Filas MM1 MM1 l l l o exemplo

Filas M/M/1

M/M/1 l l l É o exemplo mais simple de um PNM. Servidor único Processos de chegada Poisson Tempo de serviço com distribuição exponencial. Política de serviço FIFO Chegadas de Poisson k Serviço exponencial

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

M/M/1 l Exemplo 1: seja a seguinte representação de uma rede de comutação de pacotes k k �k = �: taxa de chegada dos pacotes ao nó �k = �: taxa de saída dos pacotes para o canal

M/M/1 l Segundo a solução de PNM se tem que: Por outro lado, a condição de normalização estabelece que: Portanto, se :

M/M/1 l Segundo a solução de PNM se tem que: Por outro lado, a condição de normalização estabelece que: Portanto, se :

M/M/1 De onde: O tempo médio de permanência no sistema, igual ao tempo de espera mais o tempo de serviço, se obtém pela fórmula de Little:

M/M/1 l Exemplo 2: considera-se agora o mesmo sistema de filas M/M/1 do exemplo anterior, porém a taxa de serviço é 2�.

M/M/1 l O valor médio do número de pacotes no sistema é: O tempo médio de permanência no sistema é:

Gráfico comparativo E[s] M/M/1 ( ) M/M/1 (2 0 0, 2 0, 4 0, 6 /2 0, 8 1 E[s]= tempo de resposta normalizado

Análise de um concentrador A ocupação média de um buffer de um concentrador de dados pode ser calculada para diferentes casos. Neste tipo de equipamento, os pacotes que entram de terminais a ele conectados são armazenados por ordem de chegada em um buffer, e são então lidos em FIFO sobre um enlace de saída de transmissão.

Análise de um concentrador l l 10 terminais estão conectados ao concentrador Cada um gera um pacote a cada 8 segundos (distribuição exponencial) Pacotes têm 960 bits de comprimento em média (distribuição exponencial) Linha de saída com capacidade de 2400 b/s F Ocupação média do buffer = E [n] = ? F Atraso médio no sistema = E [T] = ? F Tempo médio de espera na fila = E [W] = ?

Análise de um concentrador l Modelo: para modelar o buffer será usada uma fila M/M/1 Ocupação média do buffer Portanto:

Análise de um concentrador Atraso médio, usando a Lei de Little: Tempo médio de espera:

Análise de um concentrador l Cada terminal gera pacotes a cada 5 seg em média. Encontre a ocupação média do buffer E[n], o atraso médio E[T] e a média do tempo de espera E[W]. Para modelar o buffer será usada uma fila M/M/1. Ocupação média do buffer:

Análise de um concentrador Atraso médio, usando a Lei de Little: Tempo médio de espera:

Filas M/M/C

M/M/C l l l E[t] = 1/�=: tempo médio entre chegadas ao sistema E[x] = 1/�: tempo médio dos clientes em serviço u = E[x]/E[t] = �/�: intensidade de tráfego C: número de servidores A utilização de um servidor é então:

M/M/C l l l E[t] = 1/�=: tempo médio entre chegadas ao sistema E[x] = 1/�: tempo médio dos clientes em serviço u = E[x]/E[t] = �/�: intensidade de tráfego C: número de servidores A utilização de um servidor é então:

M/M/2 l Exemplo 3: adiciona-se outra saída, formando um sistema de filas M/M/2

M/M/2 l Para k ���� a taxa de serviço efetiva é 2�. Logo, segundo a solução geral de um PNM : Junto com a equação de normalização, obtémse:

M/M/2 Então, Finalmente, a ocupação média do sistema e o tempo médio de permanência no sistema são:

Gráfico comparativo E[s] M/M/1 M/M/2 M/M/1 2 0 0, 8 0, 2 1 0, 4 0, 6 /2 E[s]= tempo de resposta normalizado

M/M/1 l Exemplo 4: 2 2 Fila M/M/1 Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/ � Tempo de serviço = 10 [s] = 1/ � Número de servidores = 1 = C ��O servidor está ocupado na metade do tempo

M/M/1 l Exemplo 5: 2 2 Fila M/M/1 Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/ � Tempo de serviço = 30 [s] = 1/ � Número de servidores = 1 = C ��O sistema é inundado com chegadas (sistema instável): pode ser resolvido com outro servidor.

M/M/2 l Exemplo anterior com dois servidores: 2 2 2 Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/ � Tempo de serviço = 30 [s] = 1/ � Número de servidores = 2 = C � Os servidores estarão ocupados durante 75% do tempo

Modelos de filas aplicavéis a centrais telefônicas

Fila M/M/ Exp ( ) 1 Exp ( ) 2 l Parâmetros 2 2 2 Tempo entre chegadas ~ Exp ( ) Tempo de serviço ~ Exp ( ) Infinitos servidores não existem filas

l Cadeia de Markov M/M/ 0 1 l Equações: Neste caso: m m– 1 (m– 1) m m+1 (m+1) (m+2)

De onde obtém-se que: Probabilidade de que existam n pessoas em um sistema M/M/ , com A=15 Erlangs 0. 12 0. 1 Pn 0. 08 0. 06 0. 04 0. 02 00 5 10 15 n 20 25 30

l Observação: Em uma fila M/M/ : Pn ~ P ( Por definição: L = / Aplicando a Lei de Little : L = ·W LQ = ·WQ = L – m · = L – , com: m: número médio de servidores em uso r: uso médio destes servidores Então: LQ = WQ = 0, o que está de acordo com o modelo de infinitos servidores.

Fila M/M/m Exp ( ) 1 Exp ( ) 2 Exp ( ) l Parâmetros 2 Tempo entre chegadas ~ Exp ( ) 2 Tempo de serviço ~ Exp ( ) 2 Número de servidores : m 2 Fator de Utilização: / m m

l Cadeia de Markov M/M/m 0 1 l Equações: Neste caso: m m– 1 (m– 1) m m+1 m m

Substituindo e manipulando:

l Observação: Probabilidade de que ao chegar um pacote espere por algum servidor livre, P(Fila): Como o tempo entre chegadas é distribuído exponencialmente: Logo, a probabilidade de existir fila é dada por: o que corresponde à fórmula Erlang – C :

l Exemplo 2 m = 8 linhas de saída. A = 4, 5 Erlangs 2 l l Problema: calcular a probabilidade de espera Solução:

l Exemplo 2 PBX com 40 ramais 2 Cada ramal realiza diariamente, em média, 54 ligações 2 A duração de cada ligação é, em média, de 3 minutos. l Problema 1: qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade 5% de que exista fila máxima?

Solução = 40· 54 24 60 = 1, 5 ligações min 2 1 = 3 min ligação 2 A = 1. 5 · 3 = 4. 5 Erlangs 2 Número mínimo de troncos de saída: m = 9 PFila = 4. 61 % 2 Probabilidade de fila com A=4, 5 Erlangs 12 10 P(Fila) % l 8 6 4 2 0 8 9 10 Número de troncos (servidores) 11

l Problema 2: qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade de 0, 1% de que exista fila máxima? l Solução: os parâmetros do problema se mantém. Número mínimo de troncos de saída: 2 m = 13 PFila = 0. 08 % Probabilidade de fila com A=4, 5 Erlangs 0. 8 P(Fila) % 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 11 12 13 Número de troncos (servidores) 14

l Comparação: 2 Número mínimo de troncais de saída para : 5 % m = 9 PF 4, 61 % 2 PF 0, 1 % m = 13 PF 0, 08 % 2 PF 2 Agregaram-se 4 troncos (isto é, aumento de 44, 44 %). 2 Diminui-se a probabilidade de haver fila em 57, 625 vezes (é dizer, diminuiu-se de 98, 26 %).

Fila M/M/1/N Exp ( ) N N-1 l 3 2 Parâmetros 2 Tempo entre chegadas ~ Exp ( ) 2 Tempo de serviço ~ Exp ( ) 2 Número de servidores : 1 2 Fator de utilização: /

l Cadeia de Markov M/M/1/N 0 1 l Equações: Neste caso: 2 N N– 1

Substituindo e manipulando : Conclusão:

l Probabilidade de bloqueio M/M/1/N PB : probabilidade de que uma ligação que chega encontre a fila cheia e se perca. Fila ·PB Da figura: = ·(1 -PB) Exp ( )

Além do mais, é a velocidade de processamento multiplicada pela fração de tempo que o servidor trabalha o servidor, isto é: = ·(1 -P 0) Juntando ambas equações e manipulando: Aplicando a Lei de Little :

Exemplo: em um PBX foram obtidas as seguintes estatísticas: 2 = 15 ligações hr = 0, 25 ligações min 2 1 = 3 min ligação Qual deve ser o tamanho do buffer para que a probabilidade de se perder uma ligação seja no máximo 0, 1% ?

Solução: buffer = 19 ligações Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entrada 0. 35 Pb % 0. 3 0. 25 0. 2 0. 15 0. 1 0. 05 014 16 18 N 20 22 24

Fila M/M/N/N Exp ( ) 1 Exp ( ) 2 Exp ( ) N l Parâmetros 2 2 Tempo entre chegadas ~ Exp ( ) Tempo de serviço ~ Exp ( ) Número de servidores : N Fator de Utilização: / N

l Cadeia de Markov de M/M/N/N 0 1 2 N N– 1 Equações: EBG: Estado 0 0<i<N N V. Saída = V. Entrada ·P 0 ·P 1 ( +i )·Pi = (i+1) ·Pi+1+ ·Pi-1 N ·PN = ·PN-1

Manipulando obtém-se: Usando: Se obtém que:

Observação: a probabilidade PN de que o sistema se encontre cheio e que ao chegar uma ligação esta se perca é dada pela fórmula de perda da distribuição de Erlang:

As seguintes curvas são usadas para o dimensionamento de centrais PBX: Pb % Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entrada 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 A=30 Erl 10 5 10 15 N 15 20 20 25 25 30 Dada a máxima intensidade de tráfego, movimenta-se por uma curva, avaliando a probabilidade de que um cliente não possa se comunicar, para distintas quantidades de troncos de entrada.

Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entrada para A = 10 Erlangs 1 0. 9 0. 8 Pb % 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 17 18 19 20 21 N 22 23 24 25 Supondo-se intensidade de tráfego máxima de 10 Erlangs, avalia-se as grandes diferenças entre as probabilidades de bloqueio, usando diferentes números de troncos de entrada.

As seguintes curvas são usadas para verificar o dimensionamento de PBX já instaladas: Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego 100 90 80 Pb % 70 60 50 40 N=5 30 9 13 17 21 25 29 20 10 0 0 10 20 A [Erlangs] 30 40 50 Dada uma PBX com certo número de troncos, a probabilidade de bloqueio é dada pela curva correspondente, conforme seja a intensidade de tráfego em cada momento.

Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego para N = 21 troncos 1. 0 0. 9 0. 8 Pb % 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 6 7 8 9 10 A [Erlangs] 11 12 13 Observa-se que para um pequeno aumento na intensidade de tráfego, a probabilidade de bloqueio pode aumentar de maneira significativa.

l Exemplo: 0, 4% 2 N = 100 linhas 2 1 = 5 min ligação 2 PB l Problemas: 2 Determinar a máxima intensidade de tráfego admissível. 2 Determinar a máxima taxa de chegada de ligações para que não ocorra bloqueio.

Solução: 2 Determinar a máxima intensidade de tráfego admissível A = 80 Erl PB = 0, 399% 0. 7 Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego 0. 6 0. 5 Pb % l 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 78 79 80 A [Erlangs] 81 82

2 Determinar a máxima taxa de chegada de ligações para que não ocorra bloqueio. chamadas/min

l Exemplo: 0, 5% 2 A = 93, 0 Erlangs 2 PB l Problema: 2 Determinar o mínimo número de troncos necessários. l Solução:

N = 114 Troncais 0. 7 PB = 0, 42% Probabilidade de bloqueio v/s troncos 0. 6 Pb % 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 111 112 113 114 N 115 116 117

Bibliografia básica

Bibliografia básica l l l S. M. Ross, Introduction to probability models, Academic Press, 1997. R. Jain, The art of computer systems performance evaluation, Wiley, 1991. K. Trivedi, Probability and statistics with reliability, queuing, and computer science applications, Prentice Hall, 1982. V. Kulkarni, Modeling and analysis of stochastic systems, Chapman and Hall, 1995. L. Kleinrock, Queueing systems, Volume 1: Theory, Wiley, 1975

Fim