Algorytm transportowy Przykad Trzy kopalnie pooone w rnych

Algorytm transportowy

Przykład Trzy kopalnie położone w różnych miastach zaopatrują w węgiel pięć elektrociepłowni na terenie kraju. Każda z kopalń K 1, K 2, K 3 ma określoną zdolność produkcyjną: odpowiednio 100, 200, 50 jednostek produkcji (np. wagonów węgla) w jednostce czasu. Zapotrzebowanie elektrociepłowni E 1, E 2, E 3, E 4, E 5 na węgiel w jednostce czasu wynosi odpowiednio: 120, 45, 70, 45 jednostek. Koszt transportu 1 jednostki węgla z poszczególnych kopalń do odpowiednich elektrociepłowni przedstawia tablica 1. Wyznaczyć wielkości dostaw z poszczególnych kopalń do poszczególnych elektrociepłowni, tak aby koszt transportu był najniższy i aby jednocześnie spełnione były warunki: 1. Zdolności produkcyjne poszczególnych kopalń nie mogą być przekroczone 2. Elektrociepłownie muszą mieć pokryte zapotrzebowanie

Tablica 1 E 2 E 3 E 4 E 5 K 1 2 5 3 4 8 K 2 1 9 4 5 10 K 3 5 6 1 7 4

Budowa modelu E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 ZP K 1 ? ? ? 100 K 2 ? ? ? 200 K 3 ? ? ? 50 Zap. 120 45 70 45 45 xij – rozmiar dostaw z kopalni Ki do elektrociepłowni Ej

W modelu występuje 15 zmiennych decyzyjnych. Zadanie sprowadza się do takiego wyznaczenia zmiennych xij aby wszystkie warunki były spełnione, a jednocześnie koszty transportu były najniższe. Łączne koszty transportu wyniosą:

Zadanie posiada rozwiązanie jeśli suma zdolności produkcyjnych kopalń jest większa lub równa od sumy zapotrzebowań elektrociepłowni. Warunek ten jest spełniony ponieważ: 350 > 325

Rozwiązywanie problemu rozpoczynamy od zaproponowania rozwiązania początkowego spełniającego warunki: 1. Zapotrzebowanie elektrociepłowni musi być pokryte 2. Zdolności produkcyjne kopalń nie mogą być przekroczone Rozwiązanie takie wyznaczamy stosując tzw. Regułę kąta północno-zachodniego (K 1 E 1 - wprowadzając w to pole możliwie największą wartość, w tym konkretnym przypadku będzie to wartość 100 jest to minimum ze zdolności produkcyjnej kopalni K 1 oraz z zapotrzebowania elektrociepłowni E 1). W ten sposób zdolność produkcyjna kopalni K 1 została wyczerpana.

T 1 E 1 K 1 100 K 2 20 E 2 E 3 E 4 45 70 45 20 25 120 S ZP 100 K 3 Zap. E 5 45 70 45 45 200 25 50

Brakującą ilość węgla potrzebną elektrociepłowni E 1 (20 jednostek) musimy dostarczyć z kopalni K 2. Kopalnia ta może ponadto pokryć zapotrzebowanie dla E 2, E 3, E 4 i częściowo dla E 5, której zapotrzebowanie uzupełni kopalnia K 3 w ilości 25 jednostek. Kopalnia ta wykorzystała w ten sposób 25 z 50 jednostek swojej zdolności produkcyjnej. Pozostałe 25 jednostek wpisujemy w kolumnę S. Uwaga! Kratki w których dokonujemy rozdziału muszą do siebie przylegać bokami. Koszt transportu przy takim rozdziale dostaw wyniesie:

Rozpatrzmy jakie konsekwencje przyniesie zmiana w dystrybucji węgla jeżeli z K 1 E 1 przeniesiemy jedną jednostkę do K 1 E 2 i jaki to będzie miało wpływ na koszty: E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 S K 1 2 5 3 4 8 101 100 K 2 1 9 4 5 10 201 200 K 3 5 6 1 7 4 50 Zap. 120 119 45 46 70 45 45 25 ZP K 1 E 2 K 1 E 1 K 2 E 2 +5 -2 +1 -9 -5

E 1 K 1 100 K 2 20 E 2 E 3 E 4 120 S 45 45 ZP 100 -5 70 45 K 3 Zap. E 5 70 45 20 200 25 25 45 25 50

E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 S K 1 2 5 3 4 8 101 100 K 2 1 9 4 5 10 201 200 K 3 5 6 1 7 4 50 Zap. 120 119 45 70 71 45 45 25 ZP K 1 E 3 K 1 E 1 K 2 E 3 +3 -2 +1 -4 -2

E 1 K 1 100 K 2 20 E 2 -5 45 E 3 E 4 120 45 S 70 70 ZP 100 -2 45 K 3 Zap. E 5 45 20 200 25 25 45 25 50

E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 S K 1 2 5 3 4 8 101 100 K 2 1 9 4 5 10 201 200 K 3 5 6 1 7 4 50 Zap. 120 119 45 70 45 46 45 25 ZP K 1 E 4 K 1 E 1 K 2 E 4 +4 -2 +1 -5 -2

E 1 K 1 100 K 2 20 E 2 -5 45 E 3 -2 70 E 4 120 45 70 S 45 45 ZP 100 -2 K 3 Zap. E 5 20 200 25 25 45 25 50

E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 S K 1 2 5 3 4 8 101 100 K 2 1 9 4 5 10 201 200 K 3 5 6 1 7 4 50 Zap. 120 119 45 70 45 45 46 25 ZP K 1 E 5 K 1 E 1 K 2 E 5 +8 -2 +1 -10 -3

E 1 K 1 100 K 2 20 E 2 -5 45 E 3 -2 70 E 4 -2 45 K 3 Zap. 120 45 70 45 E 5 S ZP 100 -3 20 200 25 25 45 25 50

E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 S ZP K 1 2 5 3 4 8 0 101 100 K 2 1 9 4 5 10 K 3 5 6 1 7 4 0 Zap. 120 119 45 70 45 44 45 25 26 201 200 51 50 K 1 S K 1 E 1 K 2 E 5 K 3 S +0 -2 +1 -10 +4 -0 -7

E 1 K 1 100 K 2 20 E 2 -5 45 E 3 -2 70 E 4 -2 45 K 3 Zap. 120 45 70 45 E 5 -3 S ZP -7 20 100 25 25 45 25 50

E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 S ZP K 1 2 5 3 4 8 K 2 1 9 4 5 10 0 201 200 K 3 5 6 1 7 4 0 51 50 Zap. 120 45 70 45 45 44 25 26 100 K 2 S K 2 E 5 K 3 S +0 -10 +4 -0 -6

E 1 K 1 100 K 2 20 E 2 -5 45 E 3 -2 70 E 4 -2 45 K 3 Zap. 120 45 70 45 E 5 -3 20 S ZP -7 100 -6 200 25 25 45 25 50

E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 S K 1 2 5 3 4 8 100 K 2 1 9 4 5 10 201 200 K 3 5 6 1 7 4 51 50 Zap. 120 121 45 70 45 45 44 25 ZP K 3 E 1 K 3 E 5 K 2 E 1 +5 -4 +10 -1 +10

E 1 K 1 100 K 2 20 K 3 Zap. E 2 -5 45 E 3 -2 70 E 4 -2 45 +10 120 45 70 45 E 5 -3 20 S ZP -7 100 -6 200 25 25 45 25 50

E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 S K 1 2 5 3 4 8 100 K 2 1 9 4 5 10 201 200 K 3 5 6 1 7 4 51 50 Zap. 120 45 46 70 45 45 44 25 ZP K 3 E 2 K 3 E 5 K 2 E 2 +6 -4 +10 -9 +3

E 1 K 1 100 K 2 20 K 3 Zap. +10 120 E 2 -5 45 E 3 -2 70 E 4 -2 45 +3 45 70 45 E 5 -3 20 S ZP -7 100 -6 200 25 25 45 25 50

E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 S K 1 2 5 3 4 8 100 K 2 1 9 4 5 10 201 200 K 3 5 6 1 7 4 51 50 Zap. 120 45 70 71 45 45 44 25 ZP K 3 E 3 K 3 E 5 K 2 E 3 +1 -4 +10 -4 +3

E 1 K 1 100 K 2 20 K 3 Zap. +10 120 E 2 -5 45 +3 45 E 3 -2 70 E 4 -2 45 +3 70 45 E 5 -3 20 S ZP -7 100 -6 200 25 25 45 25 50

E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 S K 1 2 5 3 4 8 100 K 2 1 9 4 5 10 201 200 K 3 5 6 1 7 4 51 50 Zap. 120 45 70 45 46 45 44 25 ZP K 3 E 4 K 3 E 5 K 2 E 4 +7 -4 +10 -5 +8

E 1 K 1 100 K 2 20 K 3 Zap. +10 120 E 2 -5 45 +3 45 E 3 -2 70 +3 70 E 4 -2 45 +8 45 E 5 -3 20 S ZP -7 100 -6 200 25 25 45 25 50

Alternatywą najkorzystniejszą jest K 1 S zmieniająca koszt o 7. Naszym celem jest umieszczenie w polu K 1 S maksymalnej ilości ładunku. Ilość ta, to najmniejsza z wartości pól w których odejmowaliśmy podczas sprawdzania najkorzystniejszej alternatywy. E 1 K 1 100 K 2 20 K 3 Zap. +10 120 E 2 -5 45 +3 45 E 3 -2 70 +3 70 E 4 -2 45 +8 45 E 5 -3 20 25 S ZP -7 100 -6 200 25 50 K 1 S K 1 E 1 K 2 E 5 K 3 S 45 Maksymalna ilość ładunku, którą możemy przenieść do K 1 S znajduje się w polu K 2 E 5 i wynosi 20. +0 -2 +1 -10 +4 -0 -7

Wartość 20 przenosimy do K 1 S i dokonujemy w związku z tym odpowiednich zmian w wierzchołkach wieloboku wybranej alternatywy. T 2 E 1 K 1 80 K 2 40 E 2 45 E 3 70 E 4 120 45 70 S ZP 20 100 45 K 3 Zap. E 5 45 200 45 5 45 25 50

Po kolejnym obliczeniu alternatyw otrzymujemy: E 1 K 1 80 K 2 40 K 3 Zap. E 2 -5 +3 120 45 -4 45 E 3 E 4 -2 70 -4 70 -2 45 +1 45 E 5 +4 S ZP 20 100 +7 45 -6 5 200 K 1 E 2: K 1 E 1: K 2 E 2: 0 (+) 80 (-) 40 (+) 45 (-) 50 45 Najkorzystniejszą alternatywą jest K 1 E 2 (-5), dlatego w to pole będziemy starać się przenieść maksymalną liczbę ładunku. Liczba ta to 45.

K 1 E 2 K 2 E 1 K 1 E 1 +5 -9 +1 -2 -5 K 1 E 3 K 2 E 1 K 1 E 1 +3 -4 +1 -2 -2 K 1 E 4 K 2 E 1 K 1 E 1 +4 -5 +1 -2 -2 K 1 E 5 K 3 S K 1 S +8 -4 +0 -0 +4 K 2 E 5 K 2 E 1 K 1 S K 3 E 5 +0 -1 +2 -0 +0 -4 7 K 2 S K 2 E 1 K 1 S +0 -1 +2 -0 -1 K 3 E 1 K 3 S K 1 E 1 +5 -0 +0 -2 3 K 3 E 2 K 3 S K 1 E 1 K 2 E 2 +6 -0 +0 -2 +1 -9 -4 K 2 E 3 K 3 S K 1 E 1 K 2 E 3 +1 -0 +0 -2 +1 -4 -4 K 3 E 4 K 3 S K 1 E 1 K 2 E 4 +7 -0 +0 -2 +1 -5 1

Korygujemy wielobok zmian i przeliczamy alternatywy: T 3 E 1 E 2 K 1 35 45 K 2 85 K 3 Zap. +3 120 E 4 -2 5 -1 45 E 3 70 -4 70 -2 45 +1 45 E 5 0 S ZP 20 100 +7 -1 45 5 45 25 200 50 K 3 E 3: K 3 S: K 1 E 1: K 2 E 3: 0 (+) 5 (-) 20 (+) 35 (-) 85 (+) 70 (-) Najkorzystniejszą alternatywą jest K 3 E 3 (-4), dlatego w to pole będziemy starać się przenieść maksymalną liczbę ładunku. Liczba ta to 5.

Korygujemy wielobok zmian i przeliczamy alternatywy: T 4 E 1 E 2 K 1 30 45 K 2 90 K 3 Zap. +7 120 E 4 -2 5 +5 45 E 3 65 5 70 -2 45 +5 45 E 5 0 +3 45 45 S ZP 25 100 +1 +4 200 K 1 E 4: K 1 E 1: K 2 E 4: 0 (+) 30 (-) 90 (+) 45 (-) 50 25 Na tym etapie mamy dwie jednakowo korzystne alternatywy (K 1 E 3 oraz K 1 E 4). Możemy wybrać którąkolwiek z nich, np. K 1 E 4.

Korygujemy wielobok zmian i przeliczamy alternatywy: T. 5 K 1 K 2 K 3 Zap. E 1 +2 E 2 45 120 +7 120 E 3 0 +3 +3 45 65 5 70 Wybieramy alternatywę K 2 S E 4 30 15 +5 45 E 5 +2 +3 45 45 S ZP 25 100 -1 +2 25 200 50 K 2 S: K 1 E 4: K 2 E 4: 0 (+) 25 (-) 90 (+) 15 (-)

Korygujemy wielobok zmian i przeliczamy alternatywy: T 6 K 1 K 2 K 3 Zap. E 1 +1 E 2 45 120 +7 120 E 3 -1 +4 +3 45 E 4 45 65 +1 5 70 +6 45 Wybieramy alternatywę K 1 E 3 E 5 +1 +3 45 45 S ZP 10 100 15 200 +3 25 50 K 1 E 3: K 2 S: K 1 S: 0 (+) 65 (-) 15 (+) 10 (-)

Korygujemy wielobok zmian i przeliczamy alternatywy: T 7 K 1 K 2 K 3 Zap. E 1 +2 E 3 E 4 45 10 45 120 +7 120 +3 +3 45 55 0 5 70 +5 45 Wybieramy alternatywę K 2 E 4 E 5 +2 +3 45 45 S ZP +1 25 +3 25 100 200 50 K 2 E 4: K 1 E 3: K 2 E 3: 0 (+) 45 (-) 10 (+) 55 (-)

Korygujemy wielobok zmian i przeliczamy alternatywy: T 8 K 1 K 2 K 3 Zap. E 1 +2 E 3 45 55 120 +7 120 +3 +3 45 10 5 70 E 4 0 45 +5 45 E 5 +2 +3 45 45 S ZP +1 25 +3 100 200 50 25 Najkorzystniejszą alternatywą jest K 1 E 4, jednak tak jak poprzednio nie obniży to już kosztów transportu w stosunku do poprzedniego rozwiązania.

Wniosek: Jak wynika z obliczeń, najkorzystniejszy będzie sposób dystrybucji węgla z kopalń do elektrociepłowni przedstawiony w T 7 lub T 8. Zapewnia on najniższy koszt sieci transportowej wynoszący 960 zł.