Univerzitet u Novom Sadu Tehniki fakultet Mihajlo Pupin

Univerzitet u Novom Sadu Tehnički fakultet “Mihajlo Pupin” Zrenjanin TEORIJSKA MEHANIKA DINAMIKA dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš. Zrenjanin, 2016/2017.

n Uvod u dinamiku n Diferencijalne jednačine kretanja materijalne tačke (dva osnovna zadatka dinamike materijalne tačke, pravolinijsko kretanje materijalne tačke, krivolinijsko kretanje materijalne tačke pod dejstvom konstantne sile) n Zakoni dinamike materijalne tačke (Njutnovi zakoni); Primeri

Uvod u dinamiku Dinamika je deo teorijske mehanike u kome se izučavaju zakoni kretanja materijalnih tela pod dejstvom sila. Zadatak i istorijski razvoj dinamike U dinamici se uzima u obzir materijalnost tela kao i sile koje dejstvuju na pokretna tela. (Podsetimo se: u statici su proučavani uslovi ravnoteže materijalnih objekata pod dejstvom sila, kao i deformacije tela koje nastaju u stanju mirovanja; u kinematici, kao delu dinamike, proučava se kretanje materijalnih objekata nezavisno od dejstava koja se tokom kretanja javljaju)

Pretpostavke : tela su kruta – pod dejstvom spoljašnjih sila se ne deformišu; prostor u kome se kreću tela je idealizovan geometrijski prostor čije osobine ne zavise od kretanja materije u njemu – apsolutan prostor, što je pretpostavka klasične mehanike. Kretanje je apsolutno – određuje se u odnosu na apsolutno nepokretni sistem referencije – heliocentrični sistem – vezan za Sunce; vreme u klasičnoj mehanici (teče) u svim sistemima referencije i ne zavisi od uticaja bilo kakvih spoljašnjih faktora.

Veličina koja zavisi od količine materije jednog tela, koja određuje pojam inertnosti zove se masa tela, i to je treći osnovni pojam pored prostora i vremena koji karakteriše materijalni svet. Inertnost je prirodna tendencija tela da ostane u stanju mirovanja ili ravnomernog kretanja po pravoj liniji i jedna je od osnovnih osobina tela. Masa tela je kvantitativna mera inertnosti. Inercija se odnosi na mirovanje ili kretanje tela bez obzira na njihovu masu, a inertnost je opiranje promeni stanja kretanja.

Osim navedenih veličina u opštem slučaju karakter jednog tela može da zavisi i od geometrijskih dimenzija, a takođe i od rasporeda mase u posmatranom telu. Pri proučavanju najprostih problema dinamike isključuju se dimenzija tela i raspored mase u samom telu, a uvodi se pojam materijalne tačke. Materijalna tačke je telo koje ima svoju masu, čije dimenzije pri proučavanju njegovog kretanja mogu da se zanemare.

Dinamika izučava veoma veliki broj problema, zbog toga je prirodno podeliti proučavanje u dinamici na (podela dinamike prema rasporedu masa): • Dinamiku materijalne tačke, • Dinamiku sistema materijalnih tračaka I • Dinamiku krutog tela.

Prvi zadatak dinamike – ako je poznat zakon kretanja tačke ili tela treba odrediti sile koje proizvode to kretanje. Drugi zadatak dinamike – ako se znaju sile koje dejstvuju na materijalnu tačku ili telo može se odrediti kretanje tačke ili tela.

OSNOVNI ZAKONI DINAMIKE Dinamika materijalne tačke, koja očigledno može da zameni čitav sistem, obuhvata izučavanja zakona tela pod uticajem sila koje na njih dejstvuju. Ovo izučavanje počiva na zakonima do kojih se došlo putem čitavog niza opita i opažanja, i oni se ne dokazuju. Ispravnost ovih zakona su potvrđena i potvrđuju se u praksi. Zato je na osnovu njih moguće prognozirati i kretanje tela u prirodi. Sistematiku tih zakona prvi put je izložio Isak Njutn u svom istorijskom delu “Matematički osnovi prirodne filozofije” koju je izdao 1687. godine. Često se sa pravom kaže da se dinamika zasniva na Njutnovim zakonima.

Osnovne zakone dinamike postavili su: Galileo Galilei (1564 -1642) • uveo pojam brzine i ubrzanja • prvi formulisao zakon inercije • zakon slobodnog pada tela Sir Isaac Newton (1643 -1727) • potpuno formulisao osnovne zakone dinamike • klasična mehanika naziva se i Njutnovom mehanikom

Daniel Bernoulli (1700 -1782) Jonhannes Kepler (1571 -1630) Nicolaus Copernicus (1473 -1543)

Leonhard Euler (1707 -1783) Joseph Louis Lagrange (1736 -1813) Karl Friedrich Gauss (1777 -1855)

Formulišimo sada Njutnove zakone mehanike. Iako se smatraju temeljima klasične mehanike, oni se odnose samo na materijalnu tačku. Oslanjajući se na njih, Ojler je čitav vek posle Njutna postavio osnove kinematike i dinamike krutog tela. Prvi zakon - zakon inercije Telo ostaje u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok pod dejstvom sila ne promeni to stanje. (ovaj zakon je pre Njutna bio poznat i Galileju još 1638 god. )

Drugi zakon – osnovna jednačina dinamike Promena kretanja proporcionalna je sili koja dejstvuje i vrši se u pravcu dejstva sile Masa i težina su dva različita pojma. Težina je sila kojom Zemlja privlači telo, a masa je konstanta, karakteristika tela, koja postoji i u bestežinskom stanju (kada je težina jednaka nuli). Sila Zemljine teže (gravitaciono privlačenje od strane Zemlje) deluje na telo, a težina tela deluje na podlogu (ili na neko drugo telo).

Na osnovu ovog zakona moguće je odrediti masu tela ako je poznato njegovo ubrzanje pri translatornom kretanju, a takođe i silu koja dejstvuje na telo. Eksperimentalno je utvrđeno da sva tela pod dejstvom sile teže pri padanju na zemlju, zanemarujući otpore, imaju jedno te isto ubrzanje g, (ubzanje teže) i da se ono menja samo u zavisnosti od geografske širine i od nadmorske visine, ali se pri tome menja i težina tela G, tako da je konstantan odnos za tela koja se translatorno kreću.

Za slobodno padanje, na osnovu drugog Njutnovog zakona biće: Ubrzanje materijalne tačke je: a) direktno proporcionalno rezultanti sila koja deluju na tačku, b) istog smera kao rezultanta sila koja deluju na tačku, c) obrnuto proporcionalno masi tačke.

Treći zakon – zakon o jednakosti akcije i reakcije Dejstvo akcije jednako je protivdejstvu (reakciji) ili dva tela deluju jedno na drugo silama koje su istog intenziteta, istih pravaca a suprotnih smerova. Sila kao mera mehaničkog uzajamnog dejstva materijalnih tela je u potpunosti određena Njutnovim zakonima.

Prvi zakon utvrđuje uslove za postojanje sile, drugi zakon pokazuje kako se meri intenzitet sile, a treći zakon pokazuje da je za postojanje sile potrebno bar dva tela. Sila je vektorska veličina, određena je intenzitetom, pravcem i smerom. Za razliku od statike, gde su sile konstantnog intenziteta, u mehanici uopšte, sila je promenljiva vektorska veličina i može da zavisi od vremena, položaja tela i brzine kretanja tela ili tačke (Njutn-Laplasov princip određenosti).

Neki tipovi sila u mehanici: Gravitaciona sila Sila potiska Sila normalne reakcije podloge Sila zatezanja Elastična sila opruge Sila trenja

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE KRETANJA SLOBODNE MATERIJALNE TAČKE Materijalna tačka je slobodna ako se pod dejstvom sila može kretati na proizvoljan način u prostoru u saglasnosti sa drugim Njutnovim zakonom.

Primena diferencijalnih jednačina kretanja materijalne tačke na rešavanje prvog i drugog zadatka dinamike tačke Prvi zadatak dinamike – poznat je zakon kretanja materijalne tačke, treba odrediti silu koja deluje na materijalnu tačku. Kretanje tačke dato u Dekartovim koordinatama: x = f 1 (t), y = f 2 (t), z = f 3 (t) Da bi odredili silu treba odrediti drugi izvod jednačina kretanja i pomnožiti ih sa masom:

Drugi zadatak dinamike – poznate su sile koje deluju na telo, treba odrediti jednačine kretanja tela, odnosno tačke.

Pravolinijsko kretanje tačke pod dejstvom sile konstantnog intenziteta Slobodan pad u bezvazdušnom prostoru Tačaka mase m pada iz položaja M 0 bez početne brzine, u polju zemljine teže, sa visine h koja je mala u odnosu na poluprečnik zemlje, pa se tada može smatrati da je sila konstantna. Ako se zanemati otpor vazduha, onda je sila težine G jedina sila koja deluje na tačku.

Vertikalni hitac u bezvazdušnom prostoru Ako je tačaki u početnom položaju saopštena brzina vertikalno naviše onda se takvo kretanje zove vertikalni hitac. Zanemaruje se otpor vazduha.

Krivolinijsko kretanje tačke Kosi hitac u bezvazdušnom prostoru Kosi hitac se zove kretanje koje nastaje kada se materijalna tačka izbaci pod oštrim uglom u odnosu na horizont početnom brzinom v 0. Na materijalnu tačku u toku vremena deluje samo sila zemljine teže. Ugao pod kojim je materijalna tačka izbačena je elevacioni ugao. Usvojen je koordinatnii sistem Oxyz sa koordinatnim početkom u početnom položaju tačke.

Horizontalni hitac Ako je telo koje se nalazi iznad horizonta bačeno horizontalnom brzinom onda se kretanje koje nastaje zove horizontalni hitac. Zanemarujemo otpora vazduha.

Hvala na pažnji!