Concepto de Matriz Una matriz es una coleccin

Concepto de Matriz Una matriz es una colección de elementos (números o expresiones) dispuestos en filas y columnas formando una “caja”. Normalmente, se nombran por letras mayúsculas. m e j E : o l p Columna 1 Columna 2 Fila 1 Fila 2 Fila 3 A es una matriz de 3 filas y 2 columnas, por lo que se dice que A es una matriz 3 x 2.

Representación de una Matriz En general, una matriz de m filas y n columnas se representa como: Nº de fila Nº de columna aij Elemento general La DIMENSIÓN (u orden) de una matriz viene dada por el número de filas y el de columnas, y se representa como mxn. Dos matrices son IGUALES, A = B, si tienen el mismo orden y coinciden elemento a elemento. Los elementos aij donde i = j, es decir, aii forman la DIAGONAL PRINCIPAL.

Tipos de Matrices Matriz cuadrada nº filas = nº columnas Matriz fila 1 sola fila Matriz columna (ó vector) 1 sola columna Matriz cuadrada de orden 3 3 x 3 Diagonal principal Matriz fila 1 x 3 Matriz columna 3 x 1 Matriz identidad (In) Matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son iguales a 1, y los de fuera iguales a 0. Matriz identidad 4 x 4

Tipos de Matrices Matriz triangular Matriz cuadrada en la que los elementos por debajo o por encima de la diagonal principal son ceros. Matriz diagonal Matriz cuadrada en la que los elementos fuera de la diagonal principal son ceros. Triangular superior Triangular inferior Matriz diagonal 4 x 4 Matriz nula (0) Matriz donde todos los elementos son iguales a 0. Matriz nula 3 x 5

Operaciones con Matrices Suma de matrices Misma dimensión mxn. Se suman elemento a elemento que ocupen la misma posición. aij + bij = cij Propiedades de la suma Producto de una matriz por un número Se multiplican todos los elementos de la matriz por ese número. 1 + (-2) = -1 Conmutativa: A+B = B+A Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C Elemento neutro: A+0 = 0+A = A Elemento opuesto: A+(-A) = -A+A =0

Operaciones con Matrices Producto de matrices A*B nº columnas A = nº filas B Amxn. Bnxp = Cmxp cij = fila i de A x columna j de B Se pueden multiplicar c 11 = 10 = 1. 1 + 2. 3 + 3. 1 c 12 = 3 = 1. 2 + 2. (-1) + 3. 1 c 21 = -2 = 5. 1 + 0. 3 + (-7). 1 Propiedades del Producto de matrices Se supone que todos los productos se pueden realizar c 22 = 3 = 5. 2 + 0. (-1) + (-7). 1 Asociativa: A. (B. C) = (A. B). C Distributiva: A. (B+C) = A. B+A. C (B+C). A = B. A+C. A Elemento neutro: A. I = I. A = A No Conmutativa en general: A. B B. A

Operaciones con Matrices Potencia de matrices Ak Ak = A. A. . . k). . . A A debe ser cuadrada Trasposición de matrices La traspuesta de Amxn, AT, se obtiene intercambiando las filas por las columnas. Por tanto, la dimensión de la traspuesta (AT) es nxm. Propiedades de la Trasposición de matrices (AT)T = A (A+B)T = AT + BT (k. A)T = k. AT (A. B)T = BT. AT

Operaciones con Matrices Inversa de una matriz A (A-1) A debe ser cuadrada (nxn) Si A posee inversa se dice que es REGULAR ó INVERSIBLE Si A no posee inversa, se dice que es SINGULAR Propiedades de la Inversa de matrices La inversa, si existe, es única

Transformaciones Elementales por filas Intercambio de dos filas Multiplicar una fila por un número k distinto de cero Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número k distinto de cero

Método de Gauss-Jordan o método de eliminación gaussiana Este método consiste en aplicar las transformaciones elementales apropiadas a una matriz, de cualquier orden, hasta conseguir tener ceros debajo de la diagonal principal. A la matriz así obtenida se le denomina “matriz escalonada”. Ejemplos de matrices escalonadas:

Método de Gauss-Jordan o método de eliminación gaussiana Ejemplo de aplicación del método de Gauss: “matriz escalonada”

Rango de una matriz El rango de una matriz A es el número de filas no nulas de la matriz escalonada correspondiente. Lo denominamos rang(A) Ejemplo 1: Rango de

Ejemplo 2: Rango de