E E Dona Antnia Valadares MATEMTICA 1 ANO

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E. E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA 1º ANO ANÁLISE COMBINATÓRIA PROBABILIDADE - INTRODUÇÃO PROFESSOR:

E. E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA 1º ANO ANÁLISE COMBINATÓRIA PROBABILIDADE - INTRODUÇÃO PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA http: //donaantoniavaladares. comunidades. net

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados TEORIA DAS PROBABILIDADES A teoria das

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados TEORIA DAS PROBABILIDADES A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Embora o seu nascimento esteja ligado

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Embora o seu nascimento esteja ligado ao jogo, as Probabilidades têm, nossos dias, aplicações em muitas outras ciências, nomeadamente, na Economia, na Psicologia, na Medicina e até na Física e na Química. Uma área onde a Teoria das Probabilidades é muito utilizada é a dos seguros. Hoje, quando fazemos um contrato com uma companhia de seguros (seja esse contrato um seguro de vida, um seguro de incêndios, um seguro automóvel ou qualquer outro), o “prémio” a pagar à companhia foi determinado em função da maior ou menor probabilidade de se verificar um acidente. Por exemplo, num seguro automóvel, o valor que se paga: Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados É mais caro para carros com

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados É mais caro para carros com mais de 5 anos, já que a probabilidade de se ter um desastre com um carro já com algum desgaste é maior do que com um carro novo; É mais caro se o condutor tiver habilitação de condução há menos de dois anos (a sua inexperiência torna maior a probabilidade do acidente). Para o cálculo do valor do seguro é levado em conta também o modelo do automóvel, a região que esse veículo circula, a idade do condutor. . . Há até companhias de seguros que fazem descontos para as mulheres condutoras!. . . Prof: Alexsandro de Sousa

Há muitos experimentos que mesmo repetidos em condições idênticas apresentam resultados diferentes. Pode-se dizer

Há muitos experimentos que mesmo repetidos em condições idênticas apresentam resultados diferentes. Pode-se dizer que o resultado de cada um desses eventos é imprevisível. EXEMPLOS Ao lançarmos um dado não viciado, não é possível prever qual dos números 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 poderá ser obtido. O lançamento de uma moeda tem como resultados imprevisíveis cara ou coroa. Prof: Alexsandro de Sousa

As dezenas da Mega-Sena, da Lotofácil, da Dupla Sena, da Quina, e de outras

As dezenas da Mega-Sena, da Lotofácil, da Dupla Sena, da Quina, e de outras loterias também não podem ser previstas antes do sorteio. Prof: Alexsandro de Sousa Quando a roleta é girada não é possível prever em qual número “a bolinha” vai parar.

Fenômenos desse tipo, cujos resultados dependem do acaso, são chamados de fenômenos aleatórios. Pelo

Fenômenos desse tipo, cujos resultados dependem do acaso, são chamados de fenômenos aleatórios. Pelo fato de não sabermos antecipadamente os resultados de fenômenos aleatórios, é importante aprendermos calcular as chances de um resultado ocorrer. Prof: Alexsandro de Sousa

ESPAÇO AMOSTRAL (ou de probabilidades) O conjunto de todos os possíveis resultados de um

ESPAÇO AMOSTRAL (ou de probabilidades) O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o espaço amostral (S) Jogar uma moeda S = {cara, coroa} Sortear um número inteiro de um a cem S = {1, 2, . . . , 100} Lançar um dado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Prof: Alexsandro de Sousa

EVENTO Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral E = {cara} (sortear cara) E

EVENTO Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral E = {cara} (sortear cara) E = {25, 27, 26} (sortear no. entre 24 e 28) E = {3, 5, 1} (lançar no. impar no dado) Obs. : Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados EVENTO CERTO E EVENTO IMPOSSÍVEL Evento

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados EVENTO CERTO E EVENTO IMPOSSÍVEL Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o espaço amostral. Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio. Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Exemplos: 1 - Lançar um dado

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Exemplos: 1 - Lançar um dado e registrar os resultados: Espaço amostral: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e maior que zero. A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Portanto A = S , logo o evento é certo. Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Evento B: Ocorrência de um número

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Evento B: Ocorrência de um número maior que 6. B = Não existe número maior que 6 no dado, portanto o evento é impossível. Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Evento C: Ocorrência de um número

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Evento C: Ocorrência de um número par. C = 2, 4, 6 Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3. D = 3, 6 Evento E: Ocorrência de número par ou número múltiplo de 3. E = C D E = 2, 4, 6 3, 6 E = 2, 3, 4, 6 - União de eventos Evento F: Ocorrência de número par e múltiplo de 3. F = C D F = 2, 4, 6 3, 6 F = 6 Intersecção de eventos Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO P=

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO P= _____(o que você quer)_______ (total de possibilidades) Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Exemplos 1 – Consideremos o experimento

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Exemplos 1 – Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara. Espaço amostral: S = cara, coroa n(S) = 2 Evento A: A = cara n(A) = 1 Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 2 – No lançamento de um

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 2 – No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(S) = 6 Evento A: A = 5, 6 n(A) = 2 Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 3 – No lançamento simultâneo de

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 3 – No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: a) Evento A : Pelo menos 2 caras? b) Evento B: Exatamente 2 caras? C = cara K = coroa S = CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK n(S) = 8 a) A = CCC, CCK, CKC, KCC n(A) = 4 b) B = CCK, CKC, KCC n(B) = 3 Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 4 – Num grupo de 75

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 4 – Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um desses jovens: a) Ele gostar de música; b) Ele não gostar de nenhuma dessas atividades. Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados M 8 6 14 9 E

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados M 8 6 14 9 E 16 6 5 L 11 n(S) = 75 gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 = 44 não gostam de nenhuma dessas atividades: 75 – (6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16) = 75 – 64 = 11 Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados a) a probabilidade de gostar de

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados a) a probabilidade de gostar de música: b) probabilidade de não gostar de nenhuma dessas atividades: Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 5 – Caixa com Sorteio: Uma

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 5 – Caixa com Sorteio: Uma caixa contém 16 bolas. Destas, 10 são azuis, 4 são pretas e 2 são amarelas. Qual a probabilidade de: a) Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? b) Tirar uma e ela ser amarela? c) Tirar duas azuis seguidas? d) Tirar uma preta e depois uma azul? e) Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? f) Tirar uma e ela não ser preta? g) Tirar uma bola vermelha? Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Total: 16 bolas 10 azuis ,

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Total: 16 bolas 10 azuis , 4 pretas e 2 são amarelas . Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? P = 10/16 = 5/8 Tirar uma e ela ser amarela? P = 2/16 = 1/8 Tirar duas azuis seguidas? (AZUL e AZUL) P = (10/16). (9/15) = 90/240 = 9/24 Tirar uma preta e depois uma azul? (PRETA e AZUL) P = (4/16). (10/15) = 40/240 = 4/24 Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Tirar uma só, e ela ser

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? P = 12/16 = ¾ (75%) Tirar uma e ela não ser preta? P = 12/16 = ¾ (veja que é a mesma que a pergunta de cima!!) Tirar uma bola vermelha? P = 0/16 = 0 (impossível)! Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 6 – Ao lançar um dado

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 6 – Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5? Prof: Alexsandro de Sousa

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MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Eventos probabilísticos estão na base da

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Eventos probabilísticos estão na base da propagação de características físicas genéticas e doenças, ao combinar genes dos pais. O estudo da Probabilidade permite o trabalho nesse campo da ciência. Questões a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem? b) Ter três homens? c) Ter três filhos todos do mesmo sexo? d) Qual a chance deles terem três meninas? e) E de ter uma menina e dois meninos? Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados a) Qual a chance de ter

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem? P = ½ (50%) b) Ter três homens? Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH HMM MHM P = 1/8 c) Ter três filhos todos do mesmo sexo? P = 2/8 = ¼ (25%) d) Qual a chance deles terem três meninas? P = 1/8 = 0, 125 = 12, 5% e) E de ter uma menina e dois meninos? P = 3/8 = 0, 375 = 37, 5% Prof: Alexsandro de Sousa

A cor dos olhos é uma característica transmitida geneticamente. Ela é comandada pela combinação

A cor dos olhos é uma característica transmitida geneticamente. Ela é comandada pela combinação de dois genes, que vêm um da mãe e outro do pai. O gene dominante é A e o recessivo é a Nesse caso, quando aparece na combinação o gene dominante A a pessoa terá a característica marcada por esse gene. Para cor dos olhos, o gene A determina olhos castanhos, então para ter olhos azuis a pessoa deve ter genótipo aa Um casal tem o homem com genótipo aa e a mulher é Aa. Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis? Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Veja as combinações possíveis para cor

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Veja as combinações possíveis para cor dos olhos: Aa Mulher aa Homem Aa = olhos castanhos a. A = olhos castanhos Aa = olhos azuis Prof: Alexsandro de Sousa A a a a. A aa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados EXERCÍCIOS 1 – Um casal de

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados EXERCÍCIOS 1 – Um casal de olhos castanhos tem quatro filhos, três deles de olhos azuis. a) Qual o genótipo do casal? b) Qual a probabilidade deles terem um quinto filho de olhos azuis? Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 2 – Um baralho comum tem

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 2 – Um baralho comum tem 52 cartas, sendo 13 (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada um dos naipes, que são paus, ouros, copas e espadas. Ao escolhermos aleatoriamente uma das 52 cartas, qual a probabilidade de que ela seja: a) O valete de ouros? b) Um valete vermelho, isto é, copas ou ouros? c) Um valete? d) Uma carta de naipe vermelho, isto é, copas ou ouros? Prof: Alexsandro de Sousa

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