Moto rettilineo del punto materiale Punto materiale Punto

Moto rettilineo del punto materiale • Punto materiale – Punto geometrico dotato di massa • Traiettoria – Il luogo dei punti via occupati dal punto materiale • Moto rettilineo – Moto con traiettoria rettilinea • Moto di caduta di un grave, moto alternativo dei pistoni nei cilindri, moto di una automobile lungo una strada diritta, etc. G. M. - Edile A 2002/03

Descrizione del moto rettilineo • Studio del moto di caduta di un grave lungo la verticale • Sulla traiettoria definiamo l’asse di riferimento (origine e verso) • Usiamo un orologio per trovare la corrispondenza tra l’istante di tempo e la posizione in cui si trova il punto materiale (t=0 s inizio dell’osservazione) O G. M. - Edile A 2002/03

Grafico orario • Asse delle ascisse = variabile indipendente (il tempo). – È necessaria una scala, per es. 1 cm=0, 1 s • Asse delle ordinate = variabile dipendente (la posizione). – Anche qui è utile una scala, per es 1 cm=0, 2 m I punti rappresentano le misure, la curva è l’interpolazione. • La curva interpolante deve essere continua: • il punto materiale passa per tutte le posizioni intermedie. • La legge di corrispondenza è una funzione seria, • ad ogni istante di tempo corrisponde una sola posizione (il corpo non si può trovare in due luoghi diversi allo stesso istante di tempo). • Per lo stesso motivo la funzione è continua G. M. - Edile A 2002/03

Legge oraria • Il grafico orario può anche essere rappresentato mediante una espressione matematica (legge oraria) Uso del grafico orario o della legge oraria: voglio conoscere la posizione del punto all’istante 0, 2 s. Con il grafico orario Con la legge oraria G. M. - Edile A 2002/03

Grafico orario di un punto materiale fermo • Il grafico orario è una retta parallela all’asse delle ascisse (dei tempi) (pendenza = 0) • Legge oraria corrispondente: x = xo (x=0, 31 m) G. M. - Edile A 2002/03

Grafico orario di un moto a velocità costante La retta: x=mt+n n= intercetta asse ordinate m= coefficiente angolare • Il grafico orario è una retta • Legge oraria corrispondente: G. M. - Edile A 2002/03

Moto di un’automobile su un tratto rettilineo • Esiste una relazione tra la pendenza del grafico orario e la velocità dell’automobile. G. M. - Edile A 2002/03

Spostamento e percorso effettuato • Grafico orario di un corpo lanciato verso l’alto. • Legge oraria corrispondente x = xo + vot + 1/2 aot 2 • xo= 7. 2 m • vo= 11. 4 m • ao= -5. 0 m xmassimo xfinale xiniziale • Consideriamo gli istanti – Iniziale: tiniziale – finale: tfinale Spostamento= Dx =xfinale-xiniziale Percorso effettuato: è la lunghezza del tratto effettivamente percorso Nel caso della figura d=(xmassimo-x 1)+(xmassimo-x 2) G. M. - Edile A 2002/03

Il segno dello spostamento • Spostamento Dx =xfinale-xiniziale con Dt > 0 • Nel caso di un moto rettilineo non è necessario far ricorso alla rappresentazione vettoriale – Il verso del moto viene rappresentato dal segno di Dx – Se Dx >0 allora vuol dire che xfinale >xiniziale: il moto è avvenuto nella direzione positiva dell’asse delle x – Se Dx <0 allora vuol dire che xfinale <xiniziale: il moto è avvenuto nella direzione negativa dell’asse delle x xmassimo xfinale xiniziale G. M. - Edile A 2002/03

Velocità media • Velocità scalare – Sempre positiva • Velocità vettoriale – Positiva -->x crescenti – Negativa-->x decrescenti G. M. - Edile A 2002/03

• Alla guida di un’automobile, dopo aver percorso una strada rettilinea per 8, 4 km a 70 km/h, siete rimasti senza benzina. Avete quindi proseguito a piedi, sempre nella stessa direzione, per 2. 0 km fino al prossimo distributore, dove siete arrivati dopo 30 minuti di cammino. Qual è – – – Qual è lo spostamento complessivo Il tempo complessivo impiegato La velocità media G. M. - Edile A 2002/03

Velocità media • Abbiamo definito la velocità vettoriale media G. M. - Edile A 2002/03

Descrizione del moto attraverso la velocità media • Supponiamo di far muovere tra t 1 e t 2 il punto materiale con la velocità media appena calcolata • Valutiamo la sua posizione all’istante t=2 s. Posizione vera al tempo t=2 s Posizione al tempo t=2 s predetta con la velocità media Conclusione: La descrizione del moto mediante la velocità media è insoddisfacente Le predizioni sono corrette solo agli estremi t 1 e t 2. G. M. - Edile A 2002/03

Determinazione della velocità media in intervalli di tempo sempre più piccoli • Riduciamo gli intervalli di tempo in cui calcolare la velocità media – si ottiene una descrizione del moto decisamente migliore • Riducendo sempre più gli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media si otterrà una descrizione sempre migliore! • Sarebbe opportuno ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media, così la descrizione del moto sarà perfetta! • Ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo equivale a calcolare la velocità del corpo ad ogni istante: la velocità istantanea G. M. - Edile A 2002/03

La velocità istantanea • Procediamo nel seguente modo: • Consideriamo l’istante t 1 in cui vogliamo calcolare la velocità • Consideriamo un intervallo di tempo Dt maggiore di zero. • Calcoliamo la velocità media in Dt • La velocità media corrisponderà al coefficiente angolare della retta passante per i punti 1 e 2 del grafico 2 x(t 1+Dt) x(t 1) 1 Dx Dt • Riduciamo ora l’intervallo di tempo Dt facendolo tendere a zero. • Si definisce velocità istantanea all’istante t 1 il seguente limite: t 1+Dt • Osserviamo che quando Dt tende a zero, il coefficiente angolare della retta che rappresenta la velocità media in Dt, tende a diventare quello della retta tangente al grafico all’istante t 1. G. M. - Edile A 2002/03

La velocità istantanea 2 • Riassumendo: • Abbiamo definito la velocità istantanea come all’istante di tempo t 1: • Nel grafico essa è rappresentata dal x(t 1) coefficiente angolare della retta tangente 1 al grafico all’istante t 1. • Il limite di: rapporto incrementale t 1 • corrisponde anche al valore della derivata rispetto al tempo della funzione x(t) all’istante t 1. G. M. - Edile A 2002/03

Velocità istantanea ad ogni istante di tempo • Ripetendo l’operazione di limite per altri istanti di tempo, per esempio t 2 o t 3, possiamo conoscere la velocità istantanea (e quindi la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)) a questi istanti di tempo. • Se ripetiamo l’operazione per tutti gli istanti di tempo dell’intervallo di osservazione del moto possiamo ricavare la velocità istantanea in funzione del tempo vx(t) • Questa funzione altro non è che la derivata rispetto al tempo della funzione x(t) Positiva --> x(t) crescente x(t 2) x(t 1) x(t 3) t 1 t 2 Negativa --> x(t) decrescente t 3 G. M. - Edile A 2002/03

Velocità scalare istantanea e velocità vettoriale istantanea • Anche per la velocità scalare di può definire la velocità istantanea: xmassimo xfinale • Ma quando Dt tende a zero, avremo xiniziale • Si ottiene quindi la seguente relazione • La velocità scalare istantanea è uguale al valore assoluto, al modulo, della velocità vettoriale istantanea G. M. - Edile A 2002/03

Grafico della velocità istantanea • Nel moto che stavamo studiando: – La pendenza del grafico orario non è costante – Questo implica che la velocità non è costante – Possiamo costruirci il grafico della velocità: la velocità decresce con il tempo. – La velocità è maggiore di zero fino a quando il corpo non raggiunge la sua posizione massima: si muove nella direzione positiva dell’asse x – Poi diventa negativa: si inverte il moto, il corpo si muove nella direzione negativa dell’asse x. – Quando x è massimo la velocità è nulla G. M. - Edile A 2002/03

Accelerazione media e istantanea • Se la velocità di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con che rapidità varia. • Si definisce l’accelerazione media nell’intervallo di tempo tra t 1 e t 2 il seguente rapporto: • Come abbiamo fatto per la velocità anche per l’accelerazione possiamo passare all’accelerazione istantanea: – L’accelerazione istantanea all’istante t 1 è data da: • Tenendo conto della definizione di derivata: G. M. - Edile A 2002/03

Grafico dell’accelerazione istantanea • Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo determinare la funzione accelerazione. • Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocità. • Dato che noi conosciamo la velocità in funzione del tempo • possiamo utilizzare questa relazione per determinare l’accelerazione in funzione del tempo. • L’accelerazione è costante (negativa), come d’altra parte ci aspettavamo dal grafico della velocità. G. M. - Edile A 2002/03

Il segno dell’accelerazione • Riguardando la definizione dell’accelerazione media (ma le stesse considerazioni valgono per l’accelerazione istantanea), si vede che: – axm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dell’asse x: • v finale è maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) – Se la velocità è positiva il valore della velocità aumenta – Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta, il suo valore assoluto però diminuisce – axm minore di zero, diretta nella direzione negativa dell’asse x: • v finale è minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) – Se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce – Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce, e quindi il suo valore assoluto aumenta. • Possiamo concludere: – Se l’accelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo della velocità aumenta. – se ha verso opposto il modulo della velocità diminuisce. G. M. - Edile A 2002/03

Conclusioni • Conoscendo la legge oraria: x(t) la posizione in funzione del tempo • Possiamo calcolarci la velocità: vx(t) la velocità in funzione del tempo • E quindi l’accelerazione: ax(t) l’accelerazione in funzione del tempo • Combinando le due espressioni: L’accelerazione è la derivata seconda della funzione x(t) rispetto al tempo G. M. - Edile A 2002/03

Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro situazioni diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0) (1) x=3 t (2) x=-4 t 2 -2 (3) x=2/t 2 (4) x=-2 a) In quale situazione la velocità vettoriale è costante? b) in quale altra v è diretta nel verso negativo dell’asse x? Applica zione a) la velocità vettoriale è costante nella situazione (1) e (4) b) la velocità vettoriale è diretta nella direzione negativa dell’asse x nei casi (2) e (3). Infatti: G. M. - Edile A 2002/03

Avete viaggiato sulla Statale 100 da Bari a Taranto per metà tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il resto della distanza a 90 km/h. Qual è la velocità scalare media all’andata e al ritorno? Qual è la velocità vettoriale media complessiva? Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie Applica zione Indichiamo con Dt il tempo impiegato per andare da Bari a Taranto. Le distanze percorse nelle due parti sono: La distanza totale percorsa sarà la somma delle due distanze ed il tempo impiegato è Dt. G. M. - Edile A 2002/03

Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari percorrere le due metà sono: Applica zione cont. Il tempo totale impiegato Dt per tornare da Taranto a Bari sarà la somma dei due tempi. La velocità vettoriale media complessiva è nulla. G. M. - Edile A 2002/03

Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie Applica zione cont. x Dt 2 Dt t G. M. - Edile A 2002/03

La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data dall’espressione x=3 t-4 t 2+t 3, ove x è in metri e t in secondi. a) qual è la posizione per t=1, 2, 3 e 4 s? b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4 s? c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2 s e t=4 s? d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3 s? e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d). Applica zione a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire alla variabile t nell’espressione della legge oraria gli istanti di tempo richiesti: G. M. - Edile A 2002/03

b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4 s? Applica zione cont. c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2 s e t=4 s? d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3 s? G. M. - Edile A 2002/03

e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d). Applica zione cont. G. M. - Edile A 2002/03

Il problema del moto • Conoscendo la legge oraria, ossia conoscendo la posizione del punto materiale ad ogni istante di tempo: – Con una prima derivazione possiamo determinare la funzione velocità – Con una seconda derivazione possiamo determinare la funzione accelerazione • Il problema che ora ci poniamo è il seguente: – Se conosciamo l’accelerazione ad ogni istante di tempo nell’intervallo di osservazione del moto, conosciamo cioè la funzione a(t), – siamo in grado di determinare la legge oraria? – determinare come varia la posizione in funzione del tempo, la funzione x(t)? Si tratta di risolvere la seguente equazione: G. M. - Edile A 2002/03

L’equazione differenziale • L’equazione precedente è un’equazione differenziale – Contiene le derivate – È del secondo ordine (contiene la derivata seconda) • Cosa vuol dire risolvere una equazione differenziale come quella precedente? – Occorre ricercare tra tutte le possibili funzioni del tempo, quelle la cui derivata seconda rispetto al tempo coincide con la funzione nota dell’accelerazione a(t). G. M. - Edile A 2002/03

Soluzioni dell’equazione differenziale • Supponiamo di aver trovato una soluzione dell’equazione differenziale, – di aver trovato cioè una funzione x 1(t) la cui derivata seconda è proprio uguale alla funzione nota a(t). • La funzione x(t)=k 1+k 2 t+x 1(t), con k 1 e k 2 due costanti reali qualsiasi, è anch’essa soluzione della stessa equazione differenziale. G. M. - Edile A 2002/03

Soluzione formale dell’equazione differenziale • Cominciamo con il risolvere un’equazione più semplice: – Supporremo si conoscere la funzione velocità vx(t) – e di voler determinare la legge oraria x(t) – L’equazione differenziale in questo caso è del primo ordine. • Fissato un generico istante di tempo t* – si calcola lo spostamento subito dal punto materiale tra t=0 e t* • Si ripete il calcolo per tutti gli istanti di tempo – si ottiene così la legge oraria G. M. - Edile A 2002/03

Soluzione formale dell’equazione differenziale • Se conoscessimo la velocità media tra t=0 e t*, lo spostamento varrebbe: • Purtroppo conosciamo la velocità in tutti gli istanti di tempo ma non quella media • Possiamo fare delle ipotesi: – La velocità media è uguale a quella a t=0 – a quella a t*/2 G. M. - Edile A 2002/03

Risoluzione formale dell’equazione differenziale • Lo spostamento complessivo invece • Noi però non conosciamo la velocità media vxm, i in ciascuno degli n intervalli di tempo, – sappiamo solo che essa è compresa tra il valore minimo e quello massimo assunti dalla funzione vx(t) nell'intervallo tra ti-1 e ti • Per fare una stima dello spostamento supporremo che la velocità media nell’i-esimo intervallo coincida con la velocità all’inizio dell’intervallo stesso: La stima dello spostamento nel grafico corrisponde all’area totale dei rettangoli di base Dt e altezza vx(ti-1). G. M. - Edile A 2002/03

Risoluzione formale dell’equazione differenziale • L’approssimazione vxm, i=vx(ti-1) è tanto migliore quanto più piccola è l’ampiezza degli intervalli Dt. – Infatti al diminuire di Dt diminuisce la differenza tra il valore massimo e quello minimo della velocità in Dt. • Otterremo una stima sempre più precisa dello spostamento mano che Dt tende a zero, o, equivalentemente, mano che n, il numero delle suddivisioni, tende all’infinito. G. M. - Edile A 2002/03

Risoluzione formale dell’equazione differenziale • Diremo quindi che lo spostamento tra t=0 e t* del punto materiale è uguale a: • Questo limite si chiama integrale della funzione vx(t) tra t=0 e t, e si indica: • Si tratta di un integrale definito, in quanto sono specificati gli estremi di integrazione (t=0 e t*) G. M. - Edile A 2002/03

Risoluzione formale dell’equazione differenziale • L’integrale definito corrisponde all’area sotto la curva tra t=0 e t*. – Attenzione l’area deve essere presa con il segno • Positiva nei tratti in cui la funzione è positiva • Negativa nei tratti in cui la funzione è negativa Calcolando l’integrale per ogni istante t* si ottiene la legge oraria G. M. - Edile A 2002/03

La velocità media • Siamo ora in grado di valutare la velocità media nell’intervallo tra t=0 s e t*. • Applicando la definizione: Da cui si ottiene: L’area del rettangolo di base Dt e altezza vm ha un’ area uguale a quella delimitata dal grafico della curva, l’asse delle ascisse e gli estremi dell’intervallo t=0 s e t* G. M. - Edile A 2002/03

Come si risolve l’integrale definito • L’integrale è l’operazione inversa della derivata • Per calcolare l'integrale definito della funzione f(t), – occorre ricercare una qualsiasi funzione della variabile di integrazione, F(t) • tale che la sua derivata, fatta rispetto alla variabile di integrazione, sia proprio uguale alla funzione integranda: • La funzione F(t) si chiama “primitiva” della funzione f(t) • Il valore dell’integrale si ottiene calcolando la differenza tra i valori assunti dalla funzione nell’estremo superiore e nell’estremo inferiore. • In simboli: G. M. - Edile A 2002/03

Esempio • Dalla definizione di velocità sappiamo che: • • v(t) è la velocità all’istante t dt è un intervallo di tempo infinitesimo che comincia all’istante t dx è lo spostamento infinitesimo subito dal punto nell’intervallo infinitesimo dt questa uguaglianza vale in tutti • gli infiniti intervalli infinitesimi in cui ho suddiviso l’intervallo di osservazione del moto L’uguaglianza continuerà a valere se sommo, membro a membro, su tutti gli infiniti intervalli di tempo: • variabile di integrazione x 5=3+2 • funzione integranda f(x)=1 7=5+2 • primitiva F(x)=x Totale 12=12 • usualmente • ti=0 s • x(0 s)=xo Valutiamo G. M. - Edile A 2002/03

Proprietà degli integrali • L’integrale altro non è che una somma, con l’unica particolarità che è fatta su infiniti termini. • Siccome in una somma il risultato non cambiando l’ordine con cui vengono sommati i vari termini, allora ne deduciamo che – l’integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali • Inoltre, così come in una somma, se tutti i termini hanno un fattore comune, questo può essere messo in evidenza, così nell’integrale, eventuali costanti che moltiplicano i vari elementi infinitesimi da sommare, possono essere portate fuori del segni di integrale. G. M. - Edile A 2002/03

Moto uniforme • Valutiamo ora il secondo membro: – È necessario specificare la funzione vx(t). – Supponiamo che vx(t) sia costante, moto uniforme, e pari a vxo • • • variabile di integrazione t funzione integranda f(t)=vxo primitiva F(t)= vxot Si ricava Questa relazione è valida comunque noi scegliamo l’istante tf in cui vogliamo smettere l’osservazione del moto. Si può sopprimere l’indice f Si ottiene così la legge oraria del moto uniforme: G. M. - Edile A 2002/03

Considerazioni • La legge oraria trovata è soluzione dell’equazione differenziale: • è come ce l’aspettavamo, la posizione varia linearmente con il tempo : 1, 20 • Osserviamo che per qualunque valore di xo, la funzione precedente è soluzione dell’equazione differenziale. • L’equazione differenziale non determina la costante xo, essa viene determinata dalle condizioni iniziali (nel nostro caso xo è proprio la posizione iniziale, a t=0 s). • L’analisi ci dice che esiste una ed una soluzione dell’equazione differenziale che soddisfa anche le condizioni iniziali 0, 80 x (m) – Ci sono infinito alla uno soluzioni dell’eq. diff. – Infatti l’equazione differenziale è del primo ordine. 1, 00 0, 60 tanq=vxo 0, 40 xo 0, 20 0, 00 5, 00 10, 00 15, – Il numero delle condizioni iniziali pari al grado dell’eq. diff. G. M. - Edile A 2002/03

Legge oraria del moto uniformemente accelerato • Abbiamo trovato come varia nel tempo la velocità nel caso in cui l’accelerazione è costante: • Per arrivare alla legge oraria dobbiamo risolvere la seguente eq. diff. • Sappiamo che la soluzione di tale eq. diff. è data da: G. M. - Edile A 2002/03

La legge oraria del moto uniformemente accelerato È la soluzione della eq. diff. • Come già osservato in precedenza, la legge oraria precedente, per qualunque valore delle costanti xo e vxo è soluzione dell’eq. diff. – L’equazione differenziale non determina tali costanti: • Esse vanno determinate utilizzando le condizioni iniziali: – La posizione xo all’istante iniziale t=0 – La velocità vox all’istante iniziale t=0 • L’analisi ci dice che esiste una ed una soluzione dell’eq. diff. che soddisfa anche al problema delle condizioni inziali. • Le due equazioni in testa alla pagina vanno interpretate come l’integrale generale dell’equazione differenziale del moto uniformemente accelerato e vanno poi adattate al problema specifico inserendo le corrette condizioni iniziali. G. M. - Edile A 2002/03

Grafico orario del moto uniformemente accelerato • Il grafico orario del moto uniformemente accelerato è un arco di parabola. • xo è la posizione all’istante t=0 s (l’intercetta con l’asse delle ordinate). • vxo è la velocità iniziale, ossia la pendenza del grafico all’istante iniziale. • L’andamento della velocità in funzione del tempo è lineare. xo q G. M. - Edile A 2002/03

Moto uniforme ed uniformemente accelerato • Il moto uniformemente accelerato, contiene , come caso particolare il moto uniforme, quando cioè l’accelerazione axo è uguale a zero. G. M. - Edile A 2002/03

Moto di caduta dei gravi • Galilei ha determinato che – in vicinanza della superficie terrestre, – in assenza di aria • Tutti i corpi cadono verso il basso con accelerazione g – g non dipende dalla natura dei corpi (ferro, alluminio, legno, etc) – g, all’interno di un volume limitato (il laboratorio), non dipende dalla posizione del corpo. – g, è quindi anche indipendente dal tempo (costante). – Se il volume non è limitato • g dipende dalla quota • g dipende dalla latitudine, è più grande ai poli, ed è più piccola all’equatore • Alle nostre latitudini g vale circa g=9. 81 m/s 2 G. M. - Edile A 2002/03