Univerzitet u Novom Sadu Tehniki fakultet Mihajlo Pupin

Univerzitet u Novom Sadu Tehnički fakultet “Mihajlo Pupin” Zrenjanin TEORIJSKA MEHANIKA KINEMATIKA dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš. Zrenjanin, 2016/2017.

n n n Osnovni zadatak kinematike krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose, ugaona brzina, ugaono ubrzanje

Osnovni zadatak kinematike krutog tela Vrste kretanja krutog tela 1. translatorno kretanje; 2. obrtanje oko nepomične ose; 3. obrtanje oko nepomične tačke; 4. ravno kretanje; 5. opšte (proizvoljno kretanje) kretanje krutog tela; 6. složeno kretanje. Zadatak kinematike krutog tela 1. određivanje karakteristika kretanja krutog tela kao celine (ugaona brzina, ugaono ubrzanje); 2. određivanje karakteristika kretanja tačaka tela (putanja tačke tela, brzina, ubrzanje tačke tela).

Translatorno kretanje krutog tela Kod translatornog kretanja tela svaka njegova uočena duž, npr. AB (Sl. 1), tokom kretanja ne menja svoj pravac (tj. u svakom trenutku je paralelna svom početnom pravcu A 0 B 0). Zbog toga je: AB =const. Vektori brzina svih tačaka tela koje se translatorno kreće u nekom tenutku vremena moraju biti isti (Sl. 2). Vektori ubrzanja takođe.

, Ovo kretanje ne treba mešati sa pravolinijskim kretanjem. Pri ovom kretanju putanje tačaka mogu da budu ma kakve krive linije to jest translacija može da bude kako pravolinijska tako i krivolinijska. Pri translatornom kretanju sve tačke tela opisuju istu putanju i imaju istu brzinu i ubrzanje u svakom trenutku vremena i po intezitetu pravcu i smeru. Dokaz (slika):

Za određivanje brzine tačaka A i B potrebno je diferencirati obe strane jednačine po vremenu. Međutim izvod konstantnog vektora pa je iz jednačine Diferenciranjem obe strane jednačine po vremenu dobijamo:

Obrtno kretanje krutog tela Obrtnim kretanjem naziva se takvo kretanje krutog tela pri kome bilo koje dve tačke koje pripadaju telu (ili su sa njim čvrsto vezane) ostaju za sve vreme nepomične (sa slike prava AB koja prolazi kroz nepomične tacke A i B naziva se obrtna osa) Uočimo dve ravni: 1. ravan koja je nepomična - obeležena sa I i 2. ravan koja je čvrsto vezana za kruto telo tako da se obrće zajedno sa njim - obeležena sa II Položaj tela biće u svakom trenutku određeno uglom Ovaj ugao se meri u radijanima - obrtni ugao (ugao obrtanja tela).

- ova jednačina predstavlja zakon obrtnog kretanja tela Osnovne kinematičke karakteristike obrtnog kretanja krutog tela su ugaona brzina i ugaono ubrzanje Ako se za vremenski interval telo okrene za ugao onda će srednja ugaona brzina biti: Ugaonom brzinom tela u trenutku t naziva se veličina kojoj teži srednja ugaona brzina kada vremenski interval teži nuli: Na osnovu toga ugaona brzina u datom trenutku vremena brojčano je jednaka prvom izvodu obrtnog ugla po vremenu.

jer je radijan veličina bez dimenzije Ugaono ubrzanje karakteriše promenu ugaone brzine obrtanja tela tokom vremena. Ako onda je srednje ugaono ubrzanje

Ugaono ubrzanje tela u datom trenutku vremena brojčano je jednako prvom izvodu ugaone brzine ili pak drugom izvodu obrtnog ugla tela po vremenu. Dimenzija ugaonog ubrzanja je

Ubrzano kretanje - vektor brzine i ubrzanja imaju isti smer i pravac Usporeno kretanje - vektor brzine i ubrzanja imaju isti pravac a suprotan smer

Brzina i ubrazanja tačaka tela koje vrši obrtno kretanje v je linearna ili obimna brzina tačke. Obimna brzina tačke na telu koje se obrće oko nepomične ose brojčano je jednako proizvodu iz ugaone brzine obrtanja tela i rastojanja posmatrane tačke tela od obrtne ose.

Primeri: 1. Trougaona ploča kreće se translatorno pravolinijski. Jednačina kretanja njene tačke A, a samim tim i ploče, je: Odrediti i skicirati vektore brzina i ubrzanja tačaka A i B i C u trenutku t = 1 s ?

2. Sistem čine teret A, koji se kreće vertikalno naniže, i dva doboša 1 i 2, koji vrše obrtanja oko zglobova O 1 i O 2, postavljenih u njihovim centrima. Doboš 1 je sačinjen od dva kruto vezana diska, poluprečnika r 1 i R 1 a doboš 2 je poluprečnika R 2. Nerastegljivo uže, namotano na veći disk doboša 1 na svom kraju je vezano za teret A. Uže pri kretanju ne proklizava u odnosu na disk. Pri kretanju sistema, manji disk doboša 1 uz pomoć trenja prouzrokuje obrtanje doboša 2 tako da nema proklizavanja između njih. Odrediti zakone obrtnih kretanja doboša (t) i (t) ako je zakon kretanja tereta Veličine r 1, R 2 i b smatrati poznatim.

Mehanički sistem, prikazan na slici ima jedan stepen slobode kretanja zato što jedna koordinata, na primer x, određuje u potpunosti njegov položaj. To znači da sve druge koordinate, kao što su ovde i , mogu biti izražene preko x. Za nalaženje traženih veza između ovih koordinata traže se prvo veze na nivou brzina i ugaonih brzina

Važno je znati da ako između dva elementa koji se sprežu nema proklizavanja (tj. odvija se kotrljanje bez klizanja) vektori brzina dodirnih tačaka tih elemenata moraju biti jednaki. Na taj način je na slici, gde su odvojeno prikazani teret sa pravolinijskim delom nerastegljivog užeta, doboš 1 i doboš 2, konstatovana jednakost brzina dodirnih tačaka ovih doboša zbog čega je

Takođe je važno znati da, kada namotano uže na doboš pri kretanju (odmotavanju ili namotavanju) ne proklizava u odnosu na njega vektori brzina tačke užeta i tačke doboša nad kojom se ona nalazi su jednaki. Na taj način je na slici konstatovana jednakost brzina tačke Bu na užetu i tačke B 1 doboša 1 nad kojom se ona nalazi što je dovelo do veze Diferenciranjem gornjih veza po vremenu dobijaju se sledeće veze između ubrzanja

Integraljenjem dobijenih veza uz nulte početne uslove (to su takvi uslovi gde se podrazumeva da koordinate i imaju vrednost nula kada je i x koordinata jednaka nuli) dobijaju se veze između samih koordinata Na prethodnoj slici konstatovana je i jednakost brzina tačaka A i Bu , koja je posledica činjenice da pravolinijski deo užeta vrši translatorno kretanje. Na osnovu veza koordinata lako se dobijaju traženi zakoni:

Hvala na pažnji!