Teoria das filas Teoria das filas Em duas

Teoria das filas

Teoria das filas Em duas horas? ?

ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS • • Clientes Servidores Intervalo entre chegadas (continuo) Duração do serviço (continuo) • POR QUE NÃO SIMULAR? ? • São fórmulas relevantes? ? ?

ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS • • • Clientes Servidores Intervalo entre chegadas Duração do serviço Sofisticações sobre o tema: fila limitada, desistência, prioridades. .

ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS Clientes Servidores Intervalo entre chegadas Duração do serviço Sofisticações sobre o tema: fila limitada, desistência, prioridades. . Ignorâncias: heterogeneidade, sistemas de filas, . . . • • •

O resultado mais aceito é simples • • • Teorema de Little: E[#clientes no sistema}= NE , Taxa média de chegadas=λ, Tempo médio gasto no sistema= T, Então qualquer que seja fila ergódica, temos • NE = λT • . (e Nq. E =W) .

Little´s theorem • Nt =# médio em (0, t), • γ(t) = # acumulado de clientes-segundos até t, • Nt= γ(t)/t • α(t) = # chegadas em (0, t), • Tt = tempo de sistema/cliente até t (=α-1. γ ) • λt = taxa média de chegada em (0, t) (=α-1/t) • Ergodicidade → NE=λT

MODELÃO: • Processos de nascimento e morte

MODELÃO: • Processos de nascimento e morte • Qual o vetor de estado? ? ? • Primeiro chute: # de clientes na fila/sistema por categoria • Segundo: . . . em filas de diferentes servidores • Terceiro: memória

MODELÃO: • Processos de nascimento e morte (pràticamente) sem memória • São os ditos Markovianos (M)

MODELÃO: • Processos de nascimento e morte Mais fácil: população eterna ou nascimento puro Intuição tempo discreto: P(XT+1= k)=(1 -p)P(XT= k) + p P(XT= k-1) para k>1 Note p independe de k e de T. . (se quiséssemos poderíamos ter p. T p. K p. T, k )

Modelo de nascimento contínuo: Nascimentos independentes (sem memória) P (exatamente 1 nascimento entre t e t+∆/população é k) = = λk ∆ +o(∆), onde o(. ). . o(. ) e diferenciabilidade Então: se Pk(t)=P[X(t)=k], temos (com P<0(. )=0) Pk(t+∆)=Pk(t) [1 - (λk ∆) -o(∆)] + Pk-1(t)[ λk ∆ +o(∆)] Ou, para ∆→ 0, P. k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ]

Modelo M de nascimento contínuo: Nascimentos independentes (sem memória) Poisson Taxa fixa de nascimentos P. k(t)= Pk(t) [-λ] + Pk-1(t)[ λ] (com P<0(. )=0). Com Po(0) =1, temos Po(t) =e-λt, P 1(t) =λt e-λt Pk(t) =(k!)-1 (λt)k e-λt (note que a cada instante as probabilidades somam 1)

Modelo M contínuo de morte : Inverso de Poisson: Tempos exponenciais Intervalos entre chegadas são exponenciais se e só se O processo de chegada é Poisson. Se chegadas Poisson, P(tempo da 1ª chegada>t) = 1 - P 0 Poisson(t)=1 - e-λt,

Exponencial é sem memória : Tempos exponenciais P(tempo da 1ª chegada>t) = 1 - P 0 Poisson(t)=1 - e-λt, Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas, Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)? ?

Exponencial é sem memória : Tempos exponenciais P(tempo da 1ª chegada>t) = 1 - P 0 Poisson(t)=1 - e-λt, Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas, Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)? ? P(t 1≤T+t/t 1>T)= [1 -P(t 1≤T)]-1 {P(t 1≤T+t) - P(t 1≤T)}= 1 - e-λt !!!!!

M/M/1 é fácil • Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. • Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ? ? ?

M/M/1 é fácil • Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. • Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ? ? ? • Fazer grafo de nascimento e morte com bolinhas que permitam ver que o sistema de equações diferenciais é: • P. k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk+1(t)[ μk ] • = Pk(t) [- (λk+ μk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk`+1(t)[ μk ] com λk=λ e μ= μk.

M/M/1 é fácil, mas não tanto • Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. P. k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk+1(t)[ μk ] = - (λ+ μ) Pk(t) +λ Pk-1(t) + + μPk+1(t) com λk=λ e μ= μk. Transitório Regime (se existir, ergodicidade) P. k(t)= 0

M/M/1 em regime é fácil • Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. P. k(t)= - (λ+ μ) Pk(t) +λ Pk-1(t) + + μPk+1(t) - (λ+ μ) pk +λ pk-1 + + μpk+1 =0 • Definido ρ=(λ/μ), e impondo ρ<1, • pk=p 0 ρk • normalizando para soma de probabilidades =1, temos p 0=1 -ρ a/(1 -a)=Σak.

M/M/1: impacto do congestionamento • E[N]=ρ/(1 -ρ) • E[T]=λ E[N] = (1/μ)/(1 -ρ) • Var(N)= ρ/(1 -ρ)2

M/M/1 em regime é fácil • Uma fila M/M/1 com chegadas Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ (μ<λ) tem muito pouco naturalmente saída Poisson de razão λ • Redes de Jackson.

Complicando a M/M/1 • • • M/M/1 com desencorajamento (λ cai com k/ pg 99) M/M/∞ (μk=kμ) M/M/m (μk= (min{k, m})μ) M/M/1/K (λk=λ para k≤K, 0 caso contrário) M/M/m/m (só cabem m)- bonzinho para nós M/M/1//M : pop. Finita M (λk=[λ/(M-k)] para k≤M, 0 caso k contrário) • M/M/∞//M • M/M/m/k/M

Servidores não homogêneos • Filas x controle estocástico: • servidores não homogêneos: • Filas: sob custos de expansão um mínimo de capacidade de serviço é necessária. • Controle: já tendo dois servidores instalados, melhor política é a de risca no chão (limiar)

Políticas de atendimento • FCFS, LCFS até hipotética SCFS mudam os momentos de ordem maior que média mas não afetam “estabilidade” • Redes de filas: até FCFS pode ser instável (estações virtuais) no caso não acíclico • Surpresa: “kan-ban” é instável: regime não é transitório.

“Complicando” filas Markovianas • Quanto tempo entre a chegada de um “bundle” de k clientes em chegada individual Poison? ? Telefonia • Ou • Quanto tempo para servido por k servidores de taxas kμ, correspondente a uma taxa média μ? • Erlang de parâmetros R(taxa) e k(forma) • pdf: f. Rk(t)= [(k-1)!]-1 R (Rt)k-1 e-Rt. • com k=1 R=λ exponencial (λ e-λt) • com k→∞ “tende” para Dirac, mas “média” também “explode” • (exceto se mantiver (k/R)= média constante)

Ferramental • Devido à presença de produtos de convolução (pdf de “soma de tempos”, transferencia em sistemas lineares. . ) transformadas de Laplace ou z. • Saída de M/M/1: • P(vazio). (tempo de chegada +serviço) + P(não vazio) (tempo de serviço)

Mas, cuidado: paradoxo do tempo de espera • Chegadas de ônibus no ponto dadas por exponencial média 60 min. • Quanto tempo devo esperar por um onibus em média? ? ? • Primeira vista a falta de memória da exponencial diz 60 minutos • Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveia esperar 30 minutos!!!

Mas, cuidado: paradoxo do tempo de espera - Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveria esperar 30 minutos!!! • Errado: supondo 2 choferes se alternando um com intervalos de 30 e 90 minutos (em média 60) • Teremos ¾ de chance chegar chofer lento e ¼ de chance de chofer rápido, dando interarrival time de 75 minutos. • Para exponencial tipico interval time é de 120 minutos, o que dá 0 s 60 do memoryless