CALCOLI DI VERIFICA n a questo punto necessario

CALCOLI DI VERIFICA nÈ a questo punto necessario effettuare una serie di calcoli per verificare se gli obiettivi primari (Vcc ed ) sono stati raggiunti n. Vcc =>la conoscenza di Zcc (Rcc ed Xcc) n => la conoscenza delle perdite nel ferro e nel rame Le dimensioni geometriche della macchina, la sua configurazione ed i materiali scelti giocano un ruolo fondamentale

DETERMINAZIONE DELLA CORRENTE A VUOTO I 0 n. Per calcolare I 0 devo conoscere la componente magnetizzante e quella di perdita La I deriva dal calcolo delle Asp effettive t La Ia si determina dalle perdite nel ferro e nel rame a vuoto t n Si calcola la componente magnetizzante I l’integrale si svolge lungo il circuito magnetico

Sappiamo che =BS= HS, essendo nota B dalla curva di magnetizzazione, il che implica: Suddividendo il circuito magnetico in n tronchi dove S e B sono costanti (in prossimità dei giunti dove avviene il cambio di direzione del circuito magnetico, sia S che B non sono rigorosamente costanti) Nei traferri si ha: H 0 = BMC/ 0 Conoscendo la lunghezza media dei gioghi lg e delle colonne lc, ed assumendo nota la lunghezza totale lt del traferro (valori convenzionali), si calcola la f. m. m. nel nucleo As

n Caso dei Trasformatori Monofase hc lg La relazione di sopra si particolarizza in: Asm=2 Asc+2 Asg+4 As Vediamo le As di colonna e del giogo Bc= /Sc Bg= /Sg Il materiale ferromagnetico con cui verrà realizzato il circuito magnetico è già stato scelto, per cui si dispone della relativa curva di magnetizzazione e della curva descrittiva della cifra di perdita.

Note Hc ed Hg, si calcolano le As di giogo e colonna Asc=Hchc Asg=Hghg Per quanto riguarda i giunti, questi sono in aria. Quindi: H 0 = As / 0=BC/ 0 => As =0. 8 BC 0 106 ( 0 =1. 26 10 -6 [H/m]) Per 0 si considerano gli spessori convenzionali riferiti al tipo di giunto che si è scelto (appoggiato, intercalato, etc. ) Le As magnetizzanti possono essere espresse come: Asm=2 Hchc +2 Hghg +4(0. 8 BC 0 106)

Si conclude che la corrente magnetizzante per un trasformatore monofase è data dalla relazione: I =(2 Hchc +2 Hghg +4(0. 8 BC 0 106)) n. Caso 1 dei Trasformatori Trifase 2 3 C’è dissimmetria nel circuito magnetico 0 Circuito 1 => As 1 hc Circuito 2 => As 2 Circuito 3 => As 3 lg

As 1 m= As 3 m = Asc+2 Asg+2 As As 2 m = Asc+2 As Considero il valore medio di As Asm= (As 1 m +As 2 m+ As 3 m)/3 Asm= Asc + 2 As + (4/3)Asg I =( Hchc +(4/3) Hghg +2(0. 8 BC 0 106))

Calcolo della Ia La componente attiva Ia vale: con P 0=Pfe+Pcu 0 La potenza persa per effetto Joule a vuoto si determina conoscendo il valore della corrente a vuoto, I 0=> PCu 0=3 RIo 2 La posso porre, in prima approssimazione, pari a PCu 0=3 RI 2 Per determinare le perdite nel ferro: si fa riferimento alla cifra di perdita specifica (W/kg) che è valida per B=1 Wb/m 2 e per f=50 Hz e si determina sperimentalmente con il giogo di Epstain n si ricorre ai diagrammi di perdita n

CALCOLO DELLE PERDITE NEL FERRO n Si determina il peso delle colonne e del giogo Gc = 3 hc Sc fe ; Gg = 2 lg Sg fe dove: hc = lunghezza media di una colonna; lg = lunghezza media di un giogo. fe = peso specifico del ferro Sc, Sg =sezioni di base di colonna e di giogo Il peso complessivo del circuito magnetico è G= Gc + Gg

Le perdite nel ferro si determinano con la relazione: pfe = cifra di perdita del ferro con B = 1 (T) p’fe = cifra di perdita del ferro con B = BMC Kfe = 1, 05 - 1, 2 funzione delle tecniche adottate. Questo coefficiente tiene conto della qualità della punzonatura , PCu 0=3 RI 2 ,

RIFERIMENTI PER LA I 0 La differenza è determinata dalla influenza dei traferri che nei piccoli trasformatori è percentualmente elevata

CALCOLO DELLA Vcc La tensione di corto circuito è importante perché ha dirette implicazioni su: n sicurezza (determina la Icc) n parallelo dei trasformatori n sulle cadute resistive ed induttive a carico Per definizione è la tensione di alimentazione di un trasformatore quando nel secondario, collegato in corto circuito, circola la corrente secondaria nominale Vcc=Zcc. In dove Rcc=R 1+R 21; Xcc=X 1+X 21

Allo stesso modo posso definire la corrente di corto permanente Icc=Vn/Zcc Se eguaglio le relazioni sulla base della Zcc vedo che Icc=In. Vn/Vcc Poiché di solito la Vcc è circa il 5% della Vn, Icc è circa 20 In e gli sforzi elettrodinamici sono 400 maggiori Vcc è un dato di specifica che deve essere raggiunto. Per poterlo fare si agisce su Zcc e quindi su Xcc e su Rcc n Se aumento Rcc, aumentano le perdite e cala n Se diminuisco Rcc aumento l’ingombro ed il costo della macchina. Quindi si agisce su Xcc

DETERMINAZIONE DELLA RESISTENZA DEGLI AVVOLGIMENTI n Sulla base della sezione SCu e della lunghezza la dei conduttori dei singoli avvolgimenti si ottiene la loro resistenza ohmica RDC: n Dove t è la resistività del materiale conduttore impiegato alla temperatura di riferimento t (75 °C per le classi A ed E, 105 °C per le classi B, F ed H).

La variazione di t con la temperatura è linearizzabile n 2= 1[ 1+ (T 2 -T 1)] I valori caratteristici di t alle varie temperature sono t(0°C)=0. 0160 [ mm 2/m] t(20°C)=0. 0173 [ mm 2/m] t(75°C)=0. 0210 [ mm 2/m] (temperatura media per i trasformatori in olio) t(115°C)=0. 0238 [ mm 2/m] (temperatura media per i trasformatori cast-resin in epossidica)

Per quanto riguarda la valutazione della lunghezza dei conduttori, essa è determinabile considerando le relazioni analitiche descrittive di una traiettoria a spirale che tiene conto del modo con cui è stato realizzato l’avvolgimento n. Si preferisce ricorrere a delle relazioni approssimate che tengono conto del numero di spire e della lunghezza media di spira, ovvero del perimetro di spira valutato sul raggio medio dell’avvolgimento n lc 1, 2=Nlm 1, 2 => (a 75°C)

FENOMENI DI ADDENSAMENTO DI CORRENTE n Poiché i conduttori sono percorsi da corrente alternata, i flussi dispersi producono una non uniforme distribuzione della corrente nella loro sezione, ciò dà luogo a perdite addizionali di cui si tiene conto con un coefficiente KAC, si ha quindi: RAC = KAC RDC n n KAC dipende dalla forma e dalle dimensioni del conduttore, dalla disposizione e dalla forma dell’avvolgimento preso nel suo insieme. KAC varia tra 1 e 1. 15 a 50 Hz PCu = 3 KAC RDCI 2

SITUAZIONE DEI FLUSSI DISPERSIONE BT AT FLUSSO DISPERSO FLUSSO UTILE

Dato un conduttore massiccio, di resistenza R, attraversato da una corrente I. La potenza persa per effetto Joule sarà: P=RI 2 Suppongo ora che la corrente si ripartisca in due sezioni ognuna pari alla metà della sezione di partenza (R=>2 R per ogni sezione) Inoltre, una sezione abbia un incremento I e l’altra un decremento della stessa entità (I/2+ 2 R I/2+ I 2 R I/2 - I I; I/2 - I) L’esempio mostra come la non uniforme distribuzione di corrente possa provocare un aumento delle perdite

Conduttore Massiccio Dato un conduttore rettangolare massiccio, di dimensioni H*B*, si considerino le seguenti ipotesi: 1) linee di campo a 90° rispetto al profilo del B* conduttore 2) linee di flusso parallele 3) permeabilità = nel ferro e 0 nell’aria, H* nell’isolante e nel rame x dx Sono ipotesi che consentono lo studio del problema in una dimensione lineare e non tridimensionale. H* Siano (x) ed H(x) il valore locale della densità di corrente e della intensità di campo Con riferimento alla figura, nel tratto dx circola la corrente d. I

Per il teorema di Ampere Dalle leggi di Maxwell Per le ipotesi fatte (unidimensionalità) uguagliando i gradienti si ha essendo poi che

Quindi se H(x, t) varia sinusoidalmente nel tempo se si pone allora la cui soluzione è costituita da combinazioni di funzioni iperboliche. Le costanti si determinano in base alle condizioni al contorno Se x=0 => H=0 Se x=H* => (N=1)

Allora le soluzioni sono con il cambio di variabile le soluzioni diventano

Avendo posto 0 è il valore di densità di corrente per una distribuzione uniforme Si definisce una altezza ridotta del conduttore si definisce come fattore di resistenza KAC: ( ) può essere sviluppato in serie

Studio asintotico n per >1 => ( ) n per <1 => ( ) può essere anche rappresentato in grafico

DETERMINAZIONE DI Kac AVVOLGIMENTI CONCENTRICI Considero l’avvolgimento di bassa avvolto a spirale in multi strato Considero un conduttore a sezione rettangolare bxh Suppongo di avere m conduttori affiancati ed n sovrapposti in modo che il numero di spire sia N=mn e che le dimensioni complessive siano H*x. B* H* h’ * n B b m

n Definisco una altezza ridotta per il conduttore come: = h con Le lunghezze sono in cm con riferimento alla figura. = pulsazione = resistività del materiale conduttore in ( mm 2/m) m ed n gli strati sovrapposti nei due sensi a = B* + 0, 2 H* (lunghezza ridotta delle linee di flusso)

n Conduttore rettangolare: n Conduttore circolare: H* h B* n b=h=d d = diametro del conduttore. m

n Tutte le dimensioni sono in cm, mentre è espressa in cm, (a 0°C, 1, 6 cm per il rame, e 2, 65 cm per l’alluminio, in ambedue i casi con 0 = 0, 00426). n Da queste formule deriva l’opportunità di disporre i conduttori rettangolari con il lato lungo in direzione radiale per gli avvolgimenti alternati ed in direzione assiale per gli avvolgimenti concentrici. n Al crescere di si ha una diminuzione di KAC, si ha cioè una diminuzione delle perdite addizionali a trasformatore caldo, di ciò si deve tenere conto nella determinazione del rendimento. In realtà KAC varia da strato e quindi le relazioni fornite sono da considerasi per una stima del suo valor medio n

DETERMINAZIONE DI Kac AVVOLGIMENTI A BOBINE O ALTERNATI n Conduttore rettangolare: n n Conduttore circolare: H* b B* n b=h=d d = diametro del conduttore. h m

n dove si ha: = h con n n n Le lunghezze sono in cm con riferimento alla figura. f = frequenza in Hz = resistività del materiale conduttore in (W mm 2/m) m ed n gli strati sovrapposti nei due sensi a = B*+ 0, 6 H* = altezza ridotta del conduttore a = lunghezza ridotta della linea di flusso

LE REATTANZE DI DISPERSIONE BT AT h FLUSSO UTILE +H -H FLUSSO DISPERSO Dal valore della reattanza di dispersione Xd dipende la tensione di corto circuito del trasformatore VCC, che costituisce uno dei parametri di progetto del sistema in cui il trasformatore viene inserito.

Calcolo Mediante l’Energia Magnetica Ipotesi semplificative: 1) Avvolgimenti uniformemente distribuiti; 2) Trascuro la I 0 => N 1 I 1=N 2 I 2 => H=NI/h l’andamento delle Asp/m è di tipo trapezioidale nella direzione radiale 3) Le linee di flusso siano parallele e di altezza. Questa approssimazione è valida per avvolgimenti a spirale, meno per quelli a bobina per la presenza dei distanziatori 4) Suddivisione del flusso disperso in due contributi per BT per AT 5) si assume, grossolanamente, che lm 1=lm 2=lm e che (ipotesi meno valida)

Dalla conoscenza del campo H in ogni sezione verticale ricavo il coeff di auto induzione L si ricorda che il flusso concatenato con N spire è in relazione con la corrente che lo genera eguagliando i flussi dispersi dalla ipotesi 1) possiamo calcolare il coeff. di auto induzione d. Lx nel tratto dx, a distanza x dalla colonna h x dx

Per calcolare L, integro d. Lx tra 0 e 1 Nell’interspazio tra i due avvolgimenti, il campo H rimane costante perché il numero di spire non varia, quindi: se particolarizziamo il calcolo di L nel tratto L=>L 1

La reattanza di dispersione si calcola di conseguenza (le distanze sono misurate in metri) l’espressione ricavata, verificata in pratica, ha evidenziato la necessità di aggiustare il coeff. iniziale da 8 ad 8. 5. Con lo stesso ragionamento si perviene ad una espressione analoga per il secondario si riporta tutto al primario

la reattanza complessiva vale si noti come la reattanza di dispersione vari con le dimensioni geometriche degli avvolgimenti. Ciò permette di regolare il valore di Xcc per influire sulla Vcc n Esistono dei vincoli strutturali che non consentono di variare Xcc a piacere (es. il canale tra AT e BT deve rimanere largo abbastanza per consentire la circolazione del fluido di raffreddamento) n Si può variare 1 e 2 però devo fare attenzione ai costi del rame n posso variare h ma anche in questo caso attenzione ai costi ed alla sollecitazione Asp/cm (macchina sovra o sotto dimensionata)

DETERMINAZIONE DELLA REATTANZA DI DISPERSIONE BT R 1 r 1 AT R R 2 r 2 h’ 1 2 FLUSSO DISPERSO +H -H FLUSSO UTILE

METODO DEL FLUSSO CONCATENATO n n Per due avvolgimenti concentrici di pari altezza, trascurando la corrente a vuoto si ha: N 1 I 1 = N 2 I 2 Determiniamo l’induzione nel canale di dispersione B 0 e negli avvolgimenti B 1 e B 2:

n Determiniamo quindi i flussi corrispondenti: n concatenato con tutte le spire N 1 del primario; n concatenato con 2/3 delle spire N 1 del primario; n concatenato con tutte le spire N 1 e 2/3 N 2:

n I flussi concatenati valgono quindi: n Si può adesso calcolare la reattanza di dispersione Ld come rapporto fra il flusso disperso totale * e la corrente I 1:

(H) n n Avendo posto p = lunghezza della spira media dei due avvolgimenti. Poiché si ha: 0 = 1, 25 10 -6 (H/m)

n Adottando come unità di misura per le lunghezze i centimetri si ottiene: n Per tenere conto che le linee di flusso sono inferiori ad h si pone: n Si ottiene infine la reattanza di dispersione Xd:

AVVOLGIMENTI CONCENTRICI BT AT X O 1 2 Se non si riesce a raggiungere l’obiettivo, di adottano altre soluzioni

AVVOLGIMENTI BICONCENTRICI AT BT X O X 1/2 2 1/2 Questo avvolgimento presenta una X inferiore al caso precedente, però costa di più

AVVOLGIMENTI BICONCENTRICI DISSIMMETRICI Regolaz. AT BT AT X O X

AVVOLGIMENTI ALTERNATI SIMMETRICI b Gruppo (bobina intera) BT AT 1 2/2

Nell’espressione di X si è posto: n b = dimensione radiale delle bobine; n N = numero totale di spire dell’avvolgimento di riferimento; n q = numero di bobine intere del primario o del secondario (2 nel caso in figura); n K = coefficiente che tiene conto della reale configurazione delle linee di flusso: Rogowsky ha proposto la seguente espressione:

AVVOLGIMENTI ALTERNATI DISSIMMETRICI BT AT

AVVOLGIMENTI ALTERNATI DISSIMMETRICI BT AT

n Può essere utile esprimere la Xd per unità. Da: si ha:

CADUTA DI TENSIONE TRA VUOTO E CARICO Sono calcoli che hanno lo scopo di mettere bene in chiaro il comportamento del trasformatore nel passaggio da vuoto a carico con diversi cos Collegando un carico generico al secondario del trasformatore, la tensione ai suoi morsetti diventa V 2, e viene erogata una corrente I 2 sfasata di 2 Sia Z”e=R”e+X”e la impedenza equivalente vista dal secondario del trasformatore

Dal diagramma si ricava la relazione E 022=(V 2 cos 2+R”e. I 2)2+(V 2 sin 2+X”e. I 2)2 Risolvendo rispetto a V 2 posso calcolarmi la caduta di tensione da vuoto a carico. Questo approccio non viene utilizzato perché si cerca di sfruttare le conoscenze delle caratteristiche di macchina La differenza aritmetica tra delle caratteristiche di macchina tra E 02 e V 2 viene rappresentata dal segmento AD Il calcolo della caduta di tensione si riduce al calcolo di questa differenza In prima approssimazione considero V AF il che significa trascurare il trattino FD

Ne viene che V R”e. I 2 cos 2+X”e. I 2 sin 2 Per migliorare la approssimazione, devo considerare ancora il tratto FD che, con sufficiente approssimazione può essere ritenuto pari a metà di FH (FD=FH/2) FH si può determinare con il teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo OCH FH: CF=CF: OF FD=FH/2=CF 2/2 OF Dalla figura si rileva che CF=CK-FK=>

CF= X”e. I 2 cos 2 -R”e. I 2 sin 2 OF può essere approssimato con E 02 OF E 02 Quindi posso scrivere che FD ( X”e. I 2 cos 2 -R”e. I 2 sin 2)2/2 E 02 La variazione di tensione assume l’aspetto V R”e. I 2 cos 2+X”e. I 2 sin 2+ +( X”e. I 2 cos 2 -R”e. I 2 sin 2)2/2 E 02 in percentuale V% 100(R”e. I 2 cos 2+X”e. I 2 sin 2)/E 02+ +50( X”e. I 2 cos 2 -R”e. I 2 sin 2)2/E 022

Ora riporto tutte le grandezze al primario (I 2=k. I 1; E 02=k. V 1; Re’=k 2 Re”; Xe’=k 2 Xe e dove k è il rapporto di trasformazione) e trascuro la corrente a vuoto V% 100(I 1/V 1)(R’e cos 2+X’esin 2)+ +50 (I 1/V 1)2( X’e cos 2 -R’e sin 2)2 Si osservi che R’e I 1=Vcccos cc ed X’e I 1=Vccsin cc La caduta di tensione tra vuoto e carico può essere espressa in termini di tensione di corto circuito V% 100(Vcc/V 1)(cos cccos 2+ sin ccsin 2)+ +50 (Vcc/V 1)2(sin cccos 2 - cos ccsin 2)2 se si considera che Vcc%= 100(Vcc/V 1) posso scrivere che Vcc%= 100(1. 73 Zcc. I 1/V 1)

Vcc%= 100(1. 73 Zcc. I 1/V 1) posso anche definire le cadute percentuali di tipo resistivo ed induttivo come: VRcc%= 100(1. 73 Zcc. I 1/V 1)cos cc= 100(1. 73 Rcc. I 1/V 1) deve essere compresa tra il 5% per i piccoli e lo 0. 5% per i grandi trasformatori. Inoltre: VXcc%= 100(1. 73 Zcc. I 1/V 1)sin cc= 100(1. 73 Xcc. I 1/V 1) che deve essere compresa tra il 4% per i piccoli e l’ 8% per i grandi trasformatori.

Sulla base di queste posizioni, la relazione V% 100(Vcc/V 1)(cos cccos 2+ sin ccsin 2)+ +50 (Vcc/V 1)2(sin cccos 2 - cos ccsin 2)2 diventa: V% VRcc%cos 2+ VXcc%sin 2+ +(VXcc%cos 2 - VRcc%sin 2)2/200 per cos =1 => V% VRcc%+(VXcc%)2/200 In questo modo è possibile valutare il comportamento del trasformatore nella variazione tra vuoto e carico, al variare del cos

Come valori di riferimento, posso considerare la seguente tabella

CALCOLO DELLE PERDITE NEI CONDUTTORI n Si determinano i pesi degli avvolgimenti: GCu. AT= 3 la. AT SCu. AT GCu. BT= 3 la. BT SCu. BT n Le perdite negli avvolgimenti valgono: Pcu = 3 KACAT RDCAT I 2 AT + 3 KACBT RBT I 2 DC BT n Di solito di può porre: KACAT = 1

DETERMINAZIONE DEL RENDIMENTO n Determinate le perdite del ferro e nei materiali conduttori è possibile calcolare il rendimento, essendo noti la potenza apparente nominale P ed il fattore di potenza di riferimento cos :