EQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO Ideata da Prof

EQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO Ideata da: Prof. La Barbera Mauro

INTRODUZIONE DEFINIZIONE DI EQUAZIONE ALGEBRICA Un'equazione è una uguaglianza matematica tra due espressioni algebriche contenenti una o più variabili, dette incognite. In questa lezione studieremo le equazioni algebriche di primo grado ad una incognita, ossia uguaglianze del tipo: ax b L’ESPRESSIONE SI CHIAMA PRIMO MEMBRO, MENTRE SI DICE SECONDO MEMBRO x a b VARIABILE DI PRIMO GRADO (si dice di primo grado perché l’esponente della lettera è 1) COEFFICIENTE DELLA VARIABILE TERMINE NOTO In generale, un’equazione nasce dalla formulazione di un problema nel quale figura una quantità sconosciuta. L’equazione non fa altro che tradurla in termini algebrici e la sua risoluzione consente di trovare il valore di quella quantità, detta

ESEMPIO “Marco ha una quantità di euro nel portafoglio tale che moltiplicandola per tre e sottraendo nove dà come risultato quindici. Quanti soldi ha Marco? ” Chiamando x la quantità di euro che Marco ha nel portafoglio, l’enunciato di questo problema diventa: 3 x – 9 = 15 Regola del trasporto In un'equazione si può trasportare un termine da un membro all'altro purché lo si cambi di segno. 3 x = 15 + 9

ESEMPIO Svolgendo i calcoli si ottiene: 3 x = 24 Quando si ottiene una sola quantità a sinistra ed una sola a destra si dice che l’equazione è scritta in forma canonica. Proprietà invariantiva Dividendo entrambi i membri di un'equazione per una stessa quantità diversa da zero l'equazione resta equivalente alla data. Pertanto, se si divide sia il primo membro sia il secondo membro per 3 si ottiene: x = 8 (soluzione) Quindi Marco ha 8 euro nel portafoglio.

ESEMPIO Verifica Per verificare la correttezza della soluzione si sostituisce il valore trovato a posto della variabile x dell’equazione, pertanto si ottiene: 3 x – 9 = 15 3 × 8 – 9 = 15 Svolgendo i calcoli si ha: 24 – 9 = 15 15 = 15 Pertanto, avendo ottenuto lo stesso valore ambo i membri (identità) x = 8 è la soluzione esatta.

ESERCIZIO SVOLTO DETERMINARE L’INCOGNITA X DELLA SEGUENTE EQUAZIONE 7 x + 4 = 22 – 2 x Si osserva che l’equazione non è scritta in forma canonica 7 x + 4 = 22 – 2 x Applicando la regola del trasporto 7 x + 2 x = 22 – 4 9 x = 18 Applicando la proprietà invariantiva (dividendo ambo i membri per 9) x = 2 SOLUZIONE

ESERCIZIO SVOLTO VERIFICA DELLA CORRETTEZZA DELLA SOLUZIONE 7 x + 4 = 22 – 2 x Per verificare la correttezza della soluzione si sostituisce il valore trovato a posto della variabile x dell’equazione, pertanto si ottiene: 7 × 2 + 4 = 22 – 2 × 2 Svolgendo i calcoli si ha: 14 + 4 = 22 – 4 18 = 18 Pertanto, avendo ottenuto lo stesso valore ambo i membri (identità) x = 2 è la soluzione esatta.

Esercizi proposti Risolvi le seguenti equazioni:

Problemi proposti Problema 1 Trovare un numero che sommato alla sua metà e alla sua terza parte dia 55. Problema 2 Trovare tre numeri consecutivi sapendo che la loro somma è 39. Problema 3 Di quanto deve diminuire il numero 1, 5 per ottenere il suo reciproco? Problema 4 Qual è il numero il cui quadruplo supera di 14 i suoi 5/3? Problema 5 Trovare un numero tale che la somma della sua quarta parte con i suoi 5/2 sia 110.

APPROFONDIMENTO 1 Un problema di geometria

APPROFONDIMENTO 2 Interpretazione geometrica della soluzione di un’equazione di primo grado