Identit ed equazioni Una identit una uguaglianza tra

Identità ed equazioni • Una identità è una uguaglianza tra due espressioni letterali che è vera per qualsiasi valore numerico che si può attribuire alle lettere. (x+2 x=3 x è una identità, perché sempre vera) • Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni letterali che è vera soltanto per alcuni valori numerici che si possono attribuire alle lettere. I valori che rendono valida l'uguaglianza si dicono soluzioni dell'equazione, le lettere alle quali si sostituiscono i valori si dicono incognite. (x+2 = 2 x 12/4/2020 è un'equazione) Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 1

IL Linguaggio delle Equazioni • In un'equazione si distingue tra primo membro (i termini prima del segno =) e secondo membro (i termini dopo il segno =). Primo membro e secondo membro sono separati dal segno =. 3 x +2 = 2 x +3 • Le lettere che compaiono in un'equazione si dicono incognite. I termini che non contengono le lettere incognite si dicono termini noti • Il valore numerico (o i valori) dell'incognita che soddisfano l'equazione si dicono soluzioni 3 x+2=2 x+3 ha per soluzione x=1, infatti 3· 1+2=2· 1+3 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 2

Principi di equivalenza I principi di equivalenza sono due teoremi fondamentali della teoria delle equazioni, essi permettono di trasformare un’equazione complicata in un’equazione molto semplice. Primo Principio Secondo principio 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 3

Equazioni equivalenti • Due equazioni che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti. Le equazioni x-2=3 e x-1=4 sono equivalenti, in quanto hanno la stessa soluzione. x=5 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 4

Primo principio di equivalenza Addizionando o sottraendo a entrambi i membri di un'equazione lo stesso numero si ottiene un'equazione equivalente a quella data. I membro = II membro Equivalente a I membro 12/4/2020 + = II membro Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) + 5

La bilancia e il primo principio 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 6

Regola del trasporto In un'equazione si può trasportare un termine da un membro all'altro purché lo si cambi di segno; l'equazione ottenuta è un'equazione equivalente a quella di partenza. 4 x + 5 = 2 x +8 Equivalente a 4 x 12/4/2020 = 2 x+8 - 5 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 7

Eliminazione dei termini uguali Se uno stesso termine compare sia al primo membro dell'equazione sia al secondo membro è possibile semplificare l'equazione eliminando i due termini uguali. 4 x + 5 = 2 x +8+ 5 Equivalente a 4 x 12/4/2020 = 2 x+8 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 8

Secondo principio di equivalenza Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero (diverso da zero) entrambi i membri di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza. I membro = II membro Equivalente a I membro 12/4/2020 x = II membro Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) x 9

La bilancia e il secondo principio 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 10

Cambiamento di segno (conseguenza del Secondo principio di equivalenza) Cambiando segno a tutti i termini di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza. -2 x-12 = 6 -x Equivalente a 2 x+12 12/4/2020 = -6+x Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 11

Eliminazione del denominatore comune (conseguenza del Secondo principio di equivalenza) Il denominatore, se uguale a 1° membro e a 2° membro , può essere eliminato perché è come moltiplicare da una parte e dall’altra per lo stesso numero e semplificare. (2 x + 5 )/12 (6 -x)/12 = Equivalente a 2 x+ 5 12/4/2020 = 6 -x Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 12

Forma normale di un'equazione di primo grado Usando i principi di equivalenza, un’equazione che si presenta in forma complessa, si può trasformare in un’equazione equivalente di forma più semplice. La forma più semplice in cui si può trasformare un’equazione di primo grado è un eguaglianza tra due monomi del tipo ax = b, detta di forma normale. La lettera a si dice coefficiente dell'incognita, la lettera b si dice termine noto. Per esempio, sono nella forma normale le seguenti equazioni 3 x=2 5 x=-6 -x=3 x=5 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 13

Trasformazione di un'equazione di primo grado nella forma normale Per trasformare un'equazione di primo grado nella forma normale si trasportano al primo membro tutti i termini con l'incognita cambiandone il segno e si trasportano al secondo membro tutti i termini senza incognita cambiandone il segno. Elenco delle operazioni necessarie per risolvere un’equazione che presenta coefficienti frazionari: 1. Trovare il m. c. m. tra i denominatori delle frazioni che compaiono nell’equazione 2. Ridurre tutti i termini allo stesso denominatore 3. Eliminare il denominatore comune moltiplicando entrambe i membri per il m. c. m. (secondo principio) 4. Effettuare i calcoli nel primo e nel secondo membro. 5. Trasportare al primo membro tutti i termini con l'incognita cambiandone il segno e trasportare tutti i termini senza incognita al secondo membro cambiandone il segno. (principio del trasporto) 6. Eseguire i calcoli riducendo l’equazione nella forma normale 7. Dividere entrambe i membri per il coefficiente dell’incognita 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 14

Procedimento per la risoluzione e la verifica di un’equazione con coefficienti frazionari. 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 15

Equazioni determinate Un'equazione si dice determinata se ammette un numero finito di soluzioni; se l’equazione è di primo grado si dice determinata se ammette una soluzione. • Un'equazione di primo grado che ridotta a forma normale si presenta nella forma ax=b, con a≠ 0 è sempre determinata e ammette una soluzione. 3 x+2=-5 x+1 portiamo i termini con la x al primo membro e quelli senza x al secondo membro 3 x+5 x=1 -2 sommiamo i termini simili 8 x=-1 dividiamo primo e secondo membro per 8 Si ottienex=-1/8 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 16

Equazioni impossibili Un'equazione si dice impossibile se non ammette soluzioni. • Un'equazione di primo grado che ridotta a forma normale si presenta nella forma 0 x=b, con b≠ 0 è impossibile perché non ha soluzioni. 5 x+2 -3 x=2 x+1 portiamo i termini con la x a primo membro e quelli senza x al secondo membro 5 x-3 x-2 x=1 -2 sommiamo i termini simili 0 x=-1 0=-1 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 17

Equazioni indeterminate Un'equazione si dice indeterminata se ammette un numero infinito di soluzioni; cioè un'equazione si dice indeterminata se è verificata per qualsiasi valore della variabile e in questo senso non determina una soluzione specifica, qualsiasi soluzione va bene. Un'equazione di primo grado che ridotta a forma normale si presenta nella forma 0 x=0 è indeterminata, precisamente è una identità. 7 x-3+2 x=12 x-3 -3 xportiamo i termini con la x al primo membro e quelli senza x al secondo membro 7 x+2 x-12 x+3 x=-3+3 sommiamo i termini simili 0 x=0 0=0 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 18

Discussione di un’equazione di primo grado a ≠ 0 x=b/a Equazione determinata b=0 Equazione indeterminata b ≠ 0 Equazione impossibile ax=b a=0 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 19

Verifica della soluzione di un’equazione Dopo aver risolto un'equazione è utile controllare se la soluzione trovata con i procedimenti descritti sopra è effettivamente soluzione dell'equazione. Per fare questa verifica, occorre sostituire all'incognita il valore trovato ed effettuare i calcoli: se i due membri dell'equazione sono uguali, la soluzione trovata è una soluzione effettiva dell'equazione 12/4/2020 Matematizzazione di semplici situazioni problematiche ( M. P. ) 20