zakon o promeni kinetičke energije neizmenljivog materijalnog sistema Ako je telo vezano, oslobodi se veza i uticaj veza se nadoknadi reakcijama veza. Takvo telo se smatra slobodnim, a na njega deluje sistem spoljašnjih sila – aktivne sile i reakcije veza.

Zakon o održanju mehaničke energije Pojam o potencijalnoj energiji Sile koje deluju na materijalnu tačku mogu biti i sile koje zavise samo od položaja tačke. Polje sile je deo prostora gde na svaku tačku deluje sila potpunog određenog smera. pravca i intenziteta (npr. polje gravitacije planeta ili Sunca). Ako rad izvršen od strane sila polja zavisi samo od početnog i krajnjeg polođaja tačke , a ne i od putanje, takvo polje se zove konzervativno (potencijalno) polje sile, a sile koje deluju u tom polju konzervativne (potencijalne) sile (npr. sila teže, elastična sila u opruzi, gravitaciona sila). Sile čiji rad zavisi od oblika putanje zovu se nekonzervativne (nepotencijalne) sile (npr. sila trenja, sila otpora)

Kada govorimo o konzervativnim silama, uvodimo pojam potencijalne energije, koja karakteriše tzv. "rezervu rada", kojom raspolaže materijalna tačka. Potencijalnom energijom materijalne tačke u datom položaju M naziva se skalarna velčina Ep, koja je jednaka onom radu, koji izvrše sile polja pri pomeranju tačke iz položaja M u nulti položaj. Rad konzervativne (potencijalne) sile jednak je razlici vrednosti potencijalne energije pokretne tačke u njenom početnom i krajnjem položaju: Ako sve sile koje deluju na sistem (i unutrašnje i spoljašnje) jesu konzervativne, tada će rad tih sila biti jednak:

Ako ovaj izraz za rad zamenimo u zakon o promeni kinetičke energije, dobijamo: Pri kretanju tela pod dejstvom konzervativnih sila zbir kinetičke i potencijalne enerije sistema u svakom položaju sistema ostake konstantna veličina. U ovome se sastoji zakon o održanju mehaničke energije koji se javlja kao poseban slučaj opšteg fizičkog zakona o održanju mehaničke energije.

Veličina zove se ukupna mehanička energija sistema.

Hvala na pažnji!